文档内容
2026年中考数学常考考点专题之有理数
一．选择题（共12小题）
1．（2025•黔南州一模）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的
反射面面积约为250000m2，用科学记数法表示数据250000为（ ）
A．2.5×105 B．0.25×105 C．25×104 D．2.5×106
2．（2025•莱西市校级模拟）若将下列四个数描在同一数轴上，则离原点最远的是（ ）
5
A．﹣3 B． C． D．﹣3.14
2
π
3．（2025•黄石模拟）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作﹣150元，那么80元表
示（ ）
A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元
4．（2025•长岭县模拟）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点
B表示的数是（ ）
A．5 B．4 C．﹣3 D．﹣4
5．（2025•上虞区二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计
算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A． 吐鲁番盆地﹣154米
B． 新疆天山1815米
第1页（共27页）C． 珠穆朗玛峰8848米
D． 玉龙雪山5596米
6．（2025•南山区一模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将
算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图 1可
列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7
7．（2025•吉州区一模）凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的
是（ ）
物质 钨 水银 煤油 水
凝固点 3410℃ ﹣38.87℃ ﹣30℃ 0℃
A．钨 B．水银 C．煤油 D．水
8．（2025•河北校级模拟）计算(a⋅a⋯⋯a) 3 的结果是（ ）
¿
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
9．（2025•开福区校级三模）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十
进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数1024＝1×103+0×102+2×101+4，记作1024；
八进制数（1024） ＝1×83+0×82+2×81+4，记作（1024） ；
8 8
五进制数（1024） ＝1×53+0×52+2×51+4，记作（1024） ；
5 5
第2页（共27页）二进制数（1011） ＝1×23+0×22+1×21+1，记作（1011） ；
2 2
二进制数（1101） 转化为十进制数为（ ）
2
A．12 B．13 C．14 D．15
10．（2025•潜山市三模）已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是
（ ）
A．有最小值1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最大值﹣1
11．（2025•长春模拟）如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是
（ ）
A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日
12．（2025•鼓楼区校级模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某某天微信账单的全部收支明
细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元
二．填空题（共8小题）
13．（2025•祁阳市模拟）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果n＝
14．（2025•广陵区一模）下表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表：
n 5 10 15 20 25 30 35
2n 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368
第3页（共27页）根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为 ．
15．（2025•内江校级模拟）按如图所示程序计算，若开始输入x＝6，则最后输出的结果为 ．
1
16．（2025•盐山县校级模拟）如图，半径为 的圆周上有一点A落在数轴上表示﹣2的点处，现将圆在数
2
轴上向右滚动2周后点A所处的位置在连续整数a，b之间，则a+2b的值是 ．
17．（2025•平原县二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生
后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子
自出生后的天数是 天．
18．（2025•城东区校级三模）现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a，b（a≠0），有a*b＝a2﹣
b，则（﹣2）*2的值为 ．
19．（2025•内丘县模拟）在数轴上，点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，若点M是AB的中点，则
点M所对应的数为 ．
20．（2025•凤阳县三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等
C2
于周长平方除以12．而现代根据圆的周长C＝2 r推导出的面积公式是S= ．当C＞0时，比较大小：
4π
π
C2 C2
（填“＞”或“＜”）．
12 4π
三．解答题（共5小题）
21．（2025•平乡县二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有
第4页（共27页）若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天
行驶的记录如下（单位：千米）：﹣8，+7，+3，﹣12，+6，﹣13，+4，+9．
（1）通过计算，说明出租车离A市多远？
（2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站 次；
（3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？
22．（2025•竞秀区一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数．
（1）若被手遮挡的数是3，求这个算式的值；
（2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值．
23．（2025•路南区校级三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应
的数分别为﹣5，1，点B为AD的中点．
（1）求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置；
（2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和．
24．（2025•河北模拟）已知m为有理数，定义运算符号：当m＞﹣1时，※m＝﹣m；当m＜﹣1时，※m
＝m；当m＝﹣1时，※m＝0．
（1）※（﹣2）＝ ，※（﹣3+2）＝ ；
（2）计算：※[（﹣3）﹣※（﹣9+5）]．
25．（2025•高碑店市三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏：
第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数；
第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片；
第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算．例如：第一步，点击
“数字小助手”生成整数3；
第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片 和 ；
第三步，计算（3﹣6）×4＝﹣12．
（1）若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为 和 ，请完成第三步的计算；
（2）若第一步中生成的整数为a，第二步中弹出的卡片依次为 和 ，第三步的计算结果是一
第5页（共27页）个正数，求a的最小整数值．
第6页（共27页）2026年中考数学常考考点专题之有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C A C B D B B D
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题）
1．（2025•黔南州一模）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的
反射面面积约为250000m2，用科学记数法表示数据250000为（ ）
A．2.5×105 B．0.25×105 C．25×104 D．2.5×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】先确定a＝2.5，n＝5，再写成形如a×10n的形式即可．
【解答】解：250000＝2.5×105．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10是关键．
2．（2025•莱西市校级模拟）若将下列四个数描在同一数轴上，则离原点最远的是（ ）
5
A．﹣3 B． C． D．﹣3.14
2
π
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】先求出各个选项中数的绝对值，然后根据数的几何意义，进行判断即可．
5
【解答】解：|﹣3|＝3，| |=2.5，|π|≈3.1416，|-3.14|=3.14，
2
∵2.5＜3＜3.14＜3.1416，
∴离原点最远的是3.1416，
故选：C．
第7页（共27页）【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义．
3．（2025•黄石模拟）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作﹣150元，那么80元表
示（ ）
A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元
【考点】正数和负数．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】利用正数负数的意义解答即可．
【解答】解：由题意可得：80元表示收入80元．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正数和负数，掌握正负数的相反意义成为解题的关键．
4．（2025•长岭县模拟）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点
B表示的数是（ ）
A．5 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】用点A表示的数减去移动的距离即可得到答案．
【解答】解：1﹣4＝﹣3，
∴点B表示的数是﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
5．（2025•上虞区二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计
算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A． 吐鲁番盆地﹣154米
第8页（共27页）B． 新疆天山1815米
C． 珠穆朗玛峰8848米
D． 玉龙雪山5596米
【考点】有理数大小比较．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣154＜1815＜5596＜8848，
∴其中最低的是吐鲁番盆地．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正
数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
6．（2025•南山区一模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将
算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图 1可
列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（ ）
第9页（共27页）A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7
【考点】有理数的加法；数学常识；正数和负数．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．
【解答】解：由题意得：（+3）+（﹣4）＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．
7．（2025•吉州区一模）凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的
是（ ）
物质 钨 水银 煤油 水
凝固点 3410℃ ﹣38.87℃ ﹣30℃ 0℃
A．钨 B．水银 C．煤油 D．水
【考点】正数和负数．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，即可作答．
【解答】解：|﹣38.87|＝38.87，|﹣30|＝30，0℃＜3410℃，
∵38.87＞30，
∴﹣38.87＜﹣30，
∴在标准大气压下，凝固点最低的是水银．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键．
8．（2025•河北校级模拟）计算(a⋅a⋯⋯a) 3 的结果是（ ）
¿
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
【考点】有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
第10页（共27页）【答案】D
【分析】先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【解答】解：(a⋅a ⋯⋯a) 3= （aa）3＝a3a．
¿
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方含义，幂的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方含义，幂的乘方运算
法则是解题的关键．
9．（2025•开福区校级三模）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十
进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数1024＝1×103+0×102+2×101+4，记作1024；
八进制数（1024） ＝1×83+0×82+2×81+4，记作（1024） ；
8 8
五进制数（1024） ＝1×53+0×52+2×51+4，记作（1024） ；
5 5
二进制数（1011） ＝1×23+0×22+1×21+1，记作（1011） ；
2 2
二进制数（1101） 转化为十进制数为（ ）
2
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】有理数的混合运算；科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数（1101） 对应的十进制数．
2
【解答】解：（1101）
2
＝1×23+1×22+0×21+1
＝1×8+1×4+0+1
＝8+4+0+1
＝13，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制转化为十进制的方法是解答本题的关键．
10．（2025•潜山市三模）已知a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，则关于（b﹣c）2+4k的最值，下列说法正确的是
（ ）
A．有最小值1 B．有最小值﹣1
C．有最大值1 D．有最大值﹣1
【考点】非负数的性质：偶次方．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
第11页（共27页）【答案】B
1
【分析】由a﹣c＝3k，a﹣b＝k知b﹣c＝2k，代入配方成4（k+ ）2﹣1可得答案．
2
【解答】解：∵a﹣c＝3（a﹣b）＝3k，
∴a﹣c＝3k，a﹣b＝k，
∴b﹣c＝2k，
1
∴(b-c) 2+4k=4k2+4k=4(k+ ) 2-1，
2
有最小值﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查非负数的性质—偶次方，解题的关键是掌握完全平方公式及非负数的性质．
11．（2025•长春模拟）如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是
（ ）
A．3月12日 B．3月13日 C．3月14日 D．3月15日
【考点】有理数的减法．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据有理数减法的运算法则求解即可．
【解答】解：根据有理数减法的运算法则可得：
3月12日的温差为5°﹣（﹣4°）＝9°，
3月13日的温差为2°﹣（﹣4°）＝6°，
3月14日的温差为4°﹣（﹣3°）＝7°，
3月15日的温差为2°﹣（﹣3°）＝5°，
这几天中温度与最低温度的差最小的是3月15日，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
12．（2025•鼓楼区校级模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小陈某某天微信账单的全部收支明
细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（ ）
第12页（共27页）A．收入36元 B．支出26元 C．收入10元 D．支出10元
【考点】有理数的加减混合运算．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可．
【解答】解：由题意得：36+（﹣20）+（﹣6）
＝36﹣20﹣6
＝10，
∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•祁阳市模拟）如图所示是计算机程序计算，当输入的数为5时，则输出的结果n＝ ﹣ 4
【考点】有理数的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可．
【解答】解：由计算机程序可知，当输入的数为5时，
∵5＞﹣1，
∴5﹣2＝3，
∵3＞﹣1，
∴3﹣2＝1，
∵1＞﹣1，
第13页（共27页）∴1﹣2＝﹣1，
∴﹣1﹣2＝﹣3，
∵﹣3＜﹣1，
∴﹣（﹣3）＝3，
∴3+（﹣7）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2025•广陵区一模）下表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表：
n 5 10 15 20 25 30 35
2n 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368
根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为 3355443 2 ．
【考点】有理数的乘法．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格得出210＝1024，215＝32768，再根据同底数幂的乘法得出结果．
【解答】解：由表格得：210＝1024，215＝32768，
∴1024×32768
＝210×215
＝225
＝33554432，
故答案为：33554432．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，通过表格得出数据是解题的关键．
15．（2025•内江校级模拟）按如图所示程序计算，若开始输入x＝6，则最后输出的结果为 10 5 ．
【考点】有理数的混合运算；代数式求值．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】105．
【分析】根据题意列式计算，直至结果大于100即可．
【解答】解：若开始输入x＝6，
第14页（共27页）6×(6-1)
则 =15＜100，返回继续运算；
2
15×(15-1)
=105＞100，输出结果；
2
故答案为：105．
【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
1
16．（2025•盐山县校级模拟）如图，半径为 的圆周上有一点A落在数轴上表示﹣2的点处，现将圆在数
2
轴上向右滚动2周后点A所处的位置在连续整数a，b之间，则a+2b的值是 1 4 ．
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【答案】14．
【分析】先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论．
1
【解答】解：∵圆的半径为 ，
2
1
∴圆的周长为：2×π× =π，
2
∵3.1＜ ＜3.2，
∴﹣2+6π.2＜﹣2+2 ＜﹣2+6.4，
∴4.2＜﹣2+2 ＜4π.4，
∴向右滚动2π周后点A所处的位置在4与5之间，
∵将圆在数轴上向右滚动2周后点A所处的位置在连续整数a，b之间，
∴a＝4，b＝5，
∴a+2b＝4+2×5＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
17．（2025•平原县二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生
后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+2×71+6＝147+14+6＝167（天）．请根据图2，计算孩子
第15页（共27页）自出生后的天数是 10 9 天．
【考点】用数字表示事件；有理数的乘方．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】109．
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为 4，1×7和
2×7×7，然后把它们相加即可．
【解答】解：孩子自出生后的天数是：
2×7×7+1×7+4
＝98+7+4
＝109．
故答案为：109．
【点评】本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出
生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古
代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
18．（2025•城东区校级三模）现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a，b（a≠0），有a*b＝a2﹣
b，则（﹣2）*2的值为 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据a*b＝a2﹣b，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a*b＝a2﹣b，
∴（﹣2）*2
＝（﹣2）2﹣2
＝4﹣2
＝2，
由上可得，（﹣2）*2的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
第16页（共27页）19．（2025•内丘县模拟）在数轴上，点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，若点M是AB的中点，则
点M所对应的数为 ﹣ 1 ．
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣1．
【分析】先根据已知条件和两点间的距离公式，求出AB，再根据线段中点的定义求出MB，然后设点
M表示的数为x，最后根据两点间的距离公式求出答案即可．
【解答】解：∵点A对应的数为﹣5，点B对应的数为3，
∴AB＝|3﹣（﹣5）|＝|3+5|＝8，
∵点M是AB的中点，
8
∴MB= =4，
2
设点M表示的数为x，
∴|3﹣x|＝4，
3﹣x＝4，
x＝﹣1，
∴点M表示的数为：﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．
20．（2025•凤阳县三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等
C2
于周长平方除以12．而现代根据圆的周长C＝2 r推导出的面积公式是S= ．当C＞0时，比较大小：
4π
π
C2 C2
＞ （填“＞”或“＜”）．
12 4π
【考点】数学常识．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】＞．
【分析】运用无理数的估算和分数的大小比较方法进行求解．
【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴12＜4 ＜16， π
∴当C＞π0时，C2＞0，
第17页（共27页）C2 C2
∴ ＞ ，
12 4π
故答案为：＞．
【点评】此题考查了无理数的估算和分数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•平乡县二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有
若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天
行驶的记录如下（单位：千米）：﹣8，+7，+3，﹣12，+6，﹣13，+4，+9．
（1）通过计算，说明出租车离A市多远？
（2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站 6 次；
（3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4千米；
（2）6；
（3）4.34升．
【分析】（1）将出租车当天行驶的记录相加即可；
（2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站计算即可；
（3）根据总路程×每千米的油耗计算即可．
【解答】解：（1）（﹣8）+7+3+（﹣12）+6+（﹣13）+4+9＝﹣4（千米），
|﹣4|＝4（千米），
∴出租车离A市4千米．
（2）∵规定向北行驶为正，
∴向南行驶为负，
当出租车向南行驶8千米时，出租车所在位置是﹣8千米，即到达A市以南8千米处，第一次经过加油
站；
当出租车再向北行驶7千米时，出租车所在位置是（﹣8）+7＝﹣1，即到达A市以南1千米处，第二
次经过加油站；
当出租车再向北行驶3千米时，出租车所在位置是（﹣1）+3＝2，即到达A市以北2千米处，不经过
加油站；
当出租车再向南行驶12千米时，出租车所在位置是2+（﹣12）＝﹣10，即到达A市以南10千米处，
第三次经过加油站；
第18页（共27页）当出租车再向北行驶6千米时，出租车所在位置是（﹣10）+6＝﹣4，即到达A市以南4千米处，第四
次经过加油站；
当出租车再向南行驶13千米时，出租车所在位置是（﹣4）+（﹣13）＝﹣17，即到达A市以南17千
米处，第五次经过加油站；
当出租车再向北行驶4千米时，出租车所在位置是（﹣17）+4＝﹣13，即到达A市以南13千米处，不
经过加油站；
当出租车再向北行驶9千米时，出租车所在位置是（﹣13）+9＝﹣4，即到达A市以南4千米处，第六
次经过加油站．
经上，该出租车经过加油站6次．
故答案为：6．
（3）0.07×（|﹣8|+|+7|+|+3|+|﹣12|+|+6|+|﹣13|+|+4|+|+9|）＝4.34（升）．
答：该出租车一天共耗油4.34升．
【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，掌握它们的运算法则是解题的关键．
22．（2025•竞秀区一模）李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数．
（1）若被手遮挡的数是3，求这个算式的值；
（2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次不等式．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）这个算式的值为8；（2）被遮挡的数的最小值为16．
【分析】（1）将3直接代入算式即可求解；
（2）设被遮挡的数为x，根据题意得﹣5×（﹣4）÷2+（﹣1）2﹣x≤﹣5，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知，这个算式的值为：﹣5×（﹣4）÷2+（﹣1）2﹣3＝20÷2+1﹣3＝8；
（2）设被遮挡的数为x，
∴由题意得：﹣5×（﹣4）÷2+（﹣1）2﹣x≤﹣5，
∴解得：x≥16，
∴被遮挡的数的最小值为16．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式是解题关键．
23．（2025•路南区校级三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应
的数分别为﹣5，1，点B为AD的中点．
第19页（共27页）（1）求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置；
（2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和．
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）B所表示的数为﹣2；
（2）﹣4或﹣12．
【分析】（1）根据数轴的定义即可得出答案；
（2）利用两点间的距离分两种情况，分别求得有理数，相加即可．
【解答】解：（1）如图：
点B所表示的数为﹣2；
（2）∵BE＝4，
∴E表示的数是2或﹣6，
当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示的数的和为：﹣5+（﹣2）+0+1+2＝﹣4；
当E表示的数是﹣6时，A、B、C、D、E表示的数的和为：﹣5+（﹣2）+0+1﹣6＝﹣12．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键就是距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边
的数．
24．（2025•河北模拟）已知m为有理数，定义运算符号：当m＞﹣1时，※m＝﹣m；当m＜﹣1时，※m
＝m；当m＝﹣1时，※m＝0．
（1）※（﹣2）＝ ﹣ 2 ，※（﹣3+2）＝ 0 ；
（2）计算：※[（﹣3）﹣※（﹣9+5）]．
【考点】有理数的混合运算．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣2，0；
（2）﹣1．
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义先计算出※（﹣9+5）＝﹣4，再计算（﹣3）﹣※（﹣9+5）＝（﹣3）﹣（﹣4）＝1
＞﹣1，最后再根据新定义可得答案．
第20页（共27页）【解答】解：（1）∵※（﹣2）＝﹣2，
∴※（﹣3+2）＝0，
故答案为：﹣2，0；
（2）∵﹣9+5＝﹣4＜﹣1，
∴※（﹣9+5）＝﹣4，
∴（﹣3）﹣※（﹣9+5）＝（﹣3）﹣（﹣4）＝1＞﹣1，
∴※[（﹣3）﹣※（﹣9+5）]＝﹣1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算．理解新定义是关键．
25．（2025•高碑店市三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏：
第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数；
第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片；
第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算．例如：第一步，点击
“数字小助手”生成整数3；
第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片 和 ；
第三步，计算（3﹣6）×4＝﹣12．
（1）若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为 和 ，请完成第三步的计算；
（2）若第一步中生成的整数为a，第二步中弹出的卡片依次为 和 ，第三步的计算结果是一
个正数，求a的最小整数值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次不等式．
菁优网版权所有
【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）2．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列得不等式为4a﹣6＞0，解不等式并确定a的最小整数解即可．
【解答】解：（1）5﹣6+2
＝﹣1+2
＝1；
第21页（共27页）（2）由题意得4a﹣6＞0，
解得：a＞1.5，
则a的最小整数值是2．
【点评】本题考查解一元一次不等式，有理数的混合运算，理解题意并列得正确的不等式及算式是解
题的关键．
第22页（共27页）考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号
叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理
数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及 0的大小，利用绝对值比较两个
负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而
小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
第23页（共27页）若a﹣b＝0，则a＝b．
4．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反
数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条
法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
5．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号
（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
6．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和
的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
7．有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
第24页（共27页）①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
8．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的
结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正
整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加
减．
9．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
10．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
11．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
第25页（共27页）规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10的负数同样可用此法表示，只
是前面多一个负号．
12．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它
合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
13．用数字表示事件
用普通的数字去表示并解决生活中的一些事情，一方面让学生了解了数学知识，另一方面也考察了学生
的思维能力．
14．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
15．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
16．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
第26页（共27页）以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形
式．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 8:22:29；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964
第27页（共27页）
