文档内容
湖北省襄阳随州部分高中2024—2025学年下学期期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,
则⃗AE·⃗AF的值为( )
1
A.a2 B. a2
2
1 ❑√3
C. a2 D. a2
4 4
1 1 1 1 1
解析：⃗AE·⃗AF= (⃗AB+⃗AC)· ⃗AD= (⃗AB·⃗AD+⃗AC·⃗AD)= (a2cos 60°+a2cos 60°)=
2 2 4 4 4
a2。
故选C。
答案：C
2.折纸艺术是我国民间的传统文化,将一矩形 OABC 纸片放在平面直角坐标系
中,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使点O落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的
取值范围是( )
A.[0,1] B.[0,2]
C.[-1,0] D.[-2,0]
解析：如图,要想使折叠后点O落在线段BC上,可取BC上任意一点D,作线段OD的垂直平
1 1
分线l,以l为折痕可使点O与D重合,k即为直线l的斜率。因为k ≥k = ,由k=- ,
OD OB 2 k
OD
可知-2≤k<0。当折叠后点O与C重合时,k=0,所以-2≤k≤0,则k的取值范围是[-2,0]。故选D。
答案：D
3.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过点P作l的垂
线,垂足为点Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|=( )
A.3 B.6
C.9 D.12解析 抛物线y2=6x的焦点F(3
,0
),准线l:x=-3,设P(x
0
,y
0
)(x
0
>0,y
0
>0),则Q(
−
3
,y
),
2 2 2 0
y y
0 = 0 =−❑√3 y2 27 9
因为QF的倾斜角为120°,所以k = 3 3 −3 ,即y=3❑√3,所以x= 0= = ,
QF 0 0
− − 6 6 2
2 2
3 9 3
所以|PF|=x+ = + =6。故选B。
0
2 2 2
答案：B
4.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,目前受到了广大消费者的追捧,针对这种现
状,某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元,并
在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长12%,则该公司需经过 年其投入资
金开始超过7 000万元。( )
(参考数据:lg 1.12≈0.049,lg 2≈0.301,lg 7≈0.845)
A.14 B.13
C.12 D.11
解析 设该公司经过n年投入的资金为a 万元,则a=2 000×1.12,由题意可知,
n 1
数列{a}是以2 000×1.12为首项,以1.12为公比的等比数列,
n
7 lg 7−lg 2
所以a=2 000×1.12n,由a=2 000×1.12n>7 000可得n>log = ≈11.1,
n n 1.12
2 lg 1.12
因此,该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元。故选C。
答案：C
1 9
5.若函数f(x)= x4+ax3+ x2-b(a,b∈R)仅在x=0处有极值,则a的取值范围为( )
4 2
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[2,6] D.[-1,4]
解析：由题意可得f'(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9)。由于x=0不满足方程x2+3ax+9=0,所以要保
证函数f(x)仅在x=0处有极值,须使x2+3ax+9≥0恒成立,所以(3a)2-36≤0,即9a2≤36,
所以-2≤a≤2。所以a的取值范围是[-2,2]。故选A。
答案：A
6.有5名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰
有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A.120 B.60
C.40 D.30
解析：不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加了两天社区服务,再从剩余的4人抽取2
人各参加星期六与星期天的社区服务,共有 =12种方法,同理,b,c,d,e连续参加了两天社区服
A2
4
务,也各有12种方法,所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数为 5×12=60。故选
B。
答案：B
7.经大量病例调查发现,某病毒检测试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量,对检
测结果的准确性有一定影响。已知国外某地该病毒感染率为 0.5%,在感染该病毒的条件下,
标本检出阳性的概率为99%。若该地全员参加该病毒检测,则该地某市民感染该病毒且标本
检出阳性的概率为( )A.0.495% B.0.940 5%
C.0.99% D.0.999 5%
解析 设A=“国外某地某市民感染该病毒”,B=“标本检出阳性”,
由题意知P(A)=0.5%,P(B|A)=99%,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5%×99%=0.495%。故选A。
答案：A
8.某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重比,
其中每年入围的大学生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)基本都具有线性相关关系,根据今年
的一组样本数据(x,y)(i=1,2,…,50),用最小二乘法建立的经验回归方程为^y=0.83x-85.71,则下列
i i
结论中不正确的是( )
A.y与x正相关
B.经验回归直线过点(x,y)
C.若应聘大学生身高增加1 cm,则其体重约增加0.83 kg
D.若某应聘大学生身高为170 cm,则可断定其体重必为55.39 kg
解析 由于经验回归方程中x的系数为0.83,因此y与x正相关,故A中结论正确;经验回归直
线必过点(x,y),故B中结论正确;由经验回归方程中系数的意义知,身高每增加1 cm,其体重约
增加0.83 kg,故C中结论正确;当某大学生的身高为170 cm时,其体重的估计值是55.39 kg,
而不是精确值,故D中结论不正确。故选D。
答案：D
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图,在直三棱柱ABC⁃A
1
B
1
C
1
中,AA
1
=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点,则下列结论正确的是(
)
A.BC∥平面ABD
1 1
B.平面ABD⊥平面AAC C
1 1 1
❑√10
C.直线BC到平面ABD的距离是
1 1
10
❑√113
D.点A 到直线BC的距离是
1
3
解析 对于选项A,如图①所示,连接AB,交AB于点E,连接DE,因为D是AC的中点,所以
1 1
DE∥BC,又DE 平面ABD,BC 平面ABD,所以BC∥平面ABD,故A正确;对于选项B,因
1 1 1 1 1 1
为 AB=BC,D 是 AC 的中点,所以 BD⊥AC,又平面 AAC C⊥平面 ABC,平面 AAC C∩平面
1 1 1 1
⊂ ⊄
ABC=AC,BD 平面 ABC,所以 BD⊥平面 AAC C,又BD 平面 ABD,所以平面 ABD⊥平面
1 1 1 1
AAC C,故B正确;对于选项C,因为BC∥平面ABD,所以BC到平面ABD的距离d等于点
1 1 1 1 1 1
⊂ ⊂
B 到平面ABD的距离,以D为原点,⃗DC,⃗DB的方向分别为x轴、y轴的正方向,建立如图②
1 1
所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B(0,2 ,3),B(0,2 ,0),A(-1,0,3),所以 =(0,2
1 ❑√2 ❑√2 1 ⃗DB ❑√2
1
,3), =(0,2 ,0), =(-1,0,3), 设 平 面 ABD 的 法 向 量 n=(x,y,z), 则
⃗DB ❑√2 ⃗D A 1
1{⃗DB·n=0,
即
{2❑√2y=0, 得y=0,令z=1,则x=3,所以n=(3,0,1)是平面A
1
BD的一个法向
⃗DA ·n=0, −x+3z=0,
1
量,
则d= |n·⃗DB | 3❑√10,故C错误;
1 =
|n| 10
对于选项D,由C选项的分析知,C(1,0,0), =(1,-2 ,0), =(2,0,-3),则点A 到直线BC的
⃗BC ❑√2 ⃗A C 1
1
√ |⃗A C·⃗BC| 2 √ 4 ❑√113
距离为❑|⃗A C|2− 1 =❑13− = ,故D正确。故选ABD。
1 |⃗BC| 9 3
① ②
答案：ABD
10.已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是( )
A.曲线y=f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是-1
C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条
D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条
解析 因为函数f(x)=ex,所以f'(x)=ex。对于A,令f'(x)=ex=1,得x=0,所以曲线y=f(x)的切线斜率
可以是1,故A正确;对于B,令f'(x)=ex=-1,无解,所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1,故B错
误;对于C,因为点(0,1)在曲线y=f(x)上,所以点(0,1)是切点,又f'(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即
y=x+1,所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故C正确;对于D,设切点坐标
为(x
0
,ex 0),则切线方程为y-ex 0=ex 0(x-x
0
),因为点(0,0)在切线上,所以ex 0=x0ex 0,解得x
0
=1,所以过
点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条,故D错误。故选AC。
答案：AC
11.炎炎夏日,许多城市发出高温预警,凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择。为了解来
某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关,随机调查了100名游客,得到如下表格。
零假设H:旅行方式与年龄没有关联,则下列说法中,正确的有
0
小于40岁 不小于40岁
自由行 38 19
跟团游 20 23
附:χ2= n(ad−bc) 2 ,其中n=a+b+c+d。
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α( )
19
A.在选择自由行的游客中随机抽取一名,其小于40岁的概率为
50
B.在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人,再从中随机选取2人做进一步的访
3
谈,则2人中至少有1人不小于40岁的概率为
5
C.根据α=0.01的独立性检验,推断旅行方式与年龄没有关联,且犯错误概率不超过0.01
D.根据α=0.05的独立性检验,推断旅行方式与年龄有关联,且犯错误概率不超过0.05
解析 选择自由行的游客人数为38+19=57,故在选择自由行的游客中随机抽取一名,其小于
38 2
40岁的概率是 = ,故A错误;选择自由行的游客中,小于40岁和不小于40岁的人数之比
57 3
为2∶1,则按年龄分层随机抽样抽取的6人中,有4人小于40岁,有2人不小于40岁,设事件A
为“选取的2人均小于40岁”,则2人中至少有1人不小于40岁的概率为
1-P(A)=1- C2 4=1− 6 = 3,故 B 正确;因为 χ2= 100×(38×23−19×20) 2
C2 15 5 (38+19)×(20+23)×(38+20)×(19+23)
6
≈4.087<6.635,所以可推断旅行方式与年龄没有关联,但对零假设犯错误的概率是不可知的,故
C错误;因为χ2≈4.087>3.841,所以推断旅行方式与年龄有关联,且犯错误概率不超过0.05,故D
正确。故选BD。
答案：BD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.直线5x+4y-1=0交椭圆C:y2 x2=1(a>b>0)于M,N两点,设线段MN的中点为P,直线OP
+
a2 b2
5
的斜率等于 ,O为坐标原点,则椭圆C的离心率为 。
4
{y2 x2
1+ 1=1,
a2 b2
解析 设M(x,y),N(x,y),MN 的中点为 P(x,y),则 两式相减,得b2(y2−y2)+a2(
1 1 2 2 0 0 y2 x2 1 2
2+ 2=1,
a2 b2
)=0,即y −y a2·x +x ,即k =-a2· 1 ,
x2−x2 1 2=− 1 2 MN
1 2 x −x b2 y + y b2 k
1 2 1 2 OP
因为k =-5,k =5,所以b2 16,所以e=c √ b2 3。
MN OP = =❑1− =
4 4 a2 25 a a2 5
3
答案：
5
π
13.在等差数列{a}中,若a= ,则sin 2a+cos a+sin 2a +cos a = 。
n 7 1 1 13 13
2
解析 根据题意可得a+a =2a=π,2a+2a =4a=2π,
1 13 7 1 13 7
所以sin 2a+cos a+sin 2a +cos a =sin 2a+sin(2π-2a)+cos a+cos(π-a)=
1 1 13 13 1 1 1 1sin 2a+(-sin 2a)+cos a+(-cos a)=0。
1 1 1 1
答案：0
14. 某 旅 行 团 查 看 出 游 当 天 的 天 气 情 况 , 某 天 气 预 报 软 件 预 测 出 游 当 天 在
12:00~13:00,13:00~14:00,14:00~15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5,0.4,0.6,则该旅行
团出游当天在12:00~15:00时间段内降雨的概率为 。(用数字作答)
解析 记出游当天在12:00~13:00,13:00~14:00,14:00~15:00这3个时间段内降雨分别为事件
A,B,C,出游当天在12:00~15:00时间段内降雨为事件D,则P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.6。
D=ABC,由对立事件与相互独立事件的概率计算公式,
得P(D)=1-P(D)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.5×0.6×0.4=0.88。
答案：0.88
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知点P(1,2),圆C:x2+y2-6y=0。
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0,求直线l的方程;(7分)
(2)设A是圆C上的动点,求⃗OA·⃗OP(O为坐标原点)的取值范围。(8分)
解 (1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l
x y
的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为 + =1,代入P(1,2),解得a=-1,故直
a −a
线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2)解法一:设A(x,y),满足x2+y2-6y=0,设s= · =x+2y。由{x2+ y2−6 y=0,
⃗OA ⃗OP
s=x+2y,
得5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3❑√5≤s≤6+3❑√5。
所以⃗OA·⃗OP的取值范围为[6-3❑√5,6+3❑√5]。
16.（本小题满分15分）
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上一点,B为准线l上一点,⃗BF=2⃗FA,|AB|=9。
(1)求C的方程; (7分)
(2)M,N,E(x,-2)是C上的三点,若k +k =1,求点E到直线MN距离的最大值。 (8分)
0 EM EN
1 p p
解 (1)因为⃗BF=2⃗FA,所以|AF|= |AB|=3,由⃗BF=2⃗FA,x =- ,x = ,可得x =p,由抛物线的定
B F A
3 2 2
p
义可知,|AF|=p+ =3,解得p=2。则C的方程为y2=4x。
2
(2)因为E(x,-2)在抛物线C上,所以x=1,设直线MN的方程为x=ty+n,M(x,y),N(x,y),
0 0 1 1 2 2
y +2 y +2 4
将x=ty+n代入y2=4x,得y2-4ty-4n=0,则y+y=4t,yy=-4n,k = 1 = 1 = ,
1 2 1 2 EM x −1 y2 y −2
1 1−1 1
4
同 理 k = 4 ,k +k = 4 4 4(y + y )−16 16t−16 =1, 整 理
EN EM EN + = 1 2 =
y −2 y −2 y −2 y y −2(y + y )+4 −4n−8t+4
2 1 2 1 2 1 2
得,n=-6t+5,则直线MN的方程为x=ty-6t+5,所以直线MN过定点T(5,6)。当ET⊥MN时,点E
到直线MN的距离最大,且最大距离为|ET|= ,经检验符合题意。
❑√(5−1) 2+(6+2) 2=4❑√517.（本小题满分15分）
已知S 为数列{a}的前n项和,a=2,S =S+4a-3,记b=log (a-1)+3。
n n 1 n+1 n n n 2 n
(1)求数列{b}的通项公式; (7分)
n
(2)已知c=(-1)n+1· b +1 ,记数列{c}的前n项和为T,求证:T≥ 2 。 (8分)
n n n n n
b b 21
n n+1
解 (1)由S =S+4a-3,得S -S=4a-3。所以a =4a-3,则a -1=4(a-1),又a-1=2-1=1,
n+1 n n n+1 n n n+1 n n+1 n 1
所以数列{a-1}是以1为首项,4为公比的等比数列,所以a-1=4n-1=22n-2(n∈N*)。
n n
因为b=log (a-1)+3,所以b=log 22n-2+3=2n+1(n∈N*)。
n 2 n n 2
(2)证明:因为c
n
=(-1)n+1· b
n
+1 ,所以c
n
=(-1)n+1· 2n+2 =(-1)n+1·1( 1
+
1 ),
b b (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
所以T n =c 1 +c 2 +c 3 +…+c n =1[(1 + 1) − (1 + 1) + (1 + 1) −…+(−1) n+1· ( 1 + 1 )] ,
2 3 5 5 7 7 9 2n+1 2n+3
当n为奇数时,T n =1(1 + 1 ) > 1 > 2 。当n为偶数时,T n =1(1 − 1 ),因为T n 递增,
2 3 2n+3 6 21 2 3 2n+3
所以T
n
≥T
2
=1
×
(1
−
1)
=
2 。综上,T
n
≥ 2 。
2 3 7 21 21
18.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R)。
(1)讨论f(x)的单调性; (8分)
(2)若f(x)有最大值M,且M≤-a,求a的值。 (8分)
1 1−ax
解 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= −a= (x>0),当a≤0时,f'(x)>0恒成立,
x x
f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈( 1)时,f'(x)>0,f(x)
0,
a
在( 1)上单调递增,x∈(1 )时,f'(x)<0,f(x)在(1 )上单调递减。
0, ,+∞ ,+∞
a a a
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在( 1)上单调递增,在(1 )上单调
0, ,+∞
a a
递减。
(2)由(1)知a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最大值,
当a>0时,f(x)
max
=f(1)=-ln a-1,即M=-ln a-1,由M≤-a,得-ln a-1≤-a,即a-ln a-1≤0。
a1 a−1
令g(a)=a-ln a-1(a>0),则g'(a)=1- = ,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)在(0,1)上单调递减;
a a
当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)在(1,+∞)上单调递增。所以g(a) =g(1)=0,即g(a)=a-ln a-1≥0,
min
所以a-ln a-1=0,故a=1。
19.（本小题满分16分）
某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学。在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其
余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。现从这 10名同学中随机选取3名
同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)。
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率; (8分)
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望。 (8分)
解 (1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教,包含的样本点个数为 ,
C3
10
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,
事件A包含的样本点个数为 ,则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率
C1C2+C0C3
3 7 3 7
为P(A)= C1
3
C
7
2+C
3
0C
7
3
=
49。
C3 60
10
(2)随机变量X的所有可能取值
为0,1,2,3,P(X=0)= C0 4 C 6 3 = 1,P(X=1)= C1 4 C 6 2 = 1,P(X=2)= C2 4 C1 6= 3 ,P(X=3)= C3 4 C 6 0 = 1 ,
C3 6 C3 2 C3 10 C3 30
10 10 10 10
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
E(X)=0×1 1 3 1 6 ( 4 6) 。
+1× +2× +3× = 。或E(X)= ×3=
6 2 10 30 5 10 5
