文档内容
2024-2025 学年下学期期末测评试卷
高二数学
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷
上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将
自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其
他位置答题一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知生物体内存在酶 、酶 、酶 、酶 、酶 ，酶 可以与酶 、酶 、酶 、酶 中的任意一
种酶发生特异性结合反应.现有3个不同的酶 分子，每个酶 分子都随机选择一种酶进行结合，且相互
独立，则不同结合方式的种数是（ ）
A.72 B.68 C.64 D.58
2.若 ，则 （ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
3.用最小二乘法得到一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，
，则 的值为（ ）
A.30 B.36 C.38 D.40
4.若8名党员中有3名优秀党员，从这8名党员中选出4名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的人
数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知 ， ，若 ， ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
6.在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实
习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一
实验室实习的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记
为 分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其
中5道题，记该选手的得分为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某航天知识竞赛的统计结果显示参赛者的得分成绩 近似服从正态分布 ，且 ，
现从参赛者中随机抽取6人，记得分在区间 的人数为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一
种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（ ）
A.第8行的第8个数是8 B.第2026行中，第1014个数最大
C.第10行中，第5个数与第6个数之比为 D.第 行所有数字的平方和为11.已知函数 ，且图象的对称中心为点 ，则（ ）
A.函数 在 处取得极小值1
B.当 时，
C.当 时， 的取值范围是
D. 只有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为_____.
13.假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的 ， ，
，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙
实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不
合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为_____.
14.若函数 与 的图象有且仅有一个交点，则关于 的不等式
的解集为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至
5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表：
月份 1 2 3 4 5
繁殖量 /千个 1.5 2 3.5 8 15
（1）据上表数据，计算 与 的相关系数 （精确到0.01），并说明 与 的线性相关性的强弱；（若
，则认为 与 线性相关性很强，否则认为 与 线性相关性较弱）
（2）利用最小二乘法建立 关于 的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差.
参考数据： ， ， .参考公式：对于一组数据 ，其相关系数 ，其经验回
归直线 中， ， .
16.（15分）假设某次模拟航天任务中，航天员需要完成两种任务：任务 和任务 ，航天控制中心对45
名模拟航天员进行了任务分配情况的调查，得到了如下的列联表：
任务
性别 合计
任务 任务
男 4
女 6
合计 45
若从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人，抽到分配任务 的女航天员的概率为 .
（1）将上面的 列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）根据小概率值 的独立性检验，能否据此推断任务分配与性别有关？
（3）现从女性航天员中抽取2人做进一步调查，设其中分配任务 的女性航天员人数为 ，求 的分布
列与期望.
附： ， .
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）已知 .
（1）求 的值.
（2）若 ，求 被4除后的余数.
（3）求 的值.
18.（17分）已知函数 .（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）证明： .
19.（17分）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有
奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且
大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地
连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
（1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率；
（2）分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望；
（3）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动?2024-2025 学年下学期期末测评试卷高二数学
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.C 【解析】酶 可以与酶 、酶 、酶 、酶 中的任意一种酶发生特异性结合反应，即每一个酶
分子都有4种结合选择方式，那么3个不同的酶 分子的结合方式共有 （种）.故选C.
2.C 【解析】由组合数的性质可得 ，解得 ，又 ，所以 或
，解得 （舍去）或 ，故 .故选C.
3.A 【解析】根据题意有，线性回归方程为 ，故
，所以 .故选A.
4.C 【解析】从8名党员中选出4名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的人数为 ，所以
.故选C.
5.A 【解析】 ， ，使得 成立，则 ， 函数
， ，令
，得 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增， 在 处取极小值，也是最小值， 函数 的最小值为 ，
，则 ，所以 .故选A.
6.D 【解析】记事件 为“甲在分子生物学实验室实习”，事件 为“甲与乙不在同一实验室实习”，样本点的总数为 ， ，
事件 ， 同时发生的情况种数为 ，
， .
.故选D.
7.B 【解析】 的所有可能取值为 ，0，2，
所以 ， ， ，
则 的分布列为：
0 2
所以 .故选B.
8.D 【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，故 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，故 ，即 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
当 时，由 ，得 ，所以 ， ，即 .
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 .故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABC 【解析】对于A，因为参赛者的得分成绩 近似服从正态分布 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以A正
确；
对于B，由选项A可知 在区间 的概率为0.8，则 ，
所以 ，所以 ，所以B正确；
对于C，由选项B可知 ，所以 ，所以C
正确；
对于D，由题意得 ，所以D错误.
故选ABC.
10.ABD 【解析】对于选项A，依题意，第8行的第8个数是 ，所以A正确；
对于选项B，由题图可知：第 行有 个数字，如果 是奇数，则第 和第 个数字最大，
且这两个数字一样大；如果 是偶数，则第 个数字最大，故第2026行中，第1014个数最大，故B
正确；
对于选项C，第10行是 的展开式的二项式系数，所以第5个数与第6个数之比为 ，
故C错误；
对于选项D，由题易知，第 行所有数字的平方和为 ，构造等式
，
在等式左边展开式中 的系数为 ，
等式右边展开式中 的系数为 ，故第 行所有数字的平方和为 ，故
D正确.故选ABD.
11.AD 【解析】根据题意可知，因为函数
，所以 ，即 的图象恒关于点
对称，故有 ，故 .
对于A，由 ，可得 ，令 ，即 ，
化简得 ，即 ，解得 或 ，当 时， , 单调递
增；当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以 是
极大值点， 是极小值点，且有 ，故选项A正确.
对于B，当 时， ， ，即 ， 在同一个区间 内.又 在
上单调递减，所以当 ，即 时， ；当 ，即 时，
；当 ，即 时， ，故选项B错误.
对于C，令 ，当 时， ，由A知当 时， 单调递减，又
， ，所以当 时， ，即当 时，
，故选项C错误.
对于D，由A可知，当 时， ， ， ， ，
即 只有一个零点，其在（-1，1）上，故选项D正确.
故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.54 【解析】 的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为 和 ，所以 ，根据组合数的性质可得 .对于 ，易得展开式的通项为 ，
，令 ，得 ，所以常数项为 .故答案为54.
13.0.5 【解析】记甲、乙、丙分别为第1，2，3个实验室， 为事件“化学试剂为第 个实验
室制备”，则 ， ， ，
记 为事件“任取一个试剂，其纯度不合格”，故由全概率公式得
，
由贝叶斯公式得 .故答案为0.5.
14. 【解析】函数 与 的图象有且仅有一个交点，
即 只有一个零点，即关于 的方程 只有一个解，
令 ，则 ， .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减，并且 ，
所以 ， ，
函数 的大致图象如图.因为 ，所以 ，故不等式 即为
设 ，易知 在 上单调递增，且 ，故不等式
的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）由已知得， ， ，
， ，
，
故 ，
所以 与 的线性相关性很强.
（2）因为 ， ， ，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
当 时， ，
所以5月份该生物繁殖量的残差为 .
16.（1）因为从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人，抽到分配任务 的女航天员的概率为 ，
则女航天员共有 （人），男航天员有27人，
所以补充列联表如下：性 任务
合计
别 任务 任务
男 23 4 27
女 6 12 18
合
29 16 45
计
（2）零假设为 ：任务分配与性别无关，
计算得 ，根据小概率值 的独立性检验，
我们推断 不成立，即认为任务分配与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）根据题意， 的所有可能取值为0，1，2，
， ， ，
故 的分布列为：
0 1 2
所以 .
17.（1）令 ，有 ，
令 ，有 ，
即 ，
两式相加除以2，得 .
（2）当 时，
，
所以 被4除后的余数为3.
（3）因为 ，等式两边
同时对 求导可得，
令 ，可得 .
18.（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得 .
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）函数 的定义域为 ，
则 恒成立，即为 恒成立，
由此可得 ，
设函数 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ，故 ，所以实数 的取值范围是 .
（3）证明：由（1）可知当 时， ，
即 ，当且仅当 时取等号，
取 ， ，则 ，
因此 ，
所以 .19.（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为 ，
设“最终获得60元奖金”为事件 ，则 .
（2）若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为 ，每一次摸到白球的概率为 .
设最终获得奖金为 元，则 的所有可能的取值为30，60，90，120，
则 ， ，
， ，
所以 .
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为 ，最终获得奖金为 元，
则 ，故 ，
所以 .
（3）因为 ，所以应选择第二种抽奖方案.
