文档内容
广安市 2024 年初中学业水平考试试题
数学
注意事项：
1.本试卷分为试题卷（1－4页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分120分．
2.考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，
待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否
一致．
3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字
笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑．
4.考试结束，监考人员必须将缺考学生和参考学生的答题卡、试题卷一并收回．
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大
题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数最大的是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而
小．把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵ ，
∴最大的数是1
故选：D．
2. 代数式 的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
【答案】C
【解析】
1【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其
顺序．根据 中的运算关系解答即可．
【详解】解：代数式 的意义可以是 与x的积．
故选C．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除
法运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A、 和 不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意；
B、 ，计算正确，符合题意；
C、 ，故原计算错误，不符合题意；
D、 ，故原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，
与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
25. 如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，若 ， ，则 的度
数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线 的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图
是解题的关键．先证明 ，可得 ，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解：∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选D
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 将580000用科学记数法表示为：
B. 在 ， ， ， ， ， 这组数据中，中位数和众数都是8
C. 甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差
，乙组同学成绩的方差 ，则甲组同学的成绩较稳定
D. “五边形的内角和是 ”是必然事件
3【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义等知识．根据
多角形的内角和定理，科学记数法，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可．
【详解】解：A、将580000用科学记数法表示为： ，故本选项不符合题意；
B、这列数据从小到大排列为 ， ， ， ， ， 中，8出现了3次，故众数是8，中位数是 ，
故本选项不符合题意；
C、 ，则 ，则乙组同学的成绩较稳定，故本选项不符合题意；
D、“五边形的内角和是 ”是必然事件，故本选项符合题意．
故选：D．
7. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. 且 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．由关于 的一元二次方程 两个不相等的实数根，
可得 且 ，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
4，
，
的取值范围是： 且 ．
故选：A．
8. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容
器内底部所受水的压强为 （单位：帕），时间为 （单位：秒），则 关于 的函数图象大致为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面
高度 随时间 变化而分两个阶段．
【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度 随时间 的增大而增长缓慢，用
时较长，即压强 随时间 的增大而增长缓慢，用时较长，
最上面容器最小，则压强 随时间 的增大而增长变快，用时最短．
故选：B．
9. 如图，在等腰三角形 中， ， ，以 为直径作半圆，与 ， 分别
5相交于点 ， ，则 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得 的度数，证明
，再由 ，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得 的度数，利用弧长公式
即可求解．
【详解】解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
6又 ，
∵
∴ ，
∴ 的长度为 ，
故选：C．
10. 如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象与 轴交于点 ，对称
轴是直线 ，有以下结论：① ；②若点 和点 都在抛物线上，则 ；③
（ 为任意实数）；④ ．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与 轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， .
，
7.
.故①错误；
对称轴是直线 ，点 和点 都在抛物线上，
而 ，
.故②错误；
当 时， ，
当 时，函数取最大值 ，
∴对于任意实数 有：
，
∴ ，故③正确；
，
.
当 时， ，
.
，即 ，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
8故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以
及与坐标轴的交点.
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18
分）
11. ______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可.
【详解】解： ，
故答案为：
12. 分解因式： ＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式 再利用公式法即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 若 ，则 ______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到 ，再整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
9∴ ，
为
故答案 ：7．
14. 如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ， ，将 绕点 逆时针方向旋转 得到
，则点 的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长 交y轴
于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形 是正方形，进而求出 和
的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长 交y轴于点E，
中，令 ，则 ，令 ，解得 ，
， ，
10， ，
绕点 逆时针方向旋转 得到 ，
， ， ，
四边形 是正方形．
，
，
点 的坐标为 ．
故答案为： ．
15. 如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一动点，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ，
，当 重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ，
， ，
∴当 重合时， 最小，最小值为 ，
11∵ ， ，在 中，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌
握各知识点是解题的关键．
16. 已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形 ，点 在第一象限
内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以 为边作等边三角形 （点
在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，等边三角形 ，则点 的横坐
标为______．
【答案】
【解析】
12【分析】直线直线 可知，点 坐标为 ，可得 ，由于 是等边三角形，
可得点 ，把 代入直线解析式即可求得 的横坐标，可得 ，由于 是
等边三角形，可得点 ；同理， ，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的
序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l： 与x轴负半轴交于点 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
过 ， ，作 轴交x轴于点M， 轴交 于点D，交x轴于点N，
∵ 为等边三角形，
∴
∴ ，
∴
13∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ；
而 ，
同理可得： 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图
形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第 、 、 小题各6分，共23分）
1417. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，
掌握相应的运算法则是解本题的关键.
18. 先化简 ，再从 ， ， ， 中选取一个适合的数代入求值．
【答案】 ， 时，原式 ， 时，原式 .
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合
分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：
15且
∴当 时，原式 ；
当 时，原式 .
19. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证
明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，
∵BE=BF，
∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键
在于能够熟练掌握菱形的性质．
20. 如图，一次函数 （ ， 为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）
16的图象交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积大于12，请直接写出 的取
值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函
数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后 的面积大于12，再建立不等式即可求
解．
【小问1详解】
解：∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
17把 ， 都代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
【小问2详解】
解：如图，
对于 ，当 ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积大于12，
∴ ，即 ，
当 时，则 ,
解得： ，
当 时，则 ，
解得： ；
∴ 或 ．
18【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积
等，求得交点坐标是解题的关键．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第 、 、 小题各8分，共30
分）
21. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均
每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和
不完整的统计图．
学 生 类 学生平均每天睡眠时间 （单位：小
别 时）
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示 类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角
度数为______．
（2）请补全条形统计图．
（3）被抽取调查的 类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用
画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50；
19（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识
点为：概率 所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
（1）根据 类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以 类的人数占比即可求出
类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数；
（2）根据（1）所求，求出 类的人数即可补全统计图；
（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概
率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解： （人）；
；
故答案为：50； ；
【小问2详解】
解： 类的人数为 （人），
补全条形统计图，如图，
【小问3详解】
解：画树状图如下：
20共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种．
．
22. 某小区物管中心计划采购 ， 两种花卉用于美化环境．已知购买2株 种花卉和3株 种花卉共需
要21元；购买4株 种花卉和5株 种花卉共需要37元．
（1）求 ， 两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购 ， 两种花卉共计10000株，其中采购 种花卉的株数不超过 种花卉株数
的4倍，当 ， 两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1） 种花卉的单价为3元/株， 种花卉的单价为5元/株
（2）当购进 种花卉8000株， 种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方
程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
（1）设 种花卉的单价为 元/株， 种花卉的单价为 元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组
即可求解；
（2）设采购 种花卉 株，则 种花卉 株，总费用为 元，根据题意列出不等式，得出
，进而根据题意，得到 ，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设 种花卉的单价为 元/株， 种花卉的单价为 元/株，
由题意得： ，
解得： ，
答： 种花卉的单价为3元/株， 种花卉的单价为5元/株．
【小问2详解】
21解：设采购 种花卉 株，则 种花卉 株，总费用为 元，
由题意得： ，
，
解得： ，
在 中，
，
随 的增大而减小，
当 时 的值最小，
，
此时 ．
答：当购进 种花卉8000株， 种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发
电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机 的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图
（点 ， ， ， 均在同一平面内， ）．已知斜坡 长为20米，斜坡 的坡角为 ，
在斜坡顶部 处测得风力发电机塔杆顶端 点的仰角为 ，坡底与塔杆底的距离 米，求该风力
发电机塔杆 的高度．
（结果精确到个位；参考数据： ， ， ， ）
22【答案】32m
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点 作 于点 ，作
于点 ，先求解 ， ，再证明
，再利用锐角的正切可得 ，从而可得答案.
【详解】解：过点 作 于点 ，作 于点
由题意得： ，
在 中，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
在 中.
，
23答：该风力发电机塔杆 的高度为 .
24. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方
形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线
画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据
全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.
【详解】解：如图，
五、推理论证题（9分）
25. 如图，点 在以 为直径的 上，点 在 的延长线上， ．
（1）求证： 是 的切线；
24（2）点 是半径 上的点，过点 作 的垂线与 交于点 ，与 的延长线交于点 ，若
， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理求得 ，再利用等角的余角相等求得 ，据
此即可证明 是 的切线；
（2）利用三角函数的定义求得 ，在 中，利用勾股定理求得 ，再证明
，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
，
，
，
而 是 的直径，
，
25，
，
是 的切线；
【小问2详解】
解：设 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
又 ，
，
，
设 ，
， ，
，
，则 ，
解得：
26经检验 是所列方程的解，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明
是解决本题的关键．
六、拓展探究题（10分）
26. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为 ，点
坐标为 ．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的
垂线，垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没
有最大值，请说明理由．
（3）点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 的最大值为 ， 点的坐标为
（3）点 的坐标为 或
【解析】
27【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解 ，及直线 为 ，设 ，可得 ，
再建立二次函数求解即可；
（3）如图，以 为对角线作正方形 ，可得 ， 与抛物线的另一个
交点即为 ，如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，设
，则 ，求解 ，进一步求解直线 为： ，直线
为 ，再求解函数的交点坐标即可.
【
小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为 ，点 坐
标为 ．
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
28设 ，
∴ ，
∴
；
当 时，有最大值 ；
此时 ；
【小问3详解】
解：如图，以 为对角线作正方形 ，
∴ ，
∴ 与抛物线的另一个交点即为 ，
如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，
29∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ,
∴ ，
由 可得：
∴ ，
解得： ，
30∴ ，
设 为： ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为： ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵ ， ， ，正方形 ，
∴ ，
同理可得：直线 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
31∴ ，
综上：点 的坐标为 或 .
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的
辅助线是解本题的关键.
32
