数学试题与答案_2025年6月_250602安徽省马鞍山二中2025届高三年级高考适应性考试（全科）_答案

数学答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．已知集合 数学试题 第1页（共5页） A = { x | − 2 ≤ x  1 } ， B = { − 2 , − 1 , 0 ,1 , 2 } ，则 A B = A． { − 1 , 0 ,1 , 2 } B． { − 1 , 0 ,1 } C． { − 2 , − 1 , 0 ,1 } D． { − 2 , − 1 , 0 } 【答案】选D． A B = { − 2 , − 1 , 0 } ． 2．设 a , b 不共线， A B 2  = a + b ， B C = a + b ， C D = a − 3 b ，若 A , B , D 三点共线，则实数的值为 A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】选A． B D = B C + C D = 2 a − 2 b ，又A,B,D三点共线，且 A B 2  = a + b ，所以 2  = − ． 3．已知直线 a x + 3 y + 2 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 4 交于A,B两点，则“ | A B |= 2 3 ”是“ a = 1 ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】选B．不难知 | A B |= 2 3  弦心距 d = 1  a =  1 ． 4．若函数 f ( x ) = ln x x + + a 1 + x 的图象关于 ( 2 , 2 ) 对称，且 a  1 ，则实数 a = A． − 5 B． − 1 C．0 D． 5 【答案】选A．结合 f ( x ) 的定义域的对称性不难知 − a − 1 = 4 ，故 a = − 5 ． 5．如图，A,B是直线 y = 1 2 与函数 f(x)=cos(x+)图象的两个交点，若 | A B |= π 6 ，则 f ( π ) = A． 1 2 B． − 1 2 3 3 C． D．− 2 2 【答案】选D．不难求得 f ( x ) = c o s ( 4 x + 5 π 6 ) ，故 f ( π ) = − 2 3 ． 6．若等差数列 { a n } 的公差 d  0 ，等比数列 { b n } 的公比 q  1 ，且a =a +3d， x y b 3 b x = b 2y  q 3 ，则 x + y = A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】选C．由题， x = y + 3 ，3+x=2y+3，解得x=6， y = 3 ，故 x + y = 9 ． 7．设抛物线:y2 =4x的焦点为 F ， x 轴上方有两点 A , B 在  上，若直线AF 与BF的倾斜角互补， 且点A到准线的距离为3，则点B的横坐标为 A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D．1 p2 1 【答案】选B．易知x =2，由焦点弦性质不难知x x = =1，故x = ． A A B 4 B 2 8．已知函数 f ( x ) =  x 2 + − e x− +x a , , x x   0 0 ， f(x)的图象上存在不同的两点A,B，使得曲线y= f(x)在这两 点处的切线重合，则实数a的取值范围是 A． ( − 1 , 1 4 ) 1 1 B．(−, ) C．(−1,+) D．(−,−1) ( ,+) 4 4 1 【答案】选A．基于 f(x)的图象，易求得a(−1, )． 4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某班有10名同学，现在选出3名去参加歌唱比赛，则不同的选法种数为 A． 数学试题 第2页（共5页） C 31 0 B． A A 71 033 C． C 39 + C 29 D． C 18 + 2 C 28 + C 38 【答案】选ACD．CD：对于特定的同学，入选与否进行分类计数． 10．已知 △ A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，c=4，且 c o c s C = 2 c a o − s B b ，则 A． C = 2 π 3 B．△ABC的外接圆半径为 4 3 3 C．若a=2b，则△ABC的面积为 8 3 3 D． A B 边上中线CD的最大值为4 【答案】选BC．A：由题， c o c s C = 2 c a o − s B b ，易得 C = π 3 ，A错误； c 8 3 4 3 B：由正弦定理，2R= = ，则△ABC的外接圆半径为 ，B正确； sinC 3 3 C：若a=2b，则 △ A B C 为直角三角形，易知 △ A B C 8 3 的面积为 ，C正确； 3 D：由余弦定理，16=a2 +b2 −ab≥ab，故 | C D |= 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 = 1 2 2 (1 6 + a b ) − 1 6 ≤ 2 3 ， 当且仅当 a = b 时取等，D错误． x2 11．已知F 为椭圆C: + y2 =1(a1)的左焦点，点 a2 A , B 在椭圆 C 上，记|AF|+|BF|+|AB|=m，则 A． m 的最大值为 4 a B． m 的最小值为 4 a C．若直线 A B 与单位圆相切，点 A , B 在 y 轴左侧，则 m = 2 a D．若直线 A B 与y轴重合， m = 6 ，则椭圆 C 3 的离心率e= 2 【答案】选ACD．A：当 A B 过右焦点时， m 的最大值为 4 a ，故A正确； B：取 a = 2 ，则 A , B 无限接近A(−2,0)时， 1 m 无限接近2|AF|=2(2− 3)2，故B错误； 1 C：设AB与单位圆相切于 T ，则 | A T |= x 2A + y 2A − 1 2 = (1 − 1 a 2 ) x 2A = − e x A ，熟知 | A F |= a + e x A ， 故 | A F | + | A T |= a ，同理|BF|+|BT|=a，即m=2a，故C正确； D：此时a=2，离心率 e = 2 3 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设随机变量X 服从正态分布 N (1 , 2 )  ，且P(X ≤a2 −1)=P(X a−3)，则正数 a = ． 【答案】2．由(a2 −1)+(a−3)=2，解得a=2或−3（舍）． 13．设i为虚数单位，若 2 + i 是关于x的方程x2 + px+q=0(p,qR)的一个根，则p+q= ． 【答案】1．由二次方程的虚根为共轭复数，得p=−(2+i+2−i)=−4，q=(2+i)(2−i)=5． 14．市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2， 下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积 为12 3，则圆台外接球的表面积为 ；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心， 则圆台的高的取值范围为 ． 【答案】64π；(0,2)．当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形，易得高OO =2 3， 1 2且圆台外接球球心在高 数学试题 第3页（共5页） O O1 2 上，设圆台的外接球半径 R ，则 R 2 − 4 + R 2 − 1 6 = 2 3 ，解得 R = 4 ； 将圆台 O O1 2 补成圆锥PO ，设圆台 2 O O1 2 的母线长 l ，则圆锥 P O 2 母线长为 2 l ．设 A P B   = ，则 切割面为等腰梯形，且面积 S 1 2 [ ( 2 l ) 2 l 2 ] s in 3 2 l 2 s in   = − = ．当切割面的面积取最大值时且不经过上 下底面圆心时，不难知为钝角．设圆台的高为h，则 ta n 2 r 2 h r1 2 h 1  = − =  ，故0h2． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 1−x 已知函数 f(x)=alnx+ ． x （1）讨论 f(x)的单调性； （2）若 f ( x ) 有极小值，且极小值大于 ( a 2 + 1 ) ( a − 1 ) ，求 a 的取值范围． 【解析】（1） f(x)的定义域为 ( 0 , +  ) ， f ( x ) = a x x − 2 1 ． ① a≤0时， f ( x )  0 ，此时 f ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递减； ② a0时，令 f ( x )  0 得 0  x  1 a ，令 f ( x )  0 得 x  1 a ，此时 f ( x ) 在 ( 0 , 1 a ) 上单调递减，在 ( 1 a , +  ) 上单调递增． （6分） （2）由（1）知 a  0 时， f 极 小 值 = f ( 1 a ) = − a ln a + a − 1  ( a 2 + 1 ) ( a − 1 ) ，整理得 ln a + a 2 − a  0 ． 令g(a)=lna+a2 −a，则 g ( a ) = 1 a + 2 a − 1 ≥ 2 1 a  2 a − 1 = 2 2 − 1  0 ， 故g(a)在 ( 0 , +  ) 上单调递增，又 g (1 ) = 0 ，所以 a 的取值范围为 ( 0 ,1 ) ． （13分） 16．（15分） 如图，四棱锥 P − A B C D 的底面为正方形， A B = A P = 2 ， P A ⊥ 平面 A B C D ，E,F 分别是线段 P B , P D 的中点， G 是线段PC上的一点． （1）求证：平面EFG⊥平面 P A C ； （2）若直线 A G 与平面 A E F 所成角的正弦值为 1 3 ，求 C G 的长． 【解析】（1）连接BD，因为E,F 分别是线段 P B , P D 的中点，所以EF∥BD． 因为PA⊥平面 A B C D ，BD平面 A B C D ，所以PA⊥BD，即EF ⊥PA， 又 A B C D 为正方形，所以BD⊥ AC，即 E F ⊥ A C 又PA AC= A， P A , A C  平面PAC ，所以 E F ⊥ 平面PAC ， 又EF 平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC ． （6分） （2）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A−xyz， 则A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，AE=(1,0,1)，AF =(0,1,1)，设 数学试题 第4页（共5页） P G P C ( 0 1 )   =   ，则AG= AP+PG=(0,0,2)+(2,2,−2)=(2,2,2−2)． 设平面 A E F 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) ，则  A A E F   n n = = x y + + z z = = 0 0 ，令 z = − 1 得 n = (1 ,1 , − 1 ) ． 设直线 A G 与平面 A E F 所成角为，则 s in | c o s , A G | | | | A | G A G | | 3 4 2 | 6 4 2 2 | ( 2 2 ) 2 1 3      =  n  = n n   =  + − + − = ． 1 1 5 3 解得= 或 ，所以CG=(1−)PC=(1−)2 3= 或 6 2 3 3 ． （15分） 17．（15分） 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守 方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继 续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为 a ，乙在进攻方胜率为 b ，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若 a = 1 2 , b = 1 3 ，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若 a + b = 1 ，记游戏局数为 X ，求 E ( X ) 的最大值． 【解析】（1）设第二局乙获胜的概率为 P ( A ) ， 则 P ( A ) = a (1 − a ) + (1 − a ) b = (1 − a ) ( a + b ) ． （3分） （2）设比赛三局甲获胜的概率为 P ( B ) ，比赛四局甲获胜的概率为 P ( C ) ， 则 P ( B ) = a 3 ， P ( C ) = (1 − a ) (1 − b ) a a + a (1 − a ) (1 − b ) a + a a (1 − a ) (1 − b ) ， 代入 a = 1 2 , b = 1 3 ，得甲在四局以内赢得比赛的概率 P ( B ) + P ( C ) = 1 8 + 1 8  2 3  3 = 3 8 ． （8分） （3）若 a + b = 1 ，则每局游戏中甲获胜的概率为 a ，失败的概率为b． 由题意， P ( X = 3 ) = a 3 + b 3 ， P ( X = 4 ) = C 13 a 3 b + C 13 a b 3 ， P ( X = 5 ) = C 24 a 3 b 2 + C 24 a 2 b 3 ． （11分） 于是，利用 a + b = 1 ， E(X)=3(a3 +b3)+12(a3b+ab3)+30(a3b2 +a2b3) =3(a2 +b2 −ab)+12ab(a2 +b2)+30a2b2(a+b) =3(1−3ab)+12ab(1−2ab)+30a2b2 =6a2b2 +3ab+3 因为 0  a b ≤ ( a + 2 b ) 2 = 1 4 ，所以 a b = 1 4 时， E ( X ) 取得最大值 3 3 8 ． （15分） 18．（17分） 平面直角坐标系 x O y 中，已知点 P ( 0 ,1 ) ，动点 M 在x轴上的投影为 M  ，且|MM |=|MP|，记动 点M 的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知点A,B在曲线  上，点 A 在 x 轴上方且异于点 P ，点 B 在 x 轴下方，直线 A P , B P , A B 与 x轴分别交于点C,D,Q． （ⅰ）若 P A ⊥ P B ，求|AB|的取值范围； （ⅱ）求证：|QC||QD|=|PQ|2． 【解析】（1）设M(x,y)，则M(x,0)，由题意，| y|= x2 +12 ， 整理得曲线的方程为：y2 −x2 =1． （4分）（2）（ⅰ）联立直线 数学试题 第5页（共5页） P A : y = k x + 1 与  得： ( k 2 − 1 ) x 2 + 2 k x = 0 ，故 x A = k − 2 2 k − 1 ， 又 P A ⊥ P B ，以 − 1 k 替代 k ，得 x B = ( − − 2 ( 1 k − ) 2 1 k − ) 1 = 1 2 − k k 2 ，所以 x A = x B ，即 A B ⊥ x 轴． 于是， | A B |= 2 y A  2 ，即 | A B | 的取值范围为 ( 2 , +  ) ． （10分） （ⅱ）联立直线 A B : x = m y + t 与  得： (1 − m 2 ) y 2 − 2 m ty − ( t 2 + 1 ) = 0 ， −2mt t2 +1 由韦达定理，y + y = ，y y = ，由0t2 +1m2． （13分） A B m2 −1 A B m2 −1 在直线 A P : y = y Ax − A 1 x + 1 中，令 x = 0 得 C ( − y A x A− 1 , 0 ) ，同理 D ( − y B x B− 1 , 0 ) ，又 Q ( t , 0 ) ， x x ty −t+my +t ty −t+my +t 于是|QC||QD|=|t+ A ||t+ B |=| A A || B B | y −1 y −1 y −1 y −1 A B A B = ( t + m ) 2 | y A y B − y ( Ay y A B+ y B ) + 1 |= ( t + m ) 2 | ( t 2 + 1 ) − ( t − 2 2 + m 1 t ) + ( m 2 − 1 ) |= t 2 + 1 = | P Q 2| ． （17分） 19．（17分） 已知 n  N * 且 n ≥ 2 ，数列A :a ,a ,a , ,a ,a ，定义数列 0 1 2 3 n−1 n A 0 的一个变换T ，在变换 T 下数列 A 0 变为新的数列 A 1 : a 1 − a 2 , a 2 − a 3 , , a n − 1 − a n , a n − a 1 ，记 T ( A 0 ) = A 1 ，设 A k + 1 = T ( A k ) ， k  N ． （1）若 A 0 : 1 , 2 , 4 , , 2 n − 1 ，求A ， 1 A 2 ； （2）若 n = 1 0 0 ，且 A 0 : 1 , 2 , 3 , , n ，记数列 A k ( k  N * ) 的末项为b ，求数列 k { b k } ( k  N * ) 的前100 项的和； （3）若n=4，数列 A 0 不是常数列，求证：存在 k 0  N * ，使得对任意k≥k ，数列 0 A k 中至少有 一项的绝对值大于2025． 【解析】（1）由定义知： A 1 : − 1 , − 2 , − 4 , , − 2 n − 2 , 2 n − 1 − 1 ， （2分） A :1,2,4, ,2n−3,−32n−2 +1,2n−1． （4分） 2 （2）由题， A 1 : − 1 , − 1 n − , 1 个 , − 1 , n − 1 ，故 b 1 = n − 1 ； A 2 : 0 , 0 , n − 2 个 0 , − n , n ，故b =n； 2 A 3 : 0 , 0 n , − 3 个 , 0 , n , − 2 n , n ，故 b 3 = n ；……，依次类推知 b k =  n n − , 2 1 , ≤ k k = ≤ 1 1 0 0 ； （8分） 故 S 1 0 0 = b 1 + b 2 + + b 1 0 0 = n − 1 + 9 9 n = 1 0 0 n − 1 = 9 9 9 9 ． （10分） （3）当 n = 4 时，记数列A :x ,y ,z ,t ， k k k k k k  N ，则kN*时，x + y +z +t =0， k k k k x 1 , y 1 , z 1 , t1 不 全为0，x =x − y ;y = y −z ;z =z −t ,t =t −x ． （12分） k k−1 k−1 k k−1 k−1 k k−1 k−1 k k−1 k−1 故k≥2时，x2 + y2 +z2 +t2 =(x −y )2 +(y −z )2 +(z −t )2 +(t −x )2 k k k k k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 =2(x2 +y2 +z2 +t2 )−2(x +z )(y +t )=2(x2 +y2 +z2 +t2 )+2(x +z )2 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 k−1 ≥2(x2 + y2 +z2 +t2 )≥22(x2 + y2 +z2 +t2 ) k−1 k−1 k−1 k−1 k−2 k−2 k−2 k−2 ≥ ≥2k−1(x2 + y2 +z2 +t2)． （15分） 1 1 1 1 取k 使得2k 0 −1(x2 + y2 +z2 +t2)420252，则对任意 0 1 1 1 1 k ≥ k 0 ，x2 + y2 +z2 +t2 420252，故 k k k k x2,y2,z2,t2中至少有一个数大于20252，即数列 k k k k A k 中至少有一项的绝对值大于2025． （17分）