文档内容
渭南市 2024 届高三教学质量检测（Ⅰ）
数学试题（理科）
命题人：王建龙 韩黎波 蔡雯伟
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上．
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在正三棱柱 中， ， 是 的中点，则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
4．数学探究课上，某同学用抛物线 和 构造了一个类似“米”字型的图
案，如图所示．若抛物线 ， 的焦点分别为 ， ，点 在抛物线 上，过点 作 轴的平行线交抛
物线 于点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
学科网（北京）股份有限公司5．执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则 （
）
A． B． C． D．
7．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（
）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
8．已知圆 的方程为 ，直线 过点 且与圆 交于M，N两点，当 最小时，
（ ）
A． B．4 C． D．8
9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面 为梯形， ，侧棱长 ．当侧面
ABCD水平放置时，液面与棱 的交点恰为 的中点．当底面 水平放置时，液面高为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．3 B．4 C．5 D．6
10．我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距
离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 ， ， 为坐标原点，余弦相似度
为向量 ， 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为 ．已知 ，
， ，若P，Q的余弦距离为 ， ，则Q，R的余弦距离为
（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为
双曲线右支上一点，连接 交 轴于点 ．若 为等边三角形，则双
曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在区间 上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点； ② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ； ④ 在区间 上单调递增．
其中正期结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
学科网（北京）股份有限公司二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已如一组数据 ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 ，若 ，
则 _______．
14．在 中， ， ， ，则 的面积为_______．
15．已知函数 满足 ， ， ，则满足条件的函数可以是 _______．
16．已知函数 ，方程 有7个不同的实数解，则实数 的取
值范围是________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）已知等差数列 满足： ， ，其前 项和为 ．
（Ⅰ）求 及 ；
（Ⅱ）若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD中， ， ，将 沿
着AC折到 的位置，使 ．
（Ⅰ）求证：平面 平面ABC；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值．
19．（本小题满分12分）乒乓球被称为中国的“国球”，我国乒乓健儿屡次在国际体育赛事中为国争光．某
校掀起了乒乓球运动热潮。组织乒乓球运动会．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制．每局
为11分制．每赢一球得1分，先得11分者获胜，本局比赛结束．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）已知某局比赛中双方比分为 ，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的
概率为0.4，乙发球时乙得分的概率为0.5，各球得分的结果相互独立，求该局比赛甲以 获胜的概率；
（Ⅱ）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 局后比赛结束，求 的分布列与数学期望．
20．（本小题满分12分）已知函数 ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 ，求证： ．
21．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，过点 作斜率为 的直线 交椭圆于A，B两点，直
线 ， 分别交椭圆 于M，N两点，设直线MN的斜率为 ．求证： 为定值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设 为 上一点，过 作曲线 的两条切线，切点分别为A，B，若 ，求点 横坐标的取
值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ， ．
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）对任意 ，关于 的不等式 总有解，求实数 的取值范围．
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