文档内容
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间
120分钟．祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 （选择题共 45 分）
注意事项：
1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高．
·柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高．
·如果事件 互斥，则 ．
·如果事件 相互独立，则 ．
·任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）“ ”是“ ”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）函数 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
（第3题）（A） （B）
（C） （D）
（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派
了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：
．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）
①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位
数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（5）已知数列 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
（A）9 （B）21 （C）45 （D）93
（6）已知函数 ，函数 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 ，将
图象上所有的点向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不
变），得到的图象所表示的函数为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，已知四棱锥 的体积为 是 的平分线， ，若棱 上的
点 满足 ，则三棱锥 的体积为（ ）（第7题）
（A） （B） （C） （D）
（8）已知实数 ，满足 ，则下列关系不可能成立的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知双曲线 的右焦点为点 ，过点 作双曲线 的其中一条渐近线 的
垂线，垂足为点 （点 在第一象限），直线 与双曲线 交于点 ，若点 为线段 的中点，且
，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷 （非选择题共 105 分）
注意事项：
1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．
2．本卷共11题，共105分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对 1个的给3
分，全部答对的给5分）
（10） 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为______．
（11）在 的二项展开式中， 的系数为______．
（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取
球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一
个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，
则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线 与圆 相交于 两点，若点 为圆 上一点，且
为等边三角形，则 的值为______．
（14）如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，记
，用 表示 ______；设 ，若 ，则 的最
小值为______．
（第14题）
（15）若方程 在区间 内有两个不等的实根，则实数 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（16）（本小题满分14分）
在 中，内角 所对的边分别为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值．
（17）（本小题满分15分）
如 图 ， 四 棱 柱 中 ， 侧 棱 底 面 ，
，四棱柱 的体积为36．
（第17题）（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
（18）（本小题满分15分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的左，右焦点分别为点 ，左，右顶点分别
为点 ，离心率为 ．已知点 是抛物线 的焦点，点 到抛物线 的准线的距
离为1．
（Ⅰ）求椭圆 的方程和抛物线 的方程；
（Ⅱ）直线 交椭圆 于点 （点 在第二象限），交 轴于点 的面积是 面积的
倍，求直线 的斜率．
（19）（本小题满分15分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式以及 ；
（Ⅱ）若等比数列 满足 ，且 ，
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 ，
是 与 的等比中项且 ，则对任意 ，求 的最小值．
（20）（本小题满分16分）
已知函数 ，（Ⅰ）若 ，讨论 在 的单调性；
（Ⅱ）若 ，函数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，求证： ．和平区 2023－2024 学年度第一学期高三年级期末考试
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（9×5分＝45分）
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
D B D B C A B B A
二、填空题（6×5分＝30分）
（10） ．（11） ．（12） ．（13） ．（14） ； ．（15）
．
三、解答题（共75分）
（16）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 ，已知 ，所以 且 ，
所以 ，由正弦定理有 ，所以 ．
（Ⅱ）（ⅰ）因为 ，所以 ，由余弦定理 得 ，
解得 或 （舍），所以 的值为8．
（ⅱ）因为 ，又因为 ，所以 ，
法（一） ，
因为 ，所以 ，所以 ，
．
法（二）因为 ，所以 ，则
，
所以 ．
（17）（本小题满分15分）
解：因为侧棱 底面 ，所以以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴，
轴， 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
又因为棱柱体积为36，易知底面 为直角梯形，其面积为 ，柱体体积 ，
有 ．所以
．
（第17题）
（Ⅰ）证明：因为 ，平面 的法向量为 ，
，所以 ，又因为 平面 ，所以 平面 ．
（ Ⅱ ） 解 ： 因 为 ， 设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则
，令 ，则 ，
由（Ⅰ）得 ，设平面 与平面 的夹角为 ，则平面 与平面 的夹角 的余弦值为 ．
（Ⅲ）解：因为 ，
所以，点 到平面 的距离为 ．
（18）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设点 的坐标为 ．依题意， ，解得 ，
于是 ．
所以，椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）设点 坐标为 ，点 坐标为 ，且由题意 ，
（法一）由 ，可得 ，即 ，即 ，则 ，
由 ，即 ，可得 ，
因为点 在第二象限，则 ，将 代入椭圆方程 ，求得 ，所以点 坐标为 ，
又因为 ，则直线 的斜率为 ．
（法二）
因为点 在第二象限，则直线 的斜率存在且大于0，
设直线 的方程为 ，
因此点 ．
，联立方程组，整理得到 ．
由韦达定理得 ，所以 ，代入直线方程 ．
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，
因为 ，则直线 的斜率为1．
或者因为点 在第二象限，则直线 的斜率存在且大于0，
设直线 的方程为 ，
因此点 ．
，联立方程组，整理得到 ，由韦达定理，得 ，所以 ．
由 ，可得 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，
因为 ，直线 的方程为 ，即 ，则直线 的斜率为1．
（法三）
因为点 在第二象限，则直线 的斜率存在且大于0，
设直线 的方程为 ，则 ，
因此点 ．
，联立方程组，整理得到 ．
由韦达定理得 ，所以 ，代入直线方程 ．
，
，
，即 ，
解得 ，因为 ，则直线 的斜率为1．
或者因为点 在第二象限，则直线 的斜率存在且大于0，
设直线 的方程为 ，则 ，因此点 ．
，联立方程组，整理得到 ，
由韦达定理，得 ，所以 ．
，
，
，即 ，
解得 ，因为 ，直线 的方程为 ，即 ，
则直线 的斜率为1．
（19）（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ，
即 ，解得 ，
，则 ，
．
所以 ．
（Ⅱ）等比数列 满足 ，且 ，公比为2，所以 ，（ⅰ）设 ，
，
，
，①
．②
①式－②式得 ，
．
所以 ．
又 ，则 ．
所以 ．
则 ．
所以 ．
（ⅱ）当 时， ，
，两式相除得 ，，
．
当 为偶数时， 单调递增， 时 有最小值 ．
当 为奇数时， 单调递减， 时 有最大值 ．
则 ，所以 的最小值为 ．
（20）（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（Ⅱ）
不等式可化为： ，设 ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，再令 ，
则 ，所以 在 单调递增，则 ，
即 ，所以 在 单调递增，又因为 的值域为 ．
①当 时，即 时， ，即 ，
则 在 单调递增，所以 恒成立，符合题意．
②当 时，即 时， ，若取 时， ，
所以存在 ，使 ，
则当 时， ，函数 在 上单调递减，此时 ，所以 时，
，与原题 矛盾，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
（Ⅲ）原式即证 ．
由（Ⅱ）可知， 时， ，则 ．
令 ，则 ．取 ，则
．
