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江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．记 为递减等差数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图所示，则下列结论中
一定成立的是（ ）
A． 有极大值 B． 有极小值
C． 有极大值 D． 有极小值
5．2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李
和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排
列方式共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种6．已知函数 ，若 有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．A、B是一个随机试验中的两个事件，且 ，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 分别为定义在 上的函数 和 的导函数，且 ，
，若 是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．
D．
二、多选题
9．下列函数在 上是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列 的前n项和为 满足 ，数列 满足 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．设 ，则 的最小值为12C．若 对任意的 恒成立，则
D．设 ，若数列 的前n项和为 ，则
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上（A在第一象限），点 在 上，以 为
直径的圆过点 ，且 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的面积的最小值为 D． 的面积大于
三、填空题
12．设函数 ，则 ．
13．已知数列 的前n项和分别为 ，且 ，将两个数列的公共项按原顺
序构成新数列 ，若 ，则n的最大值为 ．
14．已知函数 满足：① ， ；② ， ．若 是方程
的实根，则 ．
四、解答题
15．在数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．16．已知函数 ， 为 的导函数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取得极值，求 的单调区间和最值．
17．数列 和它的前 项的和 满足 .
（1）求证：数列 是等比数列，并求出该数列的通项公式；
（2）已知 ， .
①求 ；
②是否存在 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列？如果存在，求出 、 、 ，
如果不存在，请说明理由.
18．在三棱锥 中， ， ， 与平面 所成的角为 ．
(1)若 ， ，如图，过点 作平面 ，分别交 ， 于点 ， ．
①求证： 平面 ；
②设 ， 为平面 内的动点，求 周长的最小值．
(2)若 ， ，求二面角 的取值范围．
19．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个极值点 ， ．
（i）求实数a的取值范围；（ii）证明： ．江西省新余市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A D C C C AB ACD
题号 11
答案 ABD
1．A
【详解】因为集合 ， ，
则 ，
则 .
故选：A.
2．D
【详解】“ ”的否定是“ ”.
故选：D
3．A
【详解】由 ，则 ，若数列公差为 ，则 ，
∴ ，且 ，可得 ，故 ， ，
∴ .
故选：A
4．A
【详解】函数 的图象如图所示，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减，
有极大值 ，无极小值，
故选： .5．D
【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有两人看《哪吒》，则有 种方案，有一人看《哪吒》电影，则有 种方案，
即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有 种方案.
故选：D.
6．C
【详解】当 时， 单调递增且 ，此时 至多有一个零点，
若 有三个零点，则 时，函数有两个零点；
当 时， ，故 ；
当 时，要使 有两个零点，
则 ，
所以 ，又 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
7．C
【详解】 ， ，
又 ， ，故C错误；
， ， ，故A正确；， ，故B正确；
，故D正确.
故选：C.
8．C
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 为奇函数，
所以函数 的图象关于点 对称，
所以 关于 对称，
又 ，
所以函数 的图象关于点 对称，A正确；
因为函数 的图象关于点 对称，
所以 的图象关于原点对称，
所以 ，
所以 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，B正确；因为 是奇函数，所以 ，
所以 ，即
又 ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为4，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 ，D正确；
设 ，则 ， ，
满足所给条件，但 ，所以C错误.
故选：C.
9．AB
【详解】对于A， ， 在 上单调递增，故A正确；
对于B， ， 在 上单调递减，故B正确；
对于C， ，令 ，令 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D， ，令 ，令 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故D错误；
故选：AB.
10．ACD【详解】对于选项A：因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为 为等比数列，所以 ，即 ，解得 ，
此时 符合 ，则 ， ，即 为等比数列，故A正确；
对于选项B：因为 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 ，所以 不能取到 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，则 ，
因为 符合上式，所以 ，
若 对任意的 恒成立，则 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，故C正确；
对于选项D：由题意得， ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】设 在 上的投影为 与 轴交于点 ，因为 两点在 上，则 ，
又 ，则 ，得 ，A正确；
设A在 上的投影为 ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，
即 ， 为等边三角形，
则 ， ，B正确；
若 在第四象限，设 ，则 ，
，令 ，
则 ，
则 ，当且仅当 时取最小值，易知 错误；
易知 ，所以 ，当且仅当 轴时取等号，
由C知，此时 ，故 ，D正确.
故选：ABD12． /
【详解】 .
故答案为：
13．
【详解】 ， 当 时， ，
当 时， ，
当 时 也满足 ，故 ；
又 ，当 时， ， ，
当 时， ， ，即 ，
是首项为 ，公比为 的等比数列， ，
数列 是数列 的公共项，
又 ， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，且 为单调递增数列，满足 的 的最大值为 .
故答案为： .
14．2
【详解】由②及题设条件，得 .
由①，知 为增函数，得 ，即
即 .
令 ，则 .
又 为增函数，所以 ，即 ，所以 ，
故 .
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 .
16．(1)
(2)答案见解析【详解】（1）当 时， ，
则 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由 ， ，则 ，
所以 ，
则 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，解得 ，
此时 ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 时，函数 取得极小值，满足题意，即 ，
则函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时，函数 取得最小值 ，无最大值.
17．（1）证明见解析， ；（2）① ；②不存在，详见解析.
【详解】（1）当 时， ，得 ；
当 时， ①， ②，① ②，得 ， ，则 .
是以 为首项与公比的等比数列， ；
（2）① ，
；
②假设存在 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列，则 .
去分母，整理得 ，
（*）
、 、 三个互不相等，且 ，不妨设 ， ， .
， .
显然等式（*）不成立， 、 、 不可能成等差数列.
18．(1) 证明见解析； 1；
① ②
(2) .
【详解】（1）（i）由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
由 ，得 ⊥平面BCD，而 平面 ，则 ⊥ ，
又 ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，而 ， 平面 ，
所以 平面PCD；
（ii）由 ，得 ， ，则 ，
过点 作 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，由 ，得 ， ，
则 ， ， ，
则平面 的一个法向量为 ，
设 点关于平面 对称的点为 ，则 ，
，要 最小，则需 三点共线，
此时 的最小值为 的长，其中 ，且 ，
则 且 ，而 ，解得 ，
故 ， ；
所以△CGH周长的最小值为 .
（2）PB与平面BCD所成的角 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，平行 的直线为 轴，垂直于 平面的直线为 轴，建立空间
直角坐标系，
因为 ，故 ，
PB与平面BCD所成的角 ， ，则点 在平面BCD的投影为以 为圆心， 为半径的圆，
设 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图形知，二面角 是锐二面角， ，
则 ，
令 ，则 ，
又 在 上单调递减，因此 ，
所以二面角 的取值范围为 .
19．(1)答案见解析；
(2)（i） ，（ii）证明见解析.
【详解】（1）由 定义域为 ，且 ，
令 得， 或 ，
①当 时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减，
， ， 单调递增，②当 时， ， 在 单调递增，
③当 时， ， ， 单调递增，
， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
综上：
当 时， 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 .
（2）（i）由已知， ，则 ，
函数 有两个极值点 ， ，即 在 上有两个不等实根，
令 ，只需 ，故 ，
（ii）由（i）知， ， ，且 ，
，
要证 ，即证 ，只需证 ，
令 ， ，则 ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递减，
又 ， ，由零点存在性定理得， 使得 ，即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
则 ，
∵ 在 上显然单调递增，
∴ ，
∴ ，即 ，得证．
