2010年高考数学试卷（理）（陕西）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2010年陕西省高考理科数学试题参考答案 1.集合A=x|-1£ x£2，B=x|x<1，则AÇ(C B)=【D】 R （A） x|x>1 （B）x|x³1 （C）x|1< x£2 （D）x|1£ x£2 解析：本题考查集合的基本运算     C B  X | x ³1,AÇC B  x|1£ x £ 2 R R i z  1+i 2.复数 在复平面上对应的点位于 【A】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：本题考查复数的运算及几何意义 i i(1-i) 1 1 1 1   + i，所以点（ , )位于第一象限 1+i 2 2 2 2 2 3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】 p p 4 2 A.f(x)在（ ， ）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为2p D. f(x)的最大值为2 解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数 5 æ aö 4. ç x+ ÷ xÎR展开式中x3的系数为10，则实数a等于【D】 è xø 1 A.-1 B. C.1 D.2 2 解析：本题考查二项展开式的通项公式 r æaö T Crx5-rç ÷  arCrx5-2r,由5-2r 3得r 1,有aC1 10,a  2 r+1 5 è xø 5 5 ìï2x +1，x<1 í ïîx2 +ax，x³1 5.已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】 1 4 2 5 A. B. C.2 D.9 解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2 6.右图是求样本x ，x ，…，x 平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 1 2 10 x n x n A.S=S+ n B.S=S+ 第1页 | 共9页1 n C.S=S+n D.S=S+ 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】 1 2 A. B. C.1 D.2 3 3 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 2 如图，该立体图形为直三棱柱 2 1 所以其体积为 1 2 2 1 1 2 8.已知抛物线y2 2px(p>0)的准线与圆x2 + y2 -6x-70相切，则p的值为【C】 1 A. B. 1 C.2 D.4 2 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 p 法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为x  - ，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋ 2 p y2＝16相切，所以3+  4,p  2 2 法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0） p 所以-  -1,p  2 2 9.对于数列a ，“a > a (n1，2，...)”是“ a 为递增数列”的【B】 n n+1 n n A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由a > a (n1，2，...)知a 所有项均为正项， n+1 n n 且a < a << a < a ，即a 为递增数列 1 2 n n+1< n 反之，a 为递增数列，不一定有a > a (n1，2，...)，如-2，-1,0,1,2，…. n n+1 n 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函 数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 【B】 é x ù éx+3ù éx+4ù éx+5ù A. y B. y C. y D. y ê ú ê ú ê ú ê ú ë10û ë 10 û ë 10 û ë 10 û 解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B éx+3ù é +3ù é x ù 法二：设x 10m+(0££9)，0££6时,  m+  m  ， ê ú ê ú ê ú ë 10 û ë 10 û ë10û éx+3ù é +3ù é x ù 当6<£9时,  m+  m+1 +1，所以选B ê ú ê ú ê ú ë 10 û ë 10 û ë10û 第2页 | 共9页二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1 解析：a+b (1,m-1),由(a+b)//c得12-(m-1)(-1) 0，所以m=-1 12.观察下列等式：13+23 32，13+23 +33 62，13+23 +33 +43 102，…，根据上述规律，第五个 等式为13+23 +33 +43+53+63 212。 解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方 所以第五个等式为13+23 +33 +43+53+63 212。 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影 部分部 1 分的概率为 3 1 解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为 3x2dx 1 ，所以 0 1 点M取自阴影部分部分的概率为 3 14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的CO 排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表： 2 a B(万吨) C（百万元） A 50％ 1 3 B 70％ 0.5 6 某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO 的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为1 2 5（万元） 解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用z 3x+6y 0.5x+0.7y³1.9 x,y满足约束条件 x+0.5y £ 2 表示平面区域为 x³0,y ³0 则当直线z 3x+6y过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用 z=15 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）   A．（不等式选做题）不等式 x+3 - x-2 ³3的解集为 x x³1 解析：法一：分段讨论 x < -3时，原不等式等价于-5³3，xÎ -3£ x < 2时，原不等式等价于2x+1³3，x ³11£ x < 2 第3页 | 共9页x ³ 2时，原不等式等价于5³3，x ³ 2   综上，原不等式解集为 x x³1 法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究 法三：借助函数y  x+3 - x-2 的图像研究 B. (几何证明选 做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为 3cm,4cm，以 BD 16 AC为直径的圆与AB交于点D，则  DA 9 解析： CD  AB,由直角三角形射影定理可得  16 BC2  BDBA,又BC 4,BA 5,所以BD  5 9 BD 16 AD   5 DA 9 ì xcos  C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为í （a为参数）以原点为极点，x轴正半轴 îy 1+sin 为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为rsinq1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(- 1,1).(1,1)_____ 解析：直线l的极坐标方程为rsinq1化为普通方程为y=1， 所以直线l与圆x2 +(y-1)2 1的交点坐标为(-1,1).(1,1) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） （1） 16.解： （1）由题设知公差d≠0 1+2d 1+8d 由a 1且a ,a ,a 成等比数列得  1 1 3 9 1 1+2d 解得d=1,d=0（舍去）故a 的通项a 1+(n-1)1n n n （2）由（1）知2a n 2n，由等比数列前n项和公式得 2(1-2n) S 2+22 +23+...+2n  2n+1-2 n 1-2 17. 解：由题意知AB=5(3+ 3)海里， ÐDBA90°-60°30°,ÐDAB45°, ÐADB105° 第4页 | 共9页DB AB 在DDAB中，由正弦定理得  sinÐDAB sinÐADB AB·sinÐDAB 5(3+ 3)·sin45° 5(3+ 3)·sin45° DB   sinÐADB sin105° sin45°·cos60°+sin60°·cos45° 5 3(1+ 3) = 10 3（海里）， (1+ 3) 2 又ÐDBC ÐDBA+ÐABC 30°+(90°-60°)60°,BC 20 3海里， 在DDBC中，由余弦定理得 CD2  BD2 +BC2 -2BD·BC·cosÐDBC 1 = 300+1200-210 320 3 900 2 30 CD30（海里），则需要的时间t  1（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。 30 注：如果认定DDBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。 18. 解法一： （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ∵ AP AB2,BC  AD2 2，四边形ABCD是矩形 ∴ A,B,C,D,P的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2,0),D(0,2 2,0),P(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点， ∴ E(0, 2,0),F(1, 2,1) uuur uuur uuur ∴ PC (2,2 2,-2),BF (-1, 2,1),EF (1,0,1), uuur uuur uuur uuur ∴ PC g BF -2+4-20,PC g EF 2+0-20, uuur uuur uuur uuur ∴ PC  BF,PC  EF, uuur uuur uuur uuur ∴PC  BF,PC  EF,BFÇEF  F, ∴ PC 平面BEF （Ⅱ） uuur 由（Ⅰ）知平面BEF的法向量n  PC (2,2 2,-2), 1 uuur 平面BAP的法向量n  AD(0,2 2,0)， 2 ∴ n 1g n 2 =8 设平面BEF与平面BAP的家教为θ， 第5页 | 共9页|n n | 8 2 则cosq|cos(n ,n )| 1g 2   ， 1 2 |n ||n | 42 2 2 1 2 ∴ q45o，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45o 解法二： （Ⅰ）连接PE,EC，在Rt PAE和Rt CDE中， V V PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即 PEC是等腰三角形， V 又F是PC的中点，∴EF⊥PC， 又BF  AP2 + AB2 2 2  BC,F 是PC的中点， ∴BF  PC 又BFÇEF  F,PC 平面BEF （Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC, 又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC, ∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF, ∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角， 在 PBC中，PB=BC, ÐPBC 90o, ÐPCB45o V 所以平面BEF与平面BAP的夹角为45o 19. 解： （Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。 （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本 中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5 （Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4， 设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间” ， C2 2 C1+C1+C2 2 则P(A)1- 6  （或P(A) 6 4 4  ） C2 3 C2 3 10 10 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由| AB | 7知a2 +b2 7， ① 1 1 由S 2S 知a=2c， ② YA 1 B 1 A 2 B 2 YB 1 F 1 B 2 F 2 又 b2 a2 -c2， ③ 由①②③解得a2 4,b2 3， 第6页 | 共9页x2 y2 故椭圆C的方程为 + 1 4 3 （Ⅱ） uuur uuur 设A，B两点的坐标分别为(x ,y ),(x ,y )，假设使AP PB1成立的直线l存在， 1 1 2 2 g （ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y kx+m， uuur 由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得 |m| uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1，即m2 k2 +1∵AP g PB1，|OP|=1，∴OA g OB(OP+PA) g (OP+PB) 1+k2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur = OP +OPPB+PAOP+PAPB= 1+0+0-1=0, 即x x + y y 0,将y kx+m代入椭圆方程，得 1 2 1 2 (3+4k2)x2 +8kmx+(4m2 -12)0 -8km 由求根公式可得x +x  ， ④ 1 2 3+4k2 4m2 -12 x x  ⑤ 1 2 3+4k2 0 x x + y y  x x +(kx +m)(kx +m) 1 2 1 2 1 2 1 2 = x x +k2x x +km(x +x )+m2 1 2 1 2 1 2 = (1+k2)x x +km(x +x )+m2 1 2 1 2 将④，⑤代入上式并化简得 (1+k2)(4m2 -12)-8k2m2 +m2(3+4k2)0 ⑥ 将m2 1+k2代入⑥并化简得-5(k2 +1)0，矛盾 即此时直线l不存在 uuur （ⅱ）当l垂直于x轴时，满足|OP|1的直线l的方程为x=1或x=-1， 3 3 当X=1时，A,B,P的坐标分别为(1, ),(1,- ),(1,0)， 2 2 uuur 3 uuur 3 ∴AP(0,- ),PB(0,- )， 2 2 uuur uuur 9 ∴AP g PB ¹1 4 uuur uuur 当x=-1时，同理可得AP PB¹1，矛盾 g 第7页 | 共9页即此时直线l也不存在 uuur uuur 综上可知，使AP PB1成立的直线l不存在 g 21. （本小题满分14分） 1 a 解：（Ⅰ） f¢(x) ,g¢(x) (x>0)， 2 x x ì x alnx, ï e 由已知得í 1 a 解得a ,xe2，  , 2 ï î2 x x 1 ∴ 两条直线交点的坐标为(e2,e)，切线的斜率为k  f¢(e2) ， 2e 1 ∴ 切线的方程为y-e (x-e2) 2e （Ⅱ）由条件知h(x) x -alnx(x>0), 1 a x -2a ∴ h¢(x) -  2 x x 2x （ⅰ）当a>0时，令h¢(x)0，解得x4a2， ∴ 当0< x<4a2时，h¢(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减； 当x>4a2时，h¢(x)>0,h(x)在(4a2,+¥)上递增 ∴x4a2是h(x)在(0,+¥)上的唯一极值点，从而也是h(x)的最小值点 ∴最小值j(a)h(4a2)2a-aln4a2 2a(1-ln2a) a -2a （ⅱ）当a£0时，h¢(x) >0,h(x)在(0,+¥)上递增，无最小值， 2x 故h(x)的最小值j(a)的解析式为j(a)2a(1-ln2a)(a>0) （Ⅲ）由（Ⅱ）知j¢(a)-2ln2a 对任意的a>0,b>0 j¢(a)+j¢(b) 2ln2a+2ln2b - -ln4ab ① 2 2 a+b a+b j¢( )-2ln(2 g )-ln(a+b)2 £-ln4ab ② 2 2 第8页 | 共9页2ab 2ab 4ab j¢( )-2ln(2 g )³-2ln -ln4ab ③ a+b a+b 2 ab a+b j¢(a)+j¢(b) 2ab 故由①②③得j¢( )£ £j¢( ) 2 2 a+b 第9页 | 共9页