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南昌大学附属学校 2024-2025 学年度高一上学期第一次月考
数学试卷
时间：120分钟 总分：150分 命题人：龚仁荣 审题人：衷志俊
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题使用2B铅笔填涂；非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹
清晰.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的.
1. 已知命题p： ， ，命题q： ， ，则（ ）
A. ： ， B. ： ，
C. ： ， D. ： ，
【答案】B
【解析】
【分析】由含有一个量词的命题的否定求解.
【详解】命题p： ， ，则 ： ， ，A错误B正确；
命题q： ， ，则 ： ， ，CD错误.
故选：B.
2. 已知数集 满足： ， ，若 ，则一定有：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集、并集的概念及运算结合元素与集合的关系判定选项即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，且 ，
所以必有 ，可能 且 ，也可能 且 ，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
3. 已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
的
【分析】先求出命题 和命题 ，再利用充分条件与必要条件 判断方法，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
由 ，得到 ，所以 ，
若 成立，则 成立，充分性成立；
若 成立，则 不一定成立，必要性不成立
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
4. 如图，已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合 或 ，
而 ，则 或 ，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为 .
故选：C.
5. 已知实数满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式的性质可得.
【详解】由 ，得 ，又 ，
则 ，又由 得 ，
故 .
故选：B.
6. 某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系
式为 .请问：当月处理量为（ ）吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？
A. 100吨 B. 150吨 C. 200吨 D. 250吨，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】依题意，每吨的平均处理成本 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
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学科网（北京）股份有限公司所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最低.
故选：A
7. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，最
终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑河有“123黑洞”、
“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个
数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合
，则 的子集个数为（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】由自恋数定义可得集合 的一个子集，解不等式可得集合 ，求得 中的元素个数即可得出
其子集个数.
【详解】根据自恋数定义可知，所有一位正整数都是自恋数，即 ；
解不等式 可得 ，即 ；
所以 ，即 中共有5个元素，
因此 的子集个数为 个.
故选：C
8. 已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】运用基本不等式，通过已知条件进行变形，构造基本不等式求最值即可.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，则 ，
由于 ，当且仅当 ， 时取等号.
则 ，当且仅当 时取等号，
则 的最小值为3.
故选：B.
二、多项选择题：共3小题，每小题6题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组中 表示不同集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中， 是数集， 是点集，二者不是同一集合,故 ；
选项B中， 与 表示不同的点，故 ；
选项C中， ， ，故 ；
选项D中， 是二次函数 的所有 组成的集合，而集合 是二次函数
图象上所有点组成的集合，故 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.
10. 设正实数m，n满足 ，则（ ）
A. 的最小值为3 B. 的最大值为2
C. 的最大值为1 D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.
【详解】因为正实数m，n满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， ，等号成立，故A错误；
，当且仅当 时，等号成立，所以
，故B正确；
，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
，当且仅当 时，等号成立，故D错误；
故选：BC
11. 为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后
用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，
则V的可能取值为（ ）．
A. 4 B. 40 C. 8 D. 28
【答案】CD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 列式，
解不等式可得结果.
【详解】第一次稀释后，药液浓度为 ，
第二次稀释后，药液浓度为 ，
依题意有 ，即 ，解得 ，
又 ，即 ，所以 .
故选：CD.
三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合相等的定义求解即可．
【详解】由题意得， ，解得 或 ，
当 时，集合为 ，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当 时，集合为 ，满足题意，
故答案为： ．
13. 已知 ，则 的最大值为___________.
【答案】 ##
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用基本不等式计算即可.
2
1 1 [2x+(1−2x)] 1
【详解】由 知1−2x>0,x(1−2x)= ×2x⋅(1−2x)≤ × = ，
2 2 2 8
当且仅当 ，即 时取得等号，
1
即 的最大值为 ，
8
故答案为：
14. 设全集 ，集合 ， ，若集合
中有且仅有 个整数，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 或 或
【解析】
【分析】根据条件，求得 或 ，再利用数轴，结合条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
得到 或 ，因为 中有且仅有 个整数，
如图，由图知， 或 或 ，
解得 或 或 ，
故答案为： 或 或 .
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 设全集 ， ， .
（1）求 ；
（2）写出集合 所有的真子集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出全集 和集合 ，再利用补集和交集的运算求出 .
（2）根据子集的定义可写出集合 所有的真子集.
【小问1详解】
（1）由题意可得 ，
由 ，则 ，
，则 ，
所以 .
【小问2详解】
由 ，
则集合 所有的真子集为： .
16. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 和 ；
（2）是否存在实数a，使得 ，若存在，求实数a的取值范围，否则，说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）把 代入，利用集合的并集、交集的定义求解即得.
（2）假定存在，再结合集合的包含关系，列式求解即得.
【小问1详解】
当 时， ，而 ，
.
所以 ，
【小问2详解】
假定存在实数a，使得 ，即 ，而 ，
因此 ，即 ，无解，
所以不存在实数a，使得 成立.
17. 已知 恒成立， .如果 中有且仅有一个为真命题，
的
求实数 取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出命题 和命题 为真命题时 的取值范围，再根据题意即可得出.
【详解】若 为真命题，当 时，可得 恒成立，满足题意；
当 时，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 为真命题，实数 的取值范围是 .
若 为真命题，则有 ，解得 ，
当 为真命题，实数 的取值范围是 .
中有且仅有一个为真命题，
当 为真命题， 为假命题时，实数 的取值范围是 ;
当 为假命题， 为真命题时，实数 的取值范围是 .
综上，当 中有且仅有一个为真命题时，实数 的取值范围是 .
18. （1）已知关于x的不等式 的解集为 ，求不等式
的解集；
（2）若 ，解关于x的不等式 .
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用 的解集为 ，得出 的关系，再解关于 的不等式
；
（2）由 ，然后分 ， ， ， 进行分类
讨论即可.
【详解】（1） 的解集为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，且 ， ，
， ， ，
，解得 或
解集为 ；
（2）由 ，且 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
综上知，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
19. 设集合 ， .
（1）若 ，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的取值范围；
（3）若全集 ， ，求实数a的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，得 ，由此可得关于 的方程求解并验证即可得；
（2）由 得 ，按集合 中元素的个数分类讨论即可求；
（3）由 得 ，转化为 均不是方程 的根，解不等
式可得.
【小问1详解】
， .
， ，则 ，
即 ，解得 或 .
验证：当 时， ，
则 ，满足题意；
当 时， ，
则 ，不满足题意.
综上可知，若 ，则 .
【小问2详解】
若 ，则 ，又 ，
的
①当 时，则关于 方程 没有实数根，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
故当 时， 满足题意；
②当 ，即 时，
若集合 中只有一个元素，则 ，
即当 时， ， ，满足题意；
若集合 中有两个元素，则 ，
即当 时，要使 ，则 ，
所以 和 是方程 的两根，
则由韦达定理得 ，解得 ，满足条件 .
综上所述， 或 .
所以，若 ，则实数a的取值范围为 .
【小问3详解】
若全集 ， ，则 ，即 .
， .
故 ，且 ，
则 ，且 ，
解得 且 且 .
若 ，则实数a的取值范围为 .
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