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2022 年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的概念．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫
做互为相反数．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项分析．
【详解】A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． 2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的
运算法则是解题的关键．
3. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
如图示：
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握“从左边看得到的图形是左视图”是解本题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B. 数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖
D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为 ， ，
则甲的成绩比乙的稳定
【答案】D【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】全面调查适合范围较适中的对象；中位数必须先排序；中奖概率是 ，表示的是抽的次数越多
越接近中奖概率；方差是用来形容数据的波动程度，数字越大波动越大，由此即可求出答案．
【详解】解： ．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，范围太大，不适合用全面调查，不符合题意；
． ， ， ， ， ，排序后的中位数是 ，不符合题意；
C．中奖概率是指抽的次数越多越接近，不符合题意；
．甲的方差小于乙的方差，说明甲稳定，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查对命题的判断，判断命题的真假，主要是对定理的的理解，所以掌握定理、性质是
解题的关键．
5. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
6. 如图，直线 ，截线c，d相交成30°角， ，则 的度数是（ ）【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由邻补角的定义可求得 ，再由平行线的性质可得 ，利用三角形的
外角性质即可求∠2．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
7. 对于实数a，b定义运算“ ”为 ，例如 ，则关于x的方程
⊗
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
的
A. 有两个不相等 实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】A
【解析】
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为 ，再利用一元二次方程根的判别式求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
是解题的关键．
8. 观察下列等式： ， ， ， ， ， ，…根据其中的规律
可得 的结果的个位数字是（ ）
.
A 0 B. 1 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9， 每4个数一组进行循环，所以
，进而可得 的结果的个位数字．
【详解】解：观察下列等式：
， ， ， ， ， ， ，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7， ，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
每4个数一组进行循环，
所以 ，
而 ，
，
所以 的结果的个位数字是7．
故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律．
9. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车
出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的
速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得汽车的速度为2xkm/h，由一部分学生骑自行车先走，
过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达列得方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
可列方程为 ，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定题目中的等量关系是解题的关键，注意单位
应统一，20min为 ．
10. 如图，在 中， ，以B为圆心，适当长为半径画弧交 于点M，交 于点N，分别
以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线 交 于点E，点F为 的中【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
点，连接 ，若 ，则 的周长是（ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE= AC=
2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2 ， CF= BC= ，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE= AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC= ，
∵点F为BC的中点，
∴EF= AB= ， CF= BC= ，
∴ CEF的周长为： +2= 2 + 2．
∆
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角
形的性质是解答本题的关键．
11. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（
）．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt AB′E和Rt ADE全等，根据全等三角形对
应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然△后求出∠DA△E＝30°，再解直角三角形求出
DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt AB′E和Rt ADE中，
△ △
，
∴Rt AB′E≌Rt ADE（HL），
∴∠△DAE＝∠B′△AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝ ×60°＝30°，
∴DE＝1× ＝ ，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（ ×1× ）＝1﹣ ．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形判定与性质、解直角三角形，利用全等三角
形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．
12. 如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为
），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点 ，
都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上
方的图像，可判断③错误，求出 ， ，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴ ，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴当x=-1时， ，
∵ ，
∴将 代入 ，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有 ，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时， ，
当x=2时， ，
∵ ，3a+c=0，a<0，
∴ ， ，
∴ ，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，
c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13. 分解因式：ab2-2ab+a＝__________．
【答案】a(b-1)2
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据完全平方公式即可分解．
【详解】解：ab2-2ab+a，
＝a(b2-2b+1)，
＝a(b-1)2．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，灵活运用分解因式的方法是解决本题的关键．
14. 已知x，y是实数，且满足y= ＋ ＋ ，则 的值是______．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可得 ，解得： ，即可求出y的值，即可求出 的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得 ，解得： ，
∴ ，即： ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及
二次根式的乘除的运算法则即可.
15. 如图，在等腰直角三角形 中， ，点P在以斜边 为直径的半圆上，M为 的
中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，
可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长．
【详解】取 的中点 、 的中点 、 的中点 ，连接 、 、 、 、 、 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图，
则 ，且 ， ， ，
∴四边形CEOF为平行四边形，
∵AC=BC，∠ACB=90 ，
°
∴四边形 为正方形，
∴CE=CF= ，EF=OC，
由勾股定理得： ，
∵在等腰 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
当点 点在点 时， 点在 点；点 点在点 时， 点在 点，
∴ 点的路径为以 为直径的半圆，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴点 运动的路径长 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及
正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点．
16. 已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是_____．
【答案】a≥2
【解析】
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【详解】解： ，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为a≥2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小无处找．
17. 如图，在平面直角坐标系中，Rt 的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第
一象限，反比例函数 （ ）的图象经过OA的中点C，交 于点D，连接 ．若 的
面积是1，则k的值是_________．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接OD，过C作 ，交x轴于E，利用反比例函数k的几何意义得到
，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【详解】解：连接OD，过C作 ，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数 （x＞0）的图象经过OA的中点C， ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ， ，2OC=OA，
∵ ，
∴△OCE∽△OAB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴k＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一
个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．在反比例函数的图象上任意一点向
坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了相似三
角形的判定与性质．
三、解答题：本题共4小题，每小题6分，共24分．解答应写出文字说明，演算步骤．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基
础．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当 时，原式 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要
约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
20. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的
仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度 ，即
，请你帮助该小组计算建筑物的高度 ．（结果精确到0.1m，参考数据： ）
【答案】该建筑物 的高度约为31.9m
【解析】
【分析】如图，作 交 于点E，作 交 于点F，作 交 于点H，根
据题意分别求出BF和AF的长，再根据 即可求解．
【详解】作 交 于点E，作 交 于点F，作 交 于点H
则 ， ，
∵
∴设 ，则
在 中，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴
∴ （负值舍去）
∴ ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
∵
∴
在 中，
∵
∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物 的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三
角形是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
21. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，
将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点 在函数 的图象上的概
率．
【答案】（1）P（奇数）
（2）P（点在函数 的图象上）
【解析】
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点 在函数
的图象上的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：P（奇数）
【小问2详解】
解：列表得：
x
1 2 3 4
y
1
2
3
4
共有12种等可能的结果，其中点在函数 的图象上的有2种 ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴.P（点在函数 的图象上）
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回
实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、（本题7分）
的
22. 如图，在平行四边形 中，点O是 中点，连接 并延长交 的延长线于点E，连接
， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是菱形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）证 ABO≌△DEO（AAS），得OB=OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边△形的性质得AB=CD，再证AB=BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形
∴
∴
∵点O是 的中点
∴
在 和 中【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ （AAS）
∴
∴四边形 是平行四边形
【小问2详解】
四边形 是菱形.
理由：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 是平行四边形
∴四边形 是菱形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌
握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
五、（本题7分）
23. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书
籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名
学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并
绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类） 学生有多少名？
【答案】（1）这次调查中，一共调查了200名学生
（2）“D”所在扇形的圆心角的度数是54°，补全条形统计图见解析
（3）估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人
【解析】
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以
及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【小问1详解】
解：这次调查的总学生人数是
答：这次调查中，一共调查了200名学生
【
小问2详解】
D所占百分比为 ，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%=54°；
B所占的百分比是1-15%-20%-30%=35%，
C的人数是：200×30%=60（名），
补图如下：
【小问3详解】
估计全校喜欢B（科技类）的学生是
答：估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，利用样本估计总体，正确利用条形统计图得出【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
正确信息是解题关键．
六、（本题8分）
24. 如图， 是 的外接圆， 与 相切于点D， 分别交 ， 的延长线于点
E和F，连接 交 于点N， 的平分线 交 于点M．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得 ⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得
，进而即可得出结论；
（2）由平行线分线段定理得 ，再证明 ，可得BD=2 ，最后证明
,进而即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 交 于点H.
∵ 与 相切于点D【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 平分 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，
等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．
七、（本题10分）
25. 某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000
元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不
少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方
案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】（1）购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
（2）共有6种进货方案
（3）当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得 解得
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
【小问2详解】【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得
变形得
由题意得：
由①得：
由②得：
∴
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
【小问3详解】
设总利润为W元
则
∵
∴W随x的增大而增大
∴当 时，W有最大值： （元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元
一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
八、（本题13分）
26. 如图，抛物线 经过 ， 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交
于点C．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 面积最大时M点的坐
标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有
满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【答案】（1） ，
（2） ，当 时，S有最大值为
（3）满足条件的点P坐标为 ， ，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，- +m+ ），
则N（m，- m+ ），可得S = •MN•OB= + ，再求解即可；
MBC
△
（3）设Q（0，t），P（m，- +m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②
当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
利用中点坐标公式求解即可．
【小问1详解】
解：把点 和 分别代入 可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把 代入 可得
∴ ；
【小问2详解】
解：作直线 ，作 轴交直线 于点N
设直线 的解析式为 （ ）
把点 和 分别代入【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
可得
解得
∴直线 的解析式为
设点M的横坐标为m
∴ ，
∴
∴
（ ）
∴当 时，S有最大值为
把 代入 可得
∴ ；
【小问3详解】
解：当以 为边时，只要 ，且 即可【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴点P的横坐标为4或-4
把 代入 可得
把 代入 可得
∴此时 ，
当以 为对角线时，作 轴于点H
∵四边形 是平行四边形
∴
∴
在 和 中【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把 代入 可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为 ， ，
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨
论是解题的关键．【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
