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石家庄实验中学 2026 届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一．选择题：
1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C
二．选择题：
9．AD 10．ABD 11．BCD
三．填空题：
4❑√2
12． 13． 14． 9
四．解答题：
15．（1） ，即 ，故圆心 ， ，
，
设直线方程为 ， ，
故圆心到直线的距离为 ，即 ，
解得 或 ，故直线方程为 或 .
（2） ，即 ， ，
故 在圆 的内部，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是
16．（1）由 ，则
，
所以 ，则 ，
（2）（i）由题设 ，则 ，
若 且 ，如下图示，
由 ， ，则 ，则 ，
所以 ，则 ，
故 ；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由 ，如下图示， ，
所以 ，则
，
又 ，则 ，故 ，
当且仅当 时取等号，故 长的最小值为 .
17．(1)依题意，可以建立以A为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向
的空间直角坐标系(如图)，
可得 ， .
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又 ，且
，所以 平面 ，故 是平面ADE的一个法向量，
又 ，可得 ，
又因为直线 平面 ，所以 平面 .
(2)
依题意， ，
设 为平面BDE的法向量，
则 ，即 ，不妨令z=1，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设直线 与平面 所成角 ，因此有 .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)
设 为平面BDF的法向量，则 ，即 .
不妨令y=1，可得 .
由题意，有
由图可知平面BDE与平面BDF夹角为锐角，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为
.
18．（1）函数 的定义域为 ， ，
令 ，得 ，即函数 在 上单调递减，
令 ，得 ，即函数 在 上单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值；
（2）因为 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，
所以函数 在 上存在唯一零点 ，且 ， ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 的最大整数值为 .
19．（1）当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 的最小正周期为 ；
对 求导得 ，
令 ，即 ，解得 ， ；
令 ，即 ，解得 ， .
故函数 的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ， ；
（2）对 求导得
.
注意到 ，借助“端点效应”可得 ，解得 .
当 时， ，可得 在区间 上单调递减，
所以 ，
故实数 的取值范围为
（3）由（2）可知，当 时， .
设 ， ，
则 ；
令 ， ，
则 ，可得 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
可得 时， ，
可得
，
则 .
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