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绝密★考试结束前
2024 年宝鸡市高考模拟检测（一）
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选
考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书
写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．
1．若集合 中只有一个元素，则实数 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
2．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
4．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．已知直线 和圆 交于A，B两点，O为坐标原点，则“ ”是“ 的面
积为 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．若 的两边分别与 的两边平行，则
B．若二面角 的两个半平面 ， 分别垂直于二面角 的两个半平面 ， ，则这两个
二面角互补
C．若直线 平面 ，直线 ，则
D．到四面体 的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面有且仅有7个
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．三棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，且 ， ，则该三棱锥外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广
场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委
会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给），
两个饮水站中间设置一个用水站（志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者），共15个饮用水服务点，
分别由含甲、乙在内的15支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线与抛物线交于A，B两点，其中点A在第一象
限，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
11．已知函数 满足： ，且 ，则 的值可
能是（ ）
A．17 B．21 C．25 D．29
12．设 ， 是椭圆 与双曲线 （ ， ）的公共焦点，
P为它们的一个交点， ， 分别为 ， 的离心率，若 ，则 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．命题“任意 ， ”为假命题，则实数a的取值范围是__________．
14．设x，y满足约束条件 ，则 的最小值为__________．
15．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，且 ，则
__________．
学科网（北京）股份有限公司16．已知函数 ，若 且 ，则 的最大值为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，
给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查
了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间 ， ，……
统计）
（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有 的把握认为使用“扫地机器
人”与年龄有关？
是否使用扫地机器人
是 否
年龄
（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在 的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年蛉
在 人数X的分布列与数学期望．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（本小题满分12分）
已知四棱锥 中， ， ， ， ，M为 的中点．
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知数列 ，若 ，且 ．
（1）求证： 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前项和为 ，不等式 对任意的正整数n恒成立，
求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，点A，B分别在x轴，y轴上运动，且 ，动点P满足
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点M，N在曲线C上，O为坐标原点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，试
判断 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知 ，求证：当 时， 恒成立；
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，求证：当函数 恰有一个零点时，该零点一定不是函数 的极值点．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答
时请先涂题号．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），直线l的参数方程为
（其中t为参数， ），且直线l和曲线C交于M，N两点．
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，若 ，求直线l的普通方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知 ，若 的解集为 ．
（1）求实数m，n的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且满足 ，求 的最小值．
2024 年宝鸡市高考模拟检测（一）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B C B D C B B A B A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
学科网（北京）股份有限公司（一）必考题：共60分
17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：
是否使用扫地机器人
是 否
年龄
440 110
270 180
故而有 的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．
（2）由条件可知：X的所有取值有0，1，2，3， ，
， ，
， ，
分布列为
X 0 1 2 3
P
．
18．【详解】（1）证明：设H为 的中点，连接 ， ，
， ，
又 ， ， ，
又 ， 平面 ， ，
又 ， ， 四边形 为矩形，
且 ．
设N为 的中点，连接 ， ，则 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ．
（2）由 ， 得 ， ，
如图建系，则 ， ， ， ，
， ，
设平面的 法向量 ，
由 得：
得一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
，故二面角 的余弦值为 ．
19．【详解】（1） ， ，
又 ， 是首项为2，公比为2的等比数列．
学科网（北京）股份有限公司， ．
（2） ，且结合（1）得 ，
，
，
要使不等式 对任意正整数n恒成立，只要 ，即 ．
由题意可得 ，解得 ，只需 ，解得 ，
综上所述，实数a的取值范围是 ．
20．【详解】（1）设 ， ， ， ， ，
， ， ，
动点P的轨迹C的方程 ．
（2）依题 的斜率不为0，所以设 ， ， ，
联立 得 ， ，
得 ， ， ．
学科网（北京）股份有限公司又因为O到 的距离 ，
，
．
又因为 ， ，
代入韦达定理得 ，化简得 ，
综上， 的面积是定值，且该定值为 ．
21．【详解】（1） 时， ， ．
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
即 的递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）因为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递减，且 ， ，
即存在唯一 ，使 ，
且 ，
又因为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 时， 恒成立．即 ．
（3）由（2）知函数 的零点就是函数 的零点，
当 有唯一零点时，设为 ，则 ，
又 ，即该函数的极值点为 ，
代入 得 ，化简得 ，此方程无解，所以原命题成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答
时请先涂题号．
22．【详解】（1）由 ，将两个方程左右两边平方后相加，
可得曲线C的直角坐标方程为 ．
由 得直线l经过的定点P的坐标为 ．
（2）将 ， 代入 ，得 ，
即 ，设其两根为 ， ，
则 ，
得 ，即 ，得 ，经检验 ，
故直线l的普通方程为： ．
23．【详解】（1）因为 的解集为 ，所以 ，得 ，
当 时， ，得 ，
当 时， 得 ，
学科网（北京）股份有限公司综上解得 ， ， ， ．
（2）由（1）得 ， ，
，
又a，b，c均为正数， ，
所以 得 ，
所以 ，
当 且 时，即 ， 取得最小值 ．
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