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专题 06 数列（4 种经典基础练+4 种优选提升练）
数列的概念（共13题）
一、单选题
1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据递推公式逐项计算可得出 的值.
【详解】因为数列 满足 ， ，
则 ， .
故选：A.
2．（22-23高二上·天津和平·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所
示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个
数列 ，即 ， ， ，…，且满足 ，则第六层球的个数 为
（ ）
A．28 B．21 C．15 D．10
【答案】B
【分析】利用递推公式进行累加法求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得 ， ， ， ， ，
以上式子累加可得 ，
因为 ，所以 ，
故选:B.
3．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知数列 ，根据该数列的规律，8是该数列的
（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【答案】A
【分析】观察各项根据规律即可求解.
【详解】 ，由此可知数列的规律是前后两项的比值为定值 ，
故 所以8是该数列的第7项，
故选:A
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）在数列 中，若 ， ， ，则
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出数列 的周期，再由此求出 .
【详解】在数列 中， ，则 ，
因此数列数列 的周期为3，所以 .
故选：D
5．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）设数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过赋值即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意令 ，可得： ，
故选：B
6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列 的递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的 ，由此可以得到递推公式，得出结
果.
【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；
观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的 ，
所以递推公式为 ，故C正确，D错误.
故选：C.
7．（22-23高二上·北京·期末）如果数列 满足 （k为常数），那么数列 叫做
等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列 满足 ，则该数列是等比差数列；
②数列 是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据比等差数列的定义 ( 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即
可可得到答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】①数列 满足 ，则 ，
满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列 ，
，
不满足等比差数列的定义，故②错误；
③设等比数列的公比为 ，则 ，
满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为 ，
则 ，
故当 时，满足 ，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
故选：B.
8．（23-24高二上·河南开封·期末）某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年
生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一
年新能源汽车的产量都是前一年的 ，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源
汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销
售出去，参考数据： ）（ ）
A．2.291亿 B．2.59亿 C．22.91亿 D．25.9亿
【答案】B
【分析】由题意可求得第n年每辆车的利润为 万元，第n年新能源汽车的销量
学科网（北京）股份有限公司，从而利用错位相减法法求出6年的总利润.
【详解】设第n年每辆车的利润为 万元，则每辆车的利润构成首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，
设第n年新能源汽车的销量为 辆，则该汽车的销量构成首项为2000，公比为 的等比数列，
所以 ，
设该汽车集团销售新能源汽车的总利润为S万元，
则 ①，
②，
①﹣②得
，
所以 万元即 亿元，
所以该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为 亿元.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据题意抽象出两个数列，再利用错位相减法即可得解.
二、多选题
9．（23-24高二上·内蒙古·期末）数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】只需把 分别代入数列通项公式检验即得.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A项，分别把 代入 ，即得 ，故A项正确；
对于B项，把 代入 即得 ，与数列不符，故B项错误；
对于C项，分别把 代入 ，即得 ，故C项正确；
对于D项，把 代入 即得 ，与数列不符，故D项错误.
故选：AC.
10．（22-23高二下·辽宁·期中）如果数列 为递增数列，则 的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据作差法即可判断BCD，举反例即可判断A.
【详解】对于A，当 ，故不是递增数列，故A不符合，
对于B， ，故是递增数列，故B符合，
对于C, ，故为递增数列，,C符合，
对于D, ，故为递增数列，D符合,
故选：BCD
11．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知无穷数列 ， ．性质 ，
，；性质 ， ， ，下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 具有性质s
B．若 ，则 具有性质t
C．若 具有性质s，则
D．若等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
学科网（北京）股份有限公司【答案】BCD
【分析】根据性质 的定义可判断选项A；根据性质 的定义可判断选项B；根据性质 的定义可得
， ，利用累加法可证选项C；对于D，结合选项C，可得 ，由 满足
性质 ，分 和 讨论求出 ，再由 满足性质 得 ，令
，结合函数单调性可验证 满足题意.
【详解】对于A，因为 ，对 ，
，
即 ，所以 不具有性质 ，故A错误；
对于B， ，对 ， ，
，
，故B正确；
对于C，若 具有性质 ，令 ，则 ，
即 ， ，
，又 ，
所以 ， ，故C正确；
对于D， 是等比数列，设其公比为 ，又 ， ，
若 满足性质 ，由选项C 得 ，即 ， ， ，
由 ， ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时，得 ，即 ，对 ，又 ， ，
当 时，不妨设 ，则 ，
，解得 ， ，
综上，若 满足性质 ，则 .
若 满足性质 ，对 ， ， ，
可得 ，即 ，令 ，则 ，
又 ，所以函数 在 上单调递增，又由 满足性质 ， ，
成立，
所以等比数列 既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为 .
故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：选项C，由题意可得 ， ，累加法可得
，结合 ，可判断；选项D，由 满足性质
，结合选项C得 ，分 和 讨论恒成立求出 ，又由 满足性质 ，得
，令 ，结合函数单调性可验证 满足题意.
三、填空题
12．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列 满足 ，若 ，则 ．
【答案】2
【分析】由递推公式即可求解
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ， 可得 ，
故答案为：2
13．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知数列 的通项公式为 ，则 的最小项
的值为 ．
【答案】
【分析】利用二次函数的性质求最小项．
【详解】因为函数 的对称轴是 ， 时 取得最小值，
而 中， ， 时， ， 时， ，
所以 中的最小项的值为 ．
故答案为： ．
等差数列（共17题）
一、单选题
1．（23-24高二上·天津·期末）若等差数列 的前 项和为 ，则当 取得最小值
时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前 项和公式以及通项的性质，即可得出结果.
【详解】由题知，设等差数列 公差为 ，
因为 ，所以 ，
则由 ，得 ，
又 ，得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则当 取得最小值时， .
故选：C
2．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
3．（23-24高二上·广东·期末）已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 取
最小值时 的值为（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定数列 的单调性，再求出 的 的最大值即得.
【详解】数列 的通项公式 ，显然数列 是递增数列，
由 ，得 ，而 ，因此数列 的前1012项均为负数，从第 起为正，
所以 取最小值时 的值为1012.
故选：A
4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列 满足 ， 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据等差数列定义可证得数列 是以 为公差的等差数列，由此可得结果.
【详解】 ， 数列 是以 为公差的等差数列，
，
数列 是以 为公差的等差数列， .
故选：B.
5．（23-24高二下·海南·期末）记 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【答案】B
【分析】根据等差数列的前 项和性质解题即可.
【详解】记 为等差数列 的前 项和,则 也是等差数列.
由于 ，则 成等差数列.
则 ，解得 .
则 成等差数列．故 ，则 .
故选：B.
6．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由， ， 和
求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百
又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，
他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每
个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（ ）
A．27 B．31 C．35 D．39
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为 的等差数列，再利用等差数
的前n项和公式列方程求解即可.
【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为 的等差数列，设长子的岁数为 ，
则 ，解得 ，
所以该问题中老人长子的岁数为35.
故选：C
二、多选题
7．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．数列 的最小项为 D．数列 是等差数列
【答案】AD
【分析】利用 可得 ，由 可判断A；求出 可判断B；利用配方法
求最值可判断C；利用等差数列的定义可判断D.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
且 ，所以 ，
对于A， 时， ，
所以数列 是递增数列，故A正确；
对于B， ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对于C， ，因为 ，所以当 或 时， 最小，为 ，
所以数列 的最小项为 或 ，故C错误；
对于D，因为 ，且当 时， ，
当 时， ，
所以数列 是以 为首项1为公差的等差数列，故D正确.
故选：AD.
8．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项.
【详解】由 ，得 ，故A、B正确；
因为 ，所以公差 .故C错误，D正确.
故选：ABD
三、填空题
9．（23-24高二上·山东青岛·期末）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯组建的学派，他们
长把沙滩上的沙粒或者小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究，如图，图形
中的圆点数分别是1、5、12、22…，以此类推，第五个图形对应的圆点数为 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据给定条件，探求相邻两个图形对应圆点数的变化规律求解即得.
【详解】依题意，由第一、二、三、四个图形的圆点数知，后面图形比相邻前一个图形多的圆点数
依次为4，7，10，
从第二个图形起，多的圆点数构成以4为首项，3为公差的等差数列，因此第五个图形的圆点数比
第四个图形多13个，
所以第五个图形对应的圆点数为 .
故答案为：35
10．（23-24高二上·安徽·期末）已知等差数列满足 ，则 的值为
．
【答案】3
【分析】根据等差数列下标和性质运算求解.
【详解】由题意可得： ，则 ，
所以 .
故答案为：3.
11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列 的前 项和分别为 ，且
，则 .
【答案】
【分析】利用 计算可得答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，故 .
故答案为： .
12．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列 与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列
，则 .
【答案】116
【分析】 为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案.
【详解】 与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列为 ，
故 为首项为2，公差为6的等差数列，
所以 ，
所以 .
故答案为：116
四、解答题
13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，再从条件：①
，② ，③ 中选择两个作为已知，并完成解答.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前10项的和．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)68
【分析】（1）根据所选条件，求出等差数列 的首项和公差，可求数列通项；
（2）由数列 中各项的符号，利用分组求和求数列 的前10项的和．
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
若选择①②，由① ，② ，
则等差数列 首项 ，公差 ，
；
若选择①③，由① ，③ ，则 ，公差 ，
所以等差数列 首项 ，公差 ，
；
若选择②③，由② ，③ ，得 ，
所以等差数列 首项 ，公差 ，
；
（2）令 ，得 ，则 前2项为负数，从第3项起为正数，
.
14．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列 满足： ， .
(1)若 ，求证： 为等差数列.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）将 两边取倒数，即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）可得 ，从而得到 ，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ， ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）可得 ，则 ，
所以 ，
所以
.
15．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列 为等差数列， 且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把等差数列 中的项用基本量 和 表示，列方程组求解即可.
（2）用裂项相消直接求解即可.
【详解】（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，
依题意得：
解得：
故 .
所以数列 的通项公式为： .
（2）由（1）知： ，
所以，
.
16．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列 中， ， ，求 ．
（2）已知数列 的前 项和为 ，且 ，求 和 ．
【答案】（1） （2） ， .
【分析】（1）利用等差中项的性质可求得 的值，可求得等差数列 的公差，进而可求得 的
值；
学科网（北京）股份有限公司（2）利用 求出数列 的通项公式，进而可求得 的值.
【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由等差中项的性质可得 ，可得 ，故 ，
所以， ；
（2）因为数列 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时， ，适合上式，
故 ， ．
17．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列 的前n项和为 ，对任意 满足：
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2) .
【分析】（1）利用 时， 及等差数列的通项公式即可求解；
（2）去绝对值后，利用等差数列的前 项和公式即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，
化简得 ，
即 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是首项 ，公差 的等差数列，
所以 ，故数列 的通项公式 ；
（2）因为 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 .
等比数列（共15题）
一、单选题
1．（23-24高二上·广东·期末）等比数列 中 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出等比数列 的公比，进而求出首项即可得解.
【详解】依题意，等比数列 的公比 ，则 ，解得
，
因此 ，所以 .
故选：B
2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】根据等比中项求出 ，再根据等比数列的奇数项同号即可确定 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
， ，
，
，
又 ，
.
故选：B.
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 为等比数列，公比为q，前n项和为 ，则“
学科网（北京）股份有限公司”是“数列 是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分
也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.
【详解】因为数列 为等比数列，公比为q，前n项和为 ，
若 ，即 ，则 ，即数列 是单调递
增数列；
若数列 是单调递增数列，则 ，所以 ；
所以“ ”是“数列 是单调递增数列”的充要条件.
故选：C.
4．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有
人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他
人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染
周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染
者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……参考数据：
）
A．42 B．43 C．35 D．49
【答案】A
【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解
不等式即可求解.
【详解】设第n轮感染的人数为 ，则数列 是 ，公比 的等比数列，
学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，两边取对数得 ，
所以 ，所以 ，故需要的天数约为 .
故选：A
5．（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，则点列 在同
一坐标平面内不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式和前 项和公式确定正确答案.
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
A选项， 时， ，图象符合.
B选项， 时， ，图象符合.
C选项， 时， ，图象符合.
D选项，由图可知， 都是负数，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司但图象显示 时， 或 为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.
故选：D
6．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项之积为
，且满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.
【详解】因为等比数列 满足 ，
又 ，所以 ，A错误；
，即 ,B错误；
当 时， ，当 时， ，即 是数列 中的最大值，C正确；
由题意得， ，则 ,D错误.
故选：C.
7．（22-23高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，且 ，
， 成等差数列，若对任意的 ，均有 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【分析】由已知可求得 ， 为奇数时， ， 根据单调性可得：
， 为偶数时， ，根据单调性可得： ，可得 的
最大值与最小值分别为2， ， 考虑到函数 在 上单调递增，即可得出结论．
【详解】等比数列 的公比为 ，因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
解得 ，
所以 ，
当 为奇数时， ，易得 单调递减，且 ，所以 ；
当 为偶数时， ，易得 单调递增，且 ，所以 ．
所以 的最大值与最小值分别为2， ．
函数 在 上单调递增，所以 ．
．所以 的最小值 ．
故选：B．
【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和 ，通过分类讨论并利用函数单调性求
学科网（北京）股份有限公司得 的最大值和最小值，再由函数 在 上单调递增且 ，可求 取值
范围.
二、多选题
8．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则下列能判断
为递增数列的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由等比数列 的首项为 ，公比为 ，
对于A中，若 ，可得 ，所以 为递减数列，所以A错误；
对于B中，若 ，可得 ，所以 为递增数列，所以B正确；
对于C中，若 ，可得 ，所以 为递减数列，所以C错误；
对于D中，若 ，可得 ，所以 为递增数列，所以D正确.
故选：BD.
9．（23-24高二上·山东临沂·期末）设数列 的前 项和为 的前 项和为 ，满足
，且 且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 时， 的最大值为26
C．若 ，则数列 是递增数列 D．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司【答案】ABD
【分析】对于A，首先得 ，根据 之间的关系得 ，由此即可
判断；对于B，令 ，解不等式即可判断；对于C，由 举出反例即可
判断；对于D，代入即可验算.
【详解】对于A，由题意 ，解得 ，
所以 ， ，
当 时， ，
当 时，有 ，故 ，故A正确；
对于B， 令 ，解得 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列 的前 项和为 ，下列命题正确的有（ ）.
A．若 为等差数列，则 一定是等差数列
B．若 为等比数列，则 一定是等比数列
C．若 ，则 一定是等比数列
D．若 ，则 一定是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据 的关系，结合等
比数列的定义即可求解C.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，设等差数列 的公差为 ，则 ，
则 ，
同理可得 ，
所以 ，所以 ， ， 仍为等差数列，故A项正确；
对于B,取数列 为 ，1， ，1， ， ， ， 不能成等比数列，故B项不正确；
对于C，由 可得 时， ，相减可得 （ ），
由 可得 ，因此 对任意 都成立，故 是等比数列，C正确，
对于D，由 可得 ，相减可得 ，若 ， 不是等比数列，故D
错误．
故选：AC．
三、填空题
11．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列 满足 ， ，则 ．
【答案】12
【分析】
根据给定条件，利用等比数列性质计算即可.
【详解】等比数列 满足 ， ，由 ，得 .
故答案为：12
12．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列 中， ，则 与 的等比中项
为 ．
【答案】
【分析】根据等比中项的性质即可得出答案.
学科网（北京）股份有限公司【详解】设 与 的等比中项为 ，则 .
故答案为：
13．（23-24高二上·天津·期末）若数列 的首项 ，且满足 ，则数列 的通项
公式为 .
【答案】
【分析】变形得到 ，故 为公比为2的等比数列，从而得到通项公式.
【详解】 ，
又 ，故 为公比为2的等比数列，
故 ，所以 .
故答案为：
四、解答题
14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知数列 中， ， （ ， ），
且 是 和 的等差中项．
(1)求实数 的值；
(2)求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意可得 ，再由 是 和 的等差中项建立等式即可求解；
（2）构造数列 ，根据等比数列定义及通项公式求解化简即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）根据题意有 ，
因为 是 和 的等差中项，
所以 ，解得 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
又 ，所以 （常数），
所以数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则 ，所以 ．
15．（24-25高二上·广东江门·期末）已知等差数列 和等比数列 满足 ， ，
， ，设数列 的公比为 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) ， .
(2)
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解；
（2）由（1）得到 ，再利用等比数列的前n项和公式求解.
【详解】（1）解：设 的公差为 ，
由 ，得 ，
又 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司联立解得 ，或 ，
因为 ，
故 舍去，
所以 ，
.
（2）由（1）有 ，
因为 ，
所以数列 是以首项为4，公比为 的等比数列.
.
.
数学归纳法（共4题）
一、单选题
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明： （
）的过程中，从 到 时， 比 共增加了（ ）
A．1项 B． 项 C． 项 D． 项
【答案】D
【分析】分别计算出 和 的项数，进而作差即得结论．
【详解】因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，共 项，
则 共 项，
所以 比 共增加了 项，
故选：D
二、多选题
2．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知数列 中， ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．当 时，数列 为常数列
B．当 时，数列 单调递减
C．当 时，数列 单调递增
D．当 时，数列 为摆动数列
【答案】ABC
【分析】求出数列 各项的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用数学归
纳法推导出 ，结合数列的单调性可判断C选项；取 ，求出数列 各项的值，可
判断D选项.
【详解】对于A选项，当 时， ，
由 可得 ， ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，此时，数列 为常数列，A对；
对于B选项，当 时，则 ，此时，数列 单调递减，B对；
学科网（北京）股份有限公司对于C选项，因为 ， ，且 ，则 ，
猜想， ， ，
当 时，猜想成立，
假设当 时，猜想成立，即 ，
则当 时， ，
因为 ，则 ，则函数 在 上单调递增，
所以， ，即 成立，
由数学归纳法可知，对任意的 ， ，
所以， ，此时，数列 单调递增，C对；
对于D选项，当 时，取 ，则 且 ，
则 ， ， ， ，
以此类推可知，当 且 时， ，即 ，
此时，数列 不是摆动数列，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：
（1）利用数列对应的函数的单调性判断；
（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.
3．（23-24高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为
例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日
葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示
学科网（北京）股份有限公司了“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列 满足： ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 是奇数
【答案】ACD
【分析】根据递推公式判断选项A，利用累加判断选项BC，利用数学归纳法证明结论3的倍数项
为偶数，其他项为奇数证明选项D.
【详解】对A：由 ，可得 ，
即有 ，故A正确；
对于B：由题意 ， ， ， ，
以上式子累加得： ，故B不正确；
对于C：因为 ，则 ，
则
，故C正确；
对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为 ，
3的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：
①当 ，2，3时， ， ，满足规律，
②假设当 ， ， 时满足 为偶数， ， 为奇数，
学科网（北京）股份有限公司③当 ， ， 时，
，因为 ， 为奇数，所以 为偶数，
，因为 为奇数， 为偶数，所以 为奇数，
，因为 为奇数， 为偶数，所以 为奇数，
故3的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，
2024项是非3的倍数项，故D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：本题A选项的判断比较常规，选项BC的关键是要通过适当的变形然后利用累
加法判断，选项D根据数列规律猜想3的倍数项为偶数，其他项为奇数，利用数学归纳法证明.
三、解答题
4．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知数列 满足 ， .
(1)求 ， ， ；
(2)试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到 ，再求 ， ， 即可.
（2）首先猜想数列 的通项公式为 ，再利用数学归纳法证明即可.
【详解】（1）由 可知 ，
当 时，代入 ，解得 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时，代入 ，解得 ；
当 时，代入 ，解得 ；
（2）猜想数列 的通项公式为 .
当 时，左边 ，右边 ， 成立.
（2）假设当 时， 成立.
则当 时，有 ，
即当 时， 也成立.
所以 对任何 都成立.
数列求和的常用方法（共10题）
一、填空题
1．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前16项的和为 .
【答案】
【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和
【分析】利用倒序相加法可得到 ，即可求得前16项的和.
【详解】 ，①
学科网（北京）股份有限公司，②
两式相加，又因为 ，
故 ，所以 ，
所以 的前16项的和为
故答案为：
2．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知数列 满足 ．且 ，若 ，
则 ．
【答案】2024
【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和
【分析】利用构造法与迭代法求得 ，从而利用并项求和法即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以
，
故 ，则 ，
所以 ，
则 的各项分别为 ，
所以
.
故答案为：2024
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得 ，从
而求得 ，由此得解.
3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知等差数列 公差 ，由 中的部分项组成的数列
为等比数列，其中 ．则数列 的前10项之和为 ．
【答案】
【知识点】分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计
算、求等比数列前n项和
【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得 ，进而得到 的公比和通
项公式，求得 ，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】由题意可得 ， ， 成等比数列，即有 ，
由等差数列的通项公式可得 ，解得 ，
则 ，
由 的公比 ，
则 ，可得 ，
则数列 的前10项之和为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：本题考查等差等比数列通项及求和公式，理解 的含义是本题关键.
4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列 各项均为 ，在其第 项和第 项之间插入 个
，得到新数列 ，记新数列 的前 项和为 ，则 ， .
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】数列综合、分组（并项）法求和
【分析】将数列 各项排成三角数阵，确定 的位置，可得出 的值，确定数列 的前
项中，项的值为 、 的项数，即可求得 的值.
【详解】由题意，将数列 各项按如下数阵排列：
其中第 行有 项，则该数阵中第 行最后一项对应数列 中的对应的第
项，
因为 ，且 ，
所以， 位于数阵的第 行第 项，故 ，
数列 的前 项中，项的值为 的共 项，项的值为 的项共 项，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和与求某项的问题，解题的关键就是确定各项的位置，以及
数列 中各项的值，对于这种有规律性的数列问题，可以将其转化为三角数阵，确定相应项的位
置即可.
5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司，则满足 的正整数 的所有取值为 .
【答案】 、
【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】由题意可知，数列 中的奇数项和偶数项分别成等差数列和等比数列，根据 为奇数和
偶数分别利用求出 ，结合单调性代值计算可得结果.
【详解】当 为奇数时， ，所以，数列 中的奇数项构成以 为首项，公差为
的等差数列，
当 为偶数时， ，所以，数列 中的偶数项构成以 为首项，公比为 的等比数列，
所以数列 中的每一项均为整数，故数列 为递增数列，
当 为奇数时，设 ，
则 ，
当 为偶数时，设 ，
则 ，
因为 ，
，
，
，
因此，满足 的正整数 的所有取值集合为 .
故答案为： 、 .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，分析得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列与等比数
列，从而得解.
6．（23-24高二上·江西宜春·期末）已知正项数列 的前n项和 满足 （n为
正整数），则 ；记 ，若函数 的值域为 ，则实
数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】因式分解即可求出 ，再利用 求出数列的通项公式 ，由裂项相
消求和法计算可得 .设函数 ，将函数 写出分段
函数，根据函数的值域为R和极限的思想可得当 时 、当 时 ，解不等
式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 是正项数列，所以 ，即 ，
当 得 ，当 得 ，
经检验 符合上式，所以 .
所以 .
设函数 ，
当 时，
学科网（北京）股份有限公司；
同理可得，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
即 ，其中 ，
由函数 的值域为R知，当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ；
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
综上，实数k的取值范围为 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将函数 转化为分段函
数，利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和
求和知识点，平时练习都要熟练应用.
7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列 满足： ； ； ，
学科网（北京）股份有限公司，其中 ， .数列 的通项公式 ，令 ，则数列
的前n项和 .
【答案】 .
【知识点】裂项相消法求和、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项
公式
【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得 ，从而利用构造法求得 ；再利
用裂项相消求和法求得 ，从而得解.
【详解】依题意，设 ， ， ，又 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
则 ，即有 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ；
所以 ，
则数列 的前n项和 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察 ，发现其可以裂项展开，
学科网（北京）股份有限公司从而得解.
二、解答题
8．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列 中 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若数列 的通项公式为 ，设 为数列 的前 项和，求使 恒成立的最小的
整数 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【知识点】数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、由递推关系证明
等比数列
【分析】（1）变形给定等式，利用等比数列定义推理即得.
（2）由（1）求出 ，再利用错位相减法求和，结合恒成立即可求解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
即 ，又 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知 ， ，
，
则 ，
两式相减得 ，
因此 ，而 ，则 ，又 恒成立，因此 ，
学科网（北京）股份有限公司所以最小的整数 为1.
9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）对每个正整数 是抛物线 上的点，过焦点
的直线 交抛物线于另一点 ．
(1)证明： ；
(2)取 ，并记 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、根据韦达定理求参数、求等比数列前n项和、利用焦半径公式解
决直线与抛物线交点问题
【分析】（1）设直线 ，联立方程结合韦达定理分析证明；
（2）根据抛物线的定义结合（1）可得 ，利用分组求和法结合等比数列求和公式运
算求解.
【详解】（1）由题意可知：抛物线 的焦点 ，且直线 的斜率存在，
设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
可得 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，由（1）可得 ，
则 ，
可得 ，
设数列 的前 项和为 ，
则
，
所以 .
【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求 .
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列 的前 项和 ，数列 满足：
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 ；
(3)设数列 满足： ．证明： ．
【答案】(1)证明见解析；
学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3)证明见解析.
【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消
法求和、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据 满足的递推公式，结合等比数列定义即可证明；
（2）根据 与 的关系求得 ，结合（1）中所证求得 ，再利用裂项求和法求 即可；
（3）求得 的通项公式，采用分组求和，利用裂项求和以及错位相减法，结合适度放缩，即可求
证.
【详解】（1）因为 ，故可得 ，
因为 ，故数列 为首项 ，公比2的等比数列.
（2）因为 ，故可得当 时， ；
当 时， ；
综上所述： ；
由（1）可得： ，故 ；
故 ；
当 为偶数时，
学科网（北京）股份有限公司；
当 为奇数时，
；
故 .
（3）由题可得
设
；
设
记
则 ，
，
学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题综合考察数列知识的应用和掌握；
（1）解决第二问的关键是， 裂项的处理，以及对 为奇数和偶数时，不同的
处理手段；
（2）解决第三问的关键是能够合理利用分组求和，并且对 进行放缩；属综合困难题.
求数列通项的常用方法（共7题）
一、填空题
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 满足 ，若 ，则
．
【答案】
【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解.
【详解】因为 的最小正周期为 ，且 余 ，
由已知可得
，
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性
质求解.
2．（23-24高二上·福建福州·期末）瑞典数学家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数
学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形 （图1），并把
每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线
（图2），如此继续下去形成雪花曲线 （图3），直到无穷，形成雪花曲线 ．设
雪花曲线 的边数为 ，面积为 ，若正三角形 的边长为 ，则 = ； = .
【答案】
【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、累加法求数列通项
【分析】根据图形，得出 成等比数列，从而可得通项公式，再由图形的形成过程得出边长也成
等比数列，而 是在 的基础上每条边向外增加一个小正三角形，由此可得面积间的关系
，利用累加法求得通项公式 ．
【详解】由题意， ， ，即 是等比数列，公比是4，所以 ，
设雪花曲线 的边长为 ，则 ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
当 时， ，
所以
．
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：本题考查归纳猜想，考查数列的应用，解题方法是观察图形，通过图形的形成
归纳总结出 与 的关系：边数间的关系，边长的关系，面积的关系，从而利用数列的知
识求得结论．
二、解答题
3．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，
且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【知识点】累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、利用an与sn关系求通
学科网（北京）股份有限公司项或项
【分析】（1）利用对数运算，得 ，再运用累乘法可求 ，由 与 的关系可得
，则 时，数列 是以 为首项的常数列，可求 的通项公式；
（2）利用错位相减法求 ，从而得证.
【详解】（1）因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ．
当 时，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
也符合上式，所以 ．
当 时， ．
因为 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，即 ，
所以当 时，数列 是以 为首项的常数列，
即 （ ），所以 （ ），
学科网（北京）股份有限公司所以 的通项公式为
（2）因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 ．
【点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于 型数列，利用分组求和法；
（4）对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消法求和.
4．（23-24高三上·安徽·期末）在数列 中， ， ，且数列 是等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、等比数列的定义
【分析】（1）结合题意，借助等比数列定义计算即可得；
学科网（北京）股份有限公司（2）借助两次错位相减法计算即可得 ，即可得证.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ，即 ，
，即 ，又 ，故有 ，解得 ，
故 ， ；
（2） ，
则 ，
，
有 ，
即 ，
令 ，
则 ，
则有 ，
即有 ，
即 ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，故 .
5．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法 商
功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球
设各层球数构成一个数列 .
(1)写出 与 的递推关系，并求数列 的通项公式；
(2)记等比数列 的前 项和为 ，且 ，在 与 之间插入 个数，若这 个数
恰能组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求
通项或项
【分析】（1）根据题意得到 ， ，再利用累加法即可得解；
（2）利用 与 的关系，结合 为等比数列求得 ，进而利用等差数列的通项公式求得 ，再
利用错位相减法即可得解.
【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，
所以有 ，又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以
.
（2）由 ，得 ，
两式相减得 ，则 ，
因为 为等比数列，则公比为 ，
当 时， ，解得 ，
，则 ，
， ，
，
，
则 ，
两式相减，得
，
.
【点睛】关键点点睛：本题第2小题解决的关键是利用等差数列的通项公式求得 ，从而得解.
6．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大
于或等于4，则称这个数列为“ 数列”.
(1)已知等差数列 的首项为1，其前 项和 满足对任意的 都有 ，若
学科网（北京）股份有限公司数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；
(2)已知等比数列 的首项 和公比 均为正整数，若数列 为“ 数列”，且 ，
，设 ，若数列 也为“ 数列”，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、根据数列的单调性求参数、
数列新定义
【分析】（1）通过题干所给不等式可求出 的范围，在根据 ，得出 ，进而求出
（2）通过判断数列 的单调性可得：要 对 恒成立，只需 ，从而
求出 ，
同理判断数列 的单调性可得：要 对 恒成立，只需 ，从而求出
的范围.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，由 ，得 .
由题意得， 对 均成立，
当 时，上式成立.当 时， ，又 ，
等差数列 的通项公式为 .
（2）等比数列 得 ，由于数列 为“ 数列”，且 为正整数， ，
.
学科网（北京）股份有限公司在数列 中， 为最小项，由数列 为“ 数列”可知，
要 对 恒成立，只需 .又 ，即 .
， ， ， ， ， .
当 ， 时， ，则 .
令 .
数列 为递增数列，即 .
若数列 是“ 数列”，则对任意的 都有 ，
即 对任意的 恒成立
，即 ，解得 .
7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线 下有一系列正三角形，设第n个正三角形
（ 为坐标原点）的边长为 ．
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)求出 的通项公式；
(3)设曲线在点 处的切线斜率为 ，求证： ．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、求在曲线上一点处的切线方程（斜
率）、根据规律填写数列中的某项
【分析】（1）根据给定条件，用 表示出点 的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）令 为数列 的前n项和，利用 与 表示出点 的坐标，代入曲线方程即可得 与
的关系，再利用递推关系求出通项.
（3）由（2）求出点 的横坐标，利用导数的几何意义求出 ，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）依题意， 为正三角形，且 ，观察图象得 ，而点
在曲线 上，
即 ，解得 ， 为正三角形，且 ，点 在曲
线 上，
，整理得 ，解得 ，
所以 ， .
（2）令 为数列 的前n项和， 是正三角形，点 ，
学科网（北京）股份有限公司，于是点 在曲线 上，
则 ，即 ，当 时， ，
两式相减得： ，整理得 ，
则 ，而 满足上式，因此 ， ，
即数列 是首项为 ，公差 的等差数列， ，
所以数列 的通项公式是 .
（3）由（2）知，当 时， ，
则点 的横坐标 ，显然 满足上式，因此 ，
由 求导得， ，于是 ，
当 时， ，
所以 .
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏
写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
数列新定义（共7题）
一、多选题
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，且满足条件
， 则下列选项正确的是（ ）
A．
学科网（北京）股份有限公司B．
C． 的值是 中最大的
D．使 成立的最大自然数 等于4044
【答案】AD
【分析】先由条件分类讨论得到 ， ，再利用等比数列的性质即可求解.
【详解】 ， ， ，
同号，且 或 ，
若 ，则 不同号；
若 ，则 ，不满足要求；
故可得 ， ，故A正确；
，且 ，可得 ，故B错；
，又 ， 且 最大，故C错；
， 且 为等比数列，
由等比数列的性质可得 ， ，
使 成立的最大自然数 等于4044，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得 ，进而得到 ，从而得解.
二、填空题
2．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如果数列 满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.
学科网（北京）股份有限公司（1）已知数列 各项均为正数，且单调递增；
（2）数列 的前 项组成的集合记为 ，对于任意 ，如果 、 ，
则 .
已知数列 为“闭数列”，且 ，则 .
【答案】
【分析】利用“闭数列”的定义结合累加法可求出 的值，再次利用“闭数列”的定义结合累加
法可求出 的值.
【详解】因为数列 为“闭数列”，且 ，
由题意得 ， ， ，
……
， ，
等式两边叠加 ，
即 ，所以， ，
同理可得 ， ， ，
……
， ，
等式两边叠加得 ，
即 ，所以， .
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用“闭数列”的新定义，充分利用累加法，转化为关系与某
些特殊项的方程进行求解.
3．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列 中，若 ，（ ， ，p为常数），
则称 为“等方差数列”，给出以下四个结论：① 不是等方差数列；②若 是等方差数
列，则 （ ，k为常数）是等差数列；③若 是等方差数列，则 （ ，
k、l为常数）也是等方差数列；④若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比
数列.其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【分析】根据等方差数列定义可判断①③；根据等方差数列定义结合等差数列的定义判断③④.
【详解】对于①， 时， 为常数，
故 是等方差数列，①错误；
对于②，若 是等方差数列，即有 ，（ ， ，p为常数）
则 为常数，
故 （ ，k为常数）是等差数列，②正确；
对于③，若 是等方差数列，即有 ，（ ， ，p为常数），
则 ，
故 为常数，
则 （ ，k、l为常数）也是等方差数列，③正确；
对于④，若 既是等方差数列，又是等差数列，
则 时， ，且 （d为常数），
学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 时，则 为常数列，满足 是等方差数列，
若 ，则 不为等比数列，④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解等方差数列的定义，明确其含义，并由此结合等差数
列以及等比数列的定义求解即可.
三、解答题
4．（23-24高二上·山东青岛·期末）在通信技术中由 和 组成的序列有着重要作用，序列中数的个
数称为这个 序列的长度 如 是一个长度为 的 序列 长为 的 序列中任何
两个 不相邻的序列个数设为 ，长度为 的 序列为： ， ，都满足数列 ， 长度为
且满足数列 的 序列为： ， ， ， ．
(1)求 ，
(2)求数列 中 ， ， 的递推关系
(3)记 是数列 的前 项和，证明： 为定值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知得到 ，然后分类讨论最后一个数求解即可；
（2）考虑长度为 的 序列最后一个数，观察即可求得递推关系；
（3）根据前两问求得 ，证明数列 是常数列即可．
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意知，长为3的 序列中任何两个 不相邻的序列为： ，所
以 .
设长为 的 序列中任何两个 不相邻的序列有 个，考虑最后一个数：
若最后一位是 ，则只要前 位任何两个 不相邻，则满足要求的序列有 个；
若最后一位是 ，则倒数第二位是 ，只要前 位任何两个 不相邻即可，满足要求的序列有 个，
所以 ；
（2）考虑长度为 的 序列最后一个数：
若最后一位是 ，则只要前 位任何两个 不相邻，则满足要求的序列有 个；
若最后一位是 ，则倒数第二位是 ，只要前 位任何两个 不相邻即可，则满足要求的序列有 个，
所以 ；
（3）由（2）知， ，所以 ，
所以 ，
所以数列 是常数列，
所以 为定值.
【点睛】方法点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，
通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创
造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.
5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数 ，数列 是递增的整数数列，即
且 定义数列 的“相邻数列”为 ，其中
或
学科网（北京）股份有限公司(1)已知 ，数列 ，写出 的所有“相邻数列”；
(2)已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且 的所有“相邻数列”
均为递增数列，求这样的数列 的个数；
(3)已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且存在 的一个“相邻数
列” ，对任意的 ，求 的最小值．
【答案】(1) ； ； ； .
(2)11个
(3)37
【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可；
（2）任取 的一个“相邻数列” ，根据相邻数列的概念可得 且 ，对于
的取值分情况讨论，利用 为递增数列可得 是公差为1的等差数列，列
不等式组求解即可；
（3）令 可得对任意 ，设
，证明 与 要么是空集，要么是连续自
然数构成的集合，进而根据定义求解即可.
【详解】（1）根据“相邻数列”的概念可知 ， ，
或 ， 或 ，
所以 的所有“相邻数列”有 ； ； ； .
（2）任取 的一个“相邻数列” ，
因为 或 ，
学科网（北京）股份有限公司或 ，
所以有 且 ，
对于 的取值分以下4种情形：
（a） ，
（b） ，
（c） ，
（d）
由数列 是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到 ，所以只需考虑第4种情形，
递增， ， 即 ，
由 是递增的整数数列得 ，从而 是公差为1的等差数列，
于是 ，则 ，即满足数列 的有11个.
（3）令 ，所以对任意 ，
设 ，则 且 ，
先证明 与 要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若 ，令 ，则 ，由 得 ，
所以 ，即 ，即 是空集，或是连续自然数构成的集合．
若 ，令 ，则 ，由 得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，即 是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此 ， 的分布只可能是如下三种情况：
（i） ，此时，对任意的 ，由 得 ，
所以对任意的 ，注意到 ，所以
，
等号当且仅当 时取到；
（ii）存在整数 ，使得
对任意的 ，对任意的 ，所以
（iii） ．此时，对任意的 ，与情形1类似，
对任意的 ，注意到 ，
所以 ，
综上， 的最小值为 ．
【点睛】思路点睛：根据“相邻数列”的定义，按照 或 分类讨论不同情形，
结合数列 的定义求解即可.
6．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列 的前n项和为 .若对任意 .总存在 .使
得 .则称 是“M数列”.
(1)判断数列 （ ）是不是“M数列”，并说明理由；
学科网（北京）股份有限公司(2)设 是等差数列，其首项 .公差 .且 是“M数列”
①求d的值和数列 的通项公式：
②设 ，直接写出数列 中最小的项.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)① ， ；②
【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可.
（2）①由题意关于 的方程 即 恒有正整数解，结合
数论知识即可求解出 ；②由题意得 ，故当当 时或当 时， 取
最小值.
【详解】（1）数列 不是“M数列”，理由如下：
∵ ，当 时， ，此时找不到 ，使得 .
所以数列 不是“M数列”.
（2）① 是等差数列，且首项 ，公差 ，
则 ，
故对任意 ，总存在 ，使得 成立，
则 ，其中 为非负整数，
要使 ，需要 恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，
又 ，所以 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司②∵ ，所以 .
由 的单调性知在 为减函数，在 为增函数，
当 时， ；当 时， .
所以，当 时， 有最小值 .即数列 中最小的项为 .
【点睛】关键点睛：第二问的关键是得到关于 的方程 恒有正整数解，由此得
出 ，从而顺利得解.
7．（23-24高二上·广西玉林·期末）定义：若无穷数列 满足 是公比为 的等比数列，
则称数列 为“ 数列”.设数列 中， .
(1)若 ，且数列 为“ 数列”，求数列 的通项公式；
(2)若数列 是“ 数列”，是否存在正整数 ，使得 ,若存在，请求出所
有满足条件的正整数 ；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据 且数列 为“ 数列”可知， ，即 ，
判断数列 为等差数列，从而求得通项公式；
（2）结合题中定义可求得 ，不等式化为 ，利用
学科网（北京）股份有限公司得 ，利用 得 ，从而解得不等式
组即可.
【详解】（1）因为 ，且数列 为“ 数列”，
所以 ，
即 ，所以 是以首项为 ，公差 的等差数列，
所以 ；
（2）由数列 是“ （2）数列”，
得 ，所以 ，
即 ， ，
所以 ，所以 时，
，
当 时上式也成立，故 .
假设存在正整数 ，使得 ，
则 ，
由 ，
可知 ，所以 ，
又因为 为正整数，所以 ，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
， ，
.
故存在满足条件的正整数 ，且 .
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据
此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握
好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
数列不等式（共7题）
一、填空题
1．（23-24高二上·吉林·期末）已知 为等差数列 的前n项和， 为其公差，且 ，
给出以下命题：
① ；② ；③使得 取得最大值时的n为8；④满足 成立的最大n值为17
其中正确命题的序号为 .
【答案】①③
【分析】由 及等差数列前n项和的函数性质判断①③；应用等差数列前n项和公式可得
，并令 得 ，即可判断②④.
【详解】由 ，即 存在最大值 ，故 ，①③对；
则 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，故 ，且 ，②错；
令 ，则 且 ，即 ，而 ，
所以 ，故 ，即满足 成立的最大n值为15，④错.
故答案为：①③
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列 的通项公式 ，记 为 在区间
内项的个数，则 ；使得不等式 成立的 的最
小值为 ．
【答案】 12
【分析】根据题意可得 ，对 分奇偶数讨论计算 的值；由题设得不等式
，再按 为奇数和偶数，求出 的最小值．
【详解】依题意，令 ，得 ，
当 为奇数时， 可以被 整除，于是 ，
当 为偶数时， 不能被 整除，则 ，
所以 ；
当 为奇数时， 为偶数， ，
即 ，而 ，则 ，即 ，又 为奇数，则 的最小值为 ，
当 为偶数时， 为奇数， ，
而 ，则 ，即 ，因此 的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： ；
【点睛】关键点点睛：由条件建立不等式，再按 是奇数、偶数分类求解是解决本题的关键.
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·海南·期末）在数列 中， .若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数
【答案】
【分析】利用等比数列求和公式得 ，再对 分奇偶数讨论即可.
【详解】若 ，可得
，
且 符合上式，所以 ，
则 ， ， ，
即 的所有偶数项都小于 ，所有奇数项都大于 ，
故 对任意的 恒成立.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用累加法和等比数列求和公式得 ，最后对
分奇偶数讨论即可.
二、解答题
4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列 满足 ，且 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出当 时的等式，再与原式两式相除求解即可；
（2）由（1） ，再根据错位相减求解可得 ，再化简不等式可得
，再设 ，根据作差法判断 的单调性，进而可得最大值.
【详解】（1） ，
当 时， ，
两式相除得； ，
又 符合上式，故 ；
（2） ，
，
，
错位相减得：
，
，
即 ，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
故 ，
由 ，
由 可知， 随着 的增大而减小，
故 ，
故 恒成立，知 单调递减，
故 的最大值为 ，则
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛
顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数 ，若满足
，则称数列 为牛顿数列．已知 ，如图，在横坐标为
的点处作 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下
去，得到数列 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求整数 的最小值．
（参考数据： ， ， ， ）
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据导数的几何意义求切线方程，并令 ，得到数列 的递推公式，即可
求解；
（2）法一，由（1）可知， ，利用错位相减法求数列 的前 项和 ，代入
不等式，参变分离为 ，转化为作差判断数列 的单调性，再求数
列的最大值，即可求解；
法二，利用裂项相消法求数列 的前 项和 ，代入不等式，参变分离为 ，转
化为作商判断数列 的单调性，再求数列的最大值，即可求解.
【详解】（1） ，
在点 处的切线方程为：
令 ，得 ，
所以 是首项为1，公比为 的等比数列，
故
（2）令
法一：错位相减法
学科网（北京）股份有限公司，
，
两式相减得：
化简得：
故 ，
化简得
令 ，
则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以
从而整数 ；
法二：裂项相消法
由 ，
学科网（北京）股份有限公司设 且 ，
则 ，
于是 ，得 ，
即
所以
故 ，化简得
令 ，
则 时， ，
当当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以
从而整数
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问理解题意，理解 与 的关系，从而求出数列 的
通项公式，后面的问题迎刃而解.
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为
“K数列”．
(1)已知数列1，2m， 是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为 的等差数列 为“K数列”，且其前n项和 使得 恒成立?若
存在，求出数列 的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列 是“K数列”，数列 不是“K数列”，若 ，
试判断数列 是否为“K数列”，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意得到 ，且 ，，再解不等式组即可；
（2）首先假设存在等差数列 符合要求，从而得到 成立，再分类讨论 和
的情况，即可得到答案.
（3）首先设数列 的公比为q，则 ，根据题意得到 ，
从而得到 为最小项，同理得到 为最小项，再利用“ 数列”的定义得到 ，
或 ， ，再分类讨论即可得到答案.
【详解】（1）由题意得 ，且 ，解得 ，所以实数m的取值范围是
．
学科网（北京）股份有限公司（2）不存在．理由：假设存在等差数列 符合要求，设公差为d，则 ，
由 得 ．
由题意，得 对 均成立，即 ．
当 时， ；
当 时， 恒成立，
因为 ，所以 ，与 矛盾，
所以这样的等差数列 不存在．
（3）设数列 的公比为q，则 ．
因为 的每一项均为正整数，且 ，
所以在 中， 为最小项.
同理， 中， 为最小项.
由 为“K数列”，只需 ，即 ．
又因为 不是“ 数列”，且 为最小项，
所以 ，即 ．
由数列 的每一项均为正整数，可得 ，
所以 或 ．
当 时， ，则 ．
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 为递增数列，即 ，
因为 ，
所以对于任意的 ，都有 ，即数列 为“K数列”．
当 时， ，则 ．
因为 ，所以数列 不是“K数列”．
综上所述，当 时， ，数列 为“K数列”；
当 时， ，数列 不是“K数列”．
【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行
列式分析,属于难题.
7．（22-23高二上·北京·期末）设满足以下两个条件的有穷数列 , ,…, 为 阶“Q
数列”：
① ；② ．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为 ，求证 ．
【答案】(1)三阶“ 数列”: , , ;四阶“ 数列”: , , ,
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“ 数列”;
学科网（北京）股份有限公司（2）利用某 阶“ 数列”是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可；
（3）判断k=n时, ,然后证明k＜n时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.
【详解】（1）不妨设其数列为等差数列,因为 阶“ 数列”单调递增,
则由 , 可知: ,且 ,
解得: ,所以 ,故 ,
解得: ,故三阶“ 数列”： , , ;
同理，不妨设4阶“ 数列”为等差数列,公差为 ,
因为4阶“ 数列”单调递增,
由 可知: ,
即 , ,所以 ,且 ,
因为 ,所以 ,
即 ,解得: ,
将 代入 中,解得:,
可得四阶“ 数列”： , , , ．
（2）设等差数列 , , , , 公差为 , ,
∵ ,∴ ,
∴ ,则 ,
,根据已知条件得：
①, ②,
学科网（北京）股份有限公司两式相减得: ,即 ,
根据 ,得 ,，
.
（3）当 时,显然 成立;
当 时,根据条件①得 ,
即 ,
∴ ,
∴ .
【点睛】关键点点睛：定义新数列,要将不熟悉的问题进行转化,转化为我们熟悉的问题,本题中将“
数列”转化为等差数列,利用等差数列的性质进行求解较为简单,第三问的难点是利用绝对值三角
不等式进行证明.
学科网（北京）股份有限公司
