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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷全解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。
5．难度系数：0.61。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1 直线 与直线 垂直，则实数
1． 【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得 的值.
【详解】由于 ，所以 .故答案为：
2. 已知直线 ， ，则直线 、 的夹角为
2． 【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.
【详解】将直线方程化为斜截式方程得 ，
所以直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，所以直线 与 的夹角是 故答案为：
3. 过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
3．3x-2y=0或x+y-5=0【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案．
【详解】当截距为0时，直线方程为3x-2y=0；当截距不为0时，设直线方程为 ，则 ，
解得a=5，所以直线方程为x+y-5=0.综上，直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故答案为：3x-2y=0或x+y-5=0.
4. 一条光线经过点 射到直线 上，被反射后经过点 ，则入射光线所在直线的方程
为
4． 【分析】先求点 关于直线的对称点 ，连接 ,则直线 即为所求.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，
所以 ，又点 ，所以 ，直线 的方程为： ，由图可知，
直线 即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程: .
故答案为： .
5. 与圆 ， 同时相切的直线有 条
5． 【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ；圆心距 ，所以两圆相交，公切线有 条.
故答案为： .
6. 若方程 仅表示一条直线，则k的取值范围是
6． 或 【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数 的取值范围．
【详解】原方程可变形为 ，∴ ① 显然， 时， ；
当 时，①式右边有两值，则直线不唯一；当 时，①式右边一正一负，负值不满足，
故所求 的取值范围是 或 ．故答案为 或 ．
7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心
在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点 、 ，其欧拉线方程为
，则顶点C的坐标可以是
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学科网（北京）股份有限公司7． 或 【分析】设 ，依题意可确定 的外心为 ，可得出 一个关系式，
求出 重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【详解】设 的垂直平分线为 ， 的外心为欧拉线方程为
与直线 的交点为 ，∴ ①
由 ， ， 重心为 ，代入欧拉线方程 ，得 ②
由 ①②可得 或 .故答案为： 或 .【点睛】本题以数
学文化为背景，
考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.
8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，
光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P，若光线QR经过△ABC的重心，
则AP= ．
4
8． .【分析】建立平面直角坐标系，求出直线BC与直线QR的解析式，即可得出AP的长.
3
【详解】由题意，如图建立直角坐标系： 则 B(4，0)，C(0，4)，直线BC方程为 x+ y=4即
(0+0+4 0+4+0) (4 4)
y=−x+4，三角形重心为 ， 即 ， ，设P(a，0)，00)
0
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学科网（北京）股份有限公司对应的点为圆心，半径为 的圆； 且 表示以 对应的点为焦点，
z r |z−z |+|z−z |=2a¿ 2a>|z z |) z ，z
0 1 2 1 2 1 2
2a为长轴长的椭圆；（2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答.
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若
，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时，
① 在 、 、 中，圆O的环绕点是 ；
② 直线 与 轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围；
（2）圆T的半径为1，圆心为 ，以 （ ）为圆心， 为半径的所有圆构成图形
H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围.
21.（1）①P，P；② 或 ；（2）-20)为圆心， m为半径的所有圆构成图形H，
图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，然后分⊙T的圆心在y轴的
正半轴上时和当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时结合切线长定理两种情况求解
【详解】（1）①P，P；如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，
1 3
连接TM，TN，当 时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°，
∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM，
以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时，
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学科网（北京）股份有限公司⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点).
如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，
P，P 是⊙O的环绕点，故答案为P，P.
1 3 1 3
②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线 经过点E时，
b=1；当直线 与大圆相切于K(在第二象限)时，
连接OK，由题意B(0，b)，A(-2b，0)，
∴OB=b，OA=2b， ，
∵OK=2， •AB•OK= •OA•OB，∴ ，
解得 ，观察图象可知，当 时，
线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：
当 时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为 或
；
（2）如图3中，不妨设E(m， m)，则点E在直线y= x上，
∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m， m)，∴OM=m，EM= ，
∴以E(m， m)(m>0)为圆心， m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，
以E(m， m)(m>0)为圆心， m为半径的所有圆构成图
形H，图形H即为∠MON的内部，
包括射线OM，ON上；当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，
假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，
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学科网（北京）股份有限公司连接TD.∵ ，∴∠EOM=30°，
∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON=∠EOM=30°，∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0，4)，当⊙T的圆
心在y轴的负半轴上时，
且经过点O(0，0)时，T(0，-2)，观察图象可知，当-2
