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精讲精练-资料 7
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2025.03.08
粉笔公考·官方微信
更多资料公众号：考公小镇精讲精练-资料 7（笔记）
第八节特殊增长率
间隔增长率（常考，简单、套路）
年均增长率（常考比较，计算几乎不考）
混合增长率（必考重点，技巧性强）
【注意】特殊增长率：
1.间隔增长率（常考，简单、套路）。
2.年均增长率（常考比较，计算几乎不考，感觉挺难，但其实简单）。
3.混合增长率（必考重点，技巧性强）。
一、间隔增长率
识别：2020年比 2018年增长+%（隔一年，求增长率）
已知：2020年收入同比增长率为 r，2019 年同比增长率为r
1 2
求：2020年与 2018年相比的增长率是多少？
现期=基期*（1+r）
2020年=2019年*（1+r）=2018年*（1+r）*（1+r）
1 2 1
r=（现期- 基期）基期=（2020年-2018 年）/2018年
r =r+r+r*r
间隔 1 2 1 2
r：今年的增长率
1
r：去年的增长率
2
【注意】间隔增长率
1.识别：2020 年比2018年增长+%（隔一年，求增长率）。
2.已知：2020 年收入同比增长率为 r，2019 年同比增长率为 r 。求：2020
1 2
年与2018年相比的增长率是多少？
1
更多资料公众号：考公小镇（1）求增长率，r=（现期- 基期）基期=（2020年-2018年）/2018 年，材
料不会直接给出2018 年数据，考虑用“现期=基期*（1+r）”将 r、r 联系起来，
1 2
2020年=2019年*（1+r）=2018年*（1+r）*（1+r），代回原始公式，[2018年
1 2 1
*（1+r1）*（1+r2）-1]/2018年=1+r+r+r *r-1=r+r+r*r。
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）r：今年（2020年）的增长率；r ：去年（2019年）的增长率。
1 2
3.通过“笑脸”图形象记忆，已知 2020 年比 2019 年的增长率 r、2019 年
1
比 2018 年的增长率 r ，可以求出 2020 年比 2018 年的增长率 r ，记忆为“和+
2 间
积”。
速算技巧：r=r +r+r*r
1 2 1 2
1.先计算r+r ，结合选项
1 2
【练习1】8.5%+36%+8.5%*36%≈（ ）
A.47.6% B.40.4%
C.34.5% D.27.6%
2.若r、r 的绝对值均小于 10%（r*r＜1%），结合选项乘积可忽略
1 2 1 2
【练习2】5.6%+6.3%+5.6%*6.3%≈（ ）
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
3.结合选项不能排除：挑一个百化分
【练习3】11.9%+25.1%+11.9%*25.1%≈（ ）
A.38.8% B.39.9%
C.37.7% D.36.6%
【注意】速算技巧：r=r+r+r*r。
1 2 1 2
1.先计算r+r ，结合选项。
1 2
例：8.5%+36%+8.5%*36%≈（ ）。
A.47.6% B.40.4%
C.34.5% D.27.6%
答：8.5%+36%=44.5%，8.5%*36%为正数，答案比44.5%大，对应 A项。
2.若r、r 的绝对值均小于 10%（r*r＜1%），结合选项乘积可忽略。
1 2 1 2
2
更多资料公众号：考公小镇例：5.6%+6.3%+5.6%*6.3%≈（ ）。
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
答：5.6%+6.3%=11.9%，5.6%*6.3%为正数，答案比11.9%大，锁定 A、C项。
5.6%*6.3%＜10%*10%=1%，对结果的影响很小，一般可以忽略，所求=11.9%+1-%，
对应A项。
3.结合选项不能排除：挑一个百化分。比如 63%*14.3%≈63%*（1/7）=9%。
例：11.9%+25.1%+11.9%*25.1%≈（ ）。
A.38.8% B.39.9%
C.37.7% D.36.6%
答：11.6%+25.4%=37%，11.9%*25.1%为正数，答案比 37%大，但选项均满足。
11.9%*25.1%≈12%*（1/4）=3%，所求=37%+3%=40%，对应B项。
一、间隔增长率
识别：中间隔一年，求增长率
公式：r=r+r+r *r（和+积）
1 2 1 2
计算：①先算加法，结合选项排除
②再算乘法：若 r、r 均小于10%，则乘积小于1%，一般可忽略
1 2
有超过10%，可百化分快速计算
【注意】间隔增长率：
1.识别：中间隔一年（比如 2020年比2018 年，2016年比2014 年，如果隔
好几年的数据，则不是间隔增长率的知识点，而是年均增长率相关问题），求增
长率。
2.公式：r=r+r +r*r（和+积）。
1 2 1 2
3.计算：
（1）先算加法，结合选项排除。
（2）再算乘法：
①若r、r 均小于 10%，则乘积小于 1%，一般可忽略。
1 2
②有超过10%，可以将其中一个化为 1/n 的形式计算。
3
更多资料公众号：考公小镇【例1】（2024 四川）2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超
3.5万家，累计完成软件业务收入 108126亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同
期回落6.5个百分点。
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业累计完成软件业务收入
约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
【解析】1.增长+%，2022 年与 2020年间隔一年，求增长率，间隔增长率问
题，公式：r=r+r+r *r。主体为“国软件和信息技术服务业规模以上企业累计
1 2 1 2
完成软件业务收入”，已知“累计完成软件业务收入108126亿元，同比增长11.2%，
增速较上年同期回落 6.5 个百分点”，给出增长率和百分点，则 r=11.2%，高减
1
低加，r=11.2%+6.5%=17.7%。代入数据，所求=11.2%+17.7%+11.2%*17.7%＞28.9%，
2
增长率均大于 10%，不能忽略，11.2%*17.7%＞1%，所求=28.9%+1+%＞30%，对应
D项。【选D】
【注意】如果计算：11.2%*17.7%≈1/9*18%=2%，所求=28.9%+2%=30.9%，对
应D项。
【例 2】（2024 联考）2022 年，全国共有 260 家银行机构和 29 家理财公司
累计新发理财产品 2.94 万只，同比下降 38.23%，降幅比上年同期扩大 7.22 个
百分点；累计募集资金 89.62万亿元，同比减少 32.57万亿元。
2022 年全国银行机构和理财公司累计新发理财产品只数与 2020 年相比约：
A.下降45% B.下降 57%
C.下降66% D.下降 69%
【解析】2.下降+%，求增长率，2022年与 2020 年隔一年，间隔增长率问题，
公式：r间=r+r+r *r。主体为“全国银行机构和理财公司累计新发理财产品只
1 2 1 2
数”，已知“2022 年，全国共有 260 家银行机构和 29 家理财公司累计新发理财
产品2.94万只，同比下降 38.23%，降幅比上年同期扩大 7.22个百分点”，给出
4
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇增长率和百分点，r =-38.23%，高减低加，r =-（38.23%-7.22%）≈-31%，代入数
1 2
据，所求=-38.23%-31%+38.23%*31%，|r|均大于 10%，不能忽略，所求≈-69%+38%*
（1/3）≈-69%+12%=57%，对应B项。【选B】
【注意】降幅的变化分析：先对降幅的高减低加，求增长率补上负号。比如
老邓亏了5万，亏损比去年扩大了 2万，则去年亏算了 3万。高减低加，去年亏
损=5-2=3万，利润=-3万。
题型延伸①：间隔倍数
特征：隔一年，求倍数
2020年工资同比增长了 25%，2019年同比增长了 20%
则2020年工资是 2018年的多少倍？
两步走：
①先求出间隔增长率
②间隔倍数=间隔增长率+1
【注意】间隔倍数：
1.特征：隔一年，求倍数。比如今年比去年的增长率为 35%，则今年是去年
的1.35倍（倍数=r+1）。
2.两步走：
（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔倍数=间隔增长率+1。
3.例：2020 年工资同比增长了 25%，2019 年同比增长了 20%，则 2020 年工
资是2018年的多少倍？
答：问 2020 年是 2018 年的多少倍，先求间隔增长率，再“+1”，r=25%、
1
r=20%，r =25%+20%+25%*20%=45%+25%*（1/5）=45%+5%=50%，间隔增长率 50%，
2 间
则间隔倍数为1.5倍。
题型延伸②：间隔基期量
特征：隔一年，求基期
5
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇2020年工资额是 400元，同比增长了10%，2019年同比增长了 20%
则2018年的工资是多少元？
两步走：
①先求出间隔增长率
②间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）
【注意】间隔基期量：
1.特征：隔一年，求基期。
2.计算方法：两步走。
（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）。
3.例：2020 年工资额是 400 元，同比增长了 10%，2019 年同比增长了 20%，
则2018年的工资是多少元？
（1）常规思路：2020年/（1+10%）=400/（1+10%）=2019年，2019年/（1+20%）
=2018年。
（2）先算出间隔增长率，基期=现期/（1+间隔增长率）。r
间
=10%+20%+10%*20%=32%，所求=400/（1+32%）=400/1.32≈300。
【例3】（2024 联考）2023 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超
3.8万家，累计完成软件业务收入 123258亿元，同比增长 13.4%，较上年同期增
长2.2个百分点。
2021年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业的软件业务收入约为：
A.不到9万亿元 B.9 万亿～10万亿元
C.10万亿～11 万亿元 D.11 万亿元以上
【解析】3.间隔一年求基期，先求间隔增长率。主体为“全国软件和信息技
术服务业规模以上企业的软件业务收入”，已知“同比增长13.4%，较上年同期增
长2.2个百分点”，给出增长率、百分点，r =13.4%，高减低加，则 r=13.4%-2.
1 2
2%=11.2%，r =r+r +r*r=13.4%+11.2%+13.4%*11.2%=24.6%+1+%≈26%，间隔基
间 1 2 1 2
期=现期/（1+间隔增长率）≈12.3 万亿/（1+26%）=12.3/1.26=10-，对应 B 项。
【选B】
6
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇题型延伸③：间隔增长率逆向公式
常规情况：给 r 和r，求r
1 2 间隔
逆向考查：给 r 和r ，求 r
1 间隔 2
r =r+r+r*r
间隔 1 2 1 2
r=（r -r）/（1+r）
2 间 1 1
【引例】已知2021 年比2020 年增长15%，2021比2019年增长30%，求 2020
比2019年增长大约多少？
A.-16% B.-13%
C.13% D.16%
【注意】题型延伸③：间隔增长率逆向公式。
1.常规情况：给 r 和r，求 r 。
1 2 间隔
2.逆向考查：给 r 和r ，求r。三个量知道其中两个，一定能求出第三个
1 间隔 2
量。
3.公式推导：r =r+r+r*r →r -r=r *（1+r）→r=（r -r）/（1+r ）。
间隔 1 2 1 2 间 1 2 1 2 间 1 1
4.引例：已知2021 年比2020 年增长15%，2021比2019年增长30%，求 2020
比2019年增长大约多少？
A.-16% B.-13%
C.13% D.16%
答：给r 、r，求 r，代入数据，所求=（30%-15%）/（1+15%）=15%/（1+）
间 1 2
＜15%，对应C项。
【例 4】（2023 国考）2021 年，全国纺织品服装出口 3155 亿美元，同比增
长 8.4%。其中，纺织品出口 1452.2 亿美元，同比下降 5.6%，较 2019 年增长
22.0%；服装出口 1702.8 亿美元，同比增长 24.0%，较 2019 年增长 16.0%。其
中，针织服装及衣着附件出口 864.8 亿美元，同比增长 39.0%；梭织服装及衣着
附件出口701.2亿美元，同比增长 12.6%。
2020年，全国服装出口额比 2019年：
A.增长了10%以上 B.下降了 10%以上
7
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇C.增长了不到 10% D.下降了不到 10%
【解析】4.增长/下降+%，求增长率。主体为“服装出口1702.8 亿美元，同
比增长 24.0%，较 2019 年增长 16.0%”，已知 2021 年的同比增速 r 、2021 年比
1
2018年的增长率r ，求2020年比 2019年的增长率 r，代入公式：r=（r -r）
间 2 2 间 1
/（1+r）=（16%-24%）/（1+24%）=-8%/（1+），负数代表下降，排除 A、C 项，
1
数据小于8%，对应 D项。【选D】
【例 5】（2023 深圳）2021 年 1～2 月，全国房地产开发投资 13986 亿元，
同比增长 3873 亿元；房屋施工面积 770629 万平方米，同比增长 11.0%。其中，
住宅 542503 万平方米，增长 11.2%；办公楼 31802 万平方米，增长 7.3%；商业
营业用房76346万平方米，增长 2.5%；其他类型 119978万平方米。房屋新开工
面积 17037 万平方米，增长 64.3%，其中，住宅 12736 万平方米，增长 68.5%。
商品房销售面积 17363 万平方米，同比增长 1.05 倍，比 2019 年 1～2 月增长
23.3%；商品房销售额19151亿元，同比增长1.33倍，比2019年同期增长49.6%。
2020年1～2月，全国商品房销售面积同比增长：
A.-40.0% B.-32.5%
C.40.0% D.17.2%
【解析】5.求 2020 年 1～2 月的同比增长率，主体为“全国商品房销售面
积”，已知“商品房销售面积 17363 万平方米，同比增长 1.05倍，比 2019年1～
2 月增长 23.3%”，“增长 1.05 倍”即 r=1.05，说明增长率为 105%，材料给出 r
、r，求r，代入公式：r=（r -r）/（1+r ）=（23%-105%）/（1+105%）=-82%/
间 1 2 2 间 1 1
（2+）≈-40%，对应 A项。【选A】
【注意】概念辨析：增长 1.05倍的意思就是 r=1.05（105%）。
1.有同学认为增长率为 1.05-1=0.05=5%，可以结合例子理解，老邓今年收入
为 10 万，同比增长 0.5 倍，如果按照上述逻辑，增长率=0.5-1=-0.5=-50%，即
收入下降50%，明显不合理。
2.问题是只看到了“1.05倍”，没有看到前面的“增长”。如果表述为“今年
是去年的1.05倍”，则 r=1.05-1=5%；本题的表述为“今年比去年增长 1.05倍”，
8
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇则增长率为105%。
2021 年 1～7 月，我国原油产量 11561 万吨，同比增长 2.4%，比 2019 年同
期增长 3.9%。其中，7 月我国原油产量 1686 万吨，增长 2.5%，比 2019 年同期
增长3.1%。
【练习】（2022 江苏）2020年1～7月，我国原油产量的同比增速是：
A.1.46% B.1.90%
C.2.36% D.3.15%
【解析】拓展.课堂正确率为92%。求增长率，主体为“我国原油产量”，已
知“2021 年 1～7 月，我国原油产量 11561 万吨，同比增长 2.4%，比 2019 年同
期增长3.9%”，直接给出 r 、r，求 r，代入公式：r=（r -r）/（1+r ）=（3.9%-
间 1 2 2 间 1 1
2.4%）/（1+3.9%）=1.5%/（1+）＜1.5%，对应 A项。【选A】
二、年均增长率
例：2015年存款 100万，每年利率都是 10%（复利），18年有多少钱？
年均增长率——比较大小
识别：年均增长最快、年均增速排序
公式：（1+r ）n=现期量/基期量（n 为现期和基期的年份差）
年均
技巧：n相同，直接比较“现期/基期”
注：n的确定和年均增长量一样
【注意】年均增长率：每年增速都相同。
1.例：2015年存款 100万，每年利率都是 10%（复利），2018年有多少钱？
（1）假如存100 万，如果单利是5%，则存 1年是5万，2年是 10万，10年
是50万。
9
更更多多资资料料公公众众号号：：考考公公小小镇镇（2）如果复利是 10%，相当于“利滚利”，2015 年=100 万，2016 年=100*
（1+10%），2017年=100*（1+10%）*（1+10%）=100*（1+10%）²，2018 年=100*
（1+10%）³，得到年均增长率公式：基期*（1+r ）³=现期→（1+r ）n=现期
年均 年均
量/基期量。
2.年均增长率——比较大小：
（1）识别：年均增长最快、年均增速排序。
（2）公式：（1+r ）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。
年均
（3）技巧：n 相同，直接比较“现期/基期”。
（4）注：n的确定和年均增长量相同。
3.例：小邓 2016 年有 100 万，2024 年有 800 万；小邓 2016 年有 1000 亿，
小马2024年有3000 亿，问谁的年均增长率大。
答：增长率比较，看“现期/基期”，都是 2016～2024 年，年份差 n 相同，
都有“1+”，则不需要考虑，只看“现期/基期”即可。小邓：800 万/100 万=8
倍，小马：3000亿/1000亿=3倍，故小邓年均增长率更大。
【例1】（2023 联考）
根据资料，判断“2012～2021 年表中的 8 个省份中福建的海水冷却用水量
年平均增速最快”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】1.比较“年均平均增速”，年均增长率的比较。2012～2021年，年
份差相同，材料给出现期、基期，直接比较“现期/基期=2021 年/2012 年”。福
10
更多资料公众号：考公小镇建：260+/（60+）=4+；其他年份都是1倍多、2倍多，说法正确，对应 A项。【选
A】
【例2】（2024 联考）
根据资料，判断“2019～2022 年，中国储能锂电池出货量年均增速为 3 类
锂电池中最快”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】2.问“年均增速最快”，年均增长率的比较。2019～2022 年，年份
差 n 相同，给出现期、基期，直接比较“现期/基期=2022 年/2019 年”（不要看
斜率，要看数据之间的倍数关系）。储能：130/9.5=10+，数码：48/36.5=1+，动
力：480/71=6+，储能最大，说法正确，对应 A项。【选A】
【例3】（2022 北京）
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更多资料公众号：考公小镇将①金属耐磨材料、②陶瓷耐磨材料和③树脂耐磨材料按 2014～2020 年消
费量年均增速（以 2014年为基础）从高到低排列，以下正确的是：
A.①②③ B.③②①
C.②③① D.①③②
【解析】3.比较年均增速。给出现期、基期，年份差 n相同，直接比较“现
期/基期=2020年/2014 年”。①：416/359=1+，②：24/30=0.8，③：48/50=0.9+，
①最大，②最小，对应 D项。【选D】
【注意】现期/基期＜1，增长率为负数，但“现期/基期越大，增长率越大”
是恒成立的，比如基期为 100，现期为 90，则倍数为 90/100=0.9 倍，r=-10%；
现期为80，倍数为 80/100=0.8倍，r=-20%，0.9＞0.8，-10%＞-20%，满足“现
期/基期越大，增长率越大”。
年均增长率计算（考得非常少）
识别：年均增长率为……
公式：（1+r ）n=现期量/基期量（n 为现期和基期的年份差）
年均
方法：居中代入
【注意】年均增长率计算（国考从来没有考查过，广东省考和深圳市考基本
每年考查1题）：
1.识别：年均增长率为……。
2.公式：（1+r ）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。
年均
12
更多资料公众号：考公小镇3.方法：居中代入。
【拓展】根据资料，下列关于我国 2000～2017年相关信息说法正确的是：
B.2014年至2017 年人工智能领域专利授权量年均增速为 120%
【解析】拓展.综合分析，问正确的，只看 B项即可。
B项：“2014年至 2017年”的年份差为 3，求年均增长率，（1+r ）n=现期
年均
量/基期量，代入数据，左边为（1+120%）³＞2³=8，右边为 17477/3753≈5，左
右两边不相等，说法错误。【不选】
【例4】（2024 广东）
2019～2021 年，全国县域农业农村信息化建设县均社会资本投入的年均增
13
更多资料公众号：考公小镇长率约为：
A.10% B.21%
C.32% D.43%
【解析】4.求年均增长率，公式：（1+r ）n=现期量/基期量。问题时间为
年均
“2019～2021 年”，现期为 2021 年，基期为 2019 年，年份差为 2。右边=现期/
基期=3588/2050，截两位看作 3588/21，首位商 1，次位商7，结果为 1.7+；居住
代入30%，左边=（1+30%）²=1.69，代入的 30%略小一点，实际年均增长率比 30%
略大一点点，对应 C项。【选C】
【注意】D项：1.4²=1.96＞1.7，排除 D项。
三、混合增长率
三、混合增长率
题型识别：
①求增长率，无法直接计算
②主体之间有和差关系
例：已知前三季度增长率，四季度增长率，求全年增长率。
例如：
①固定搭配：进口+出口=进出口、城镇+农村=全国、邮政+电信=邮电
②时间累计型：1至11月+12月=全年、一季度+二季度=上半年
③逻辑型：A+非A=全部（实物+非实物=所有商品）
判断口诀：
（1）混合后总体居中（最小 r＜总体 r＜最大r）
补例 1：2019 年进口增长了 10%，出口增长了 20%，则进出口可能增长了
多少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
补例 2：2019 年进出口增长了 10%，出口增长了 20%，则进口可能增长了
多少？
14
更多资料公众号：考公小镇A.8% B.12%
C.14% D.21%
【注意】混合增长率：
1.题型识别：
（1）求增长率，没有数据，无法直接计算。
（2）求的主体和材料之间有和差关系。
（3）例：已知前三季度增长率、四季度增长率，求全年增长率？材料中
没有全年，前三季度+第四季度=全年（是量有加和关系，不是率）。
2.和差关系：
（1）固定搭配：进口+出口=进出口、邮政+电信=邮电。出现邮电方面和
进出口方面的材料可以想到考查混合增长率。
（2）时间累计型：1至11月+12月=全年、一季度+二季度=上半年。
（3）逻辑型：A+非A=全部。比如男生+女生=总人数；实物+非实物=全部。
3.判断口诀：混合后总体居中（最小 r＜总体r＜最大r）。
（1）如男生人均身高 190cm、女生人均身高 170cm，男生、女生混合后，
身高不可能是360cm，人均身高在 170～190cm之间，增长率混合同理，混合之
后总体居中，最小 r＜总体r＜最大r。
（2）补例1：2019年进口增长了10%，出口增长了 20%，则进出口可能增
长了多少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
答：进口+出口=进出口，混合后总体居中，则 10%＜r ＜20%，只有 C项
进出口
符合。
（3）补例2：2019年进出口增长了10%，出口增长了 20%，则进口可能增
长了多少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
答：进口+出口=进出口，r 居中，r ＜r （10%）＜r （20%），
进出口 进口 进出口 出口
只有A项符合。
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更多资料公众号：考公小镇【例 1】（2023 山东）2021 年，中国跨境电商交易规模达 14.2 万亿元，占
我国货物进出口总额的比例为 36.3%。其中出口跨境电商交易规模 11 万亿元，
同比增速 13.4%；进口跨境电商交易规模 3.2 万亿元，同比增速 14.3%。2017—
2022年第一季度，中国跨境电商领域共发生 262次投资，投资总金额 654.91亿
元。
2021年，我国跨境电商交易规模同比增长：
A.12.8% B.13.4%
C.13.6% D.14.3%
【解析】1.求我国跨境电商交易规模的增长率，本题模仿国考，国考说的是
“跨境进出口”，本题没写全，“跨境”即和境外做买卖，就是进出口的情况，材
料中分为进口和出口，进出口=进口+出口，混合后总体居中，则r 介于13.4%～
进出口
14.3%之间，只有C 项符合。【选C】
【注意】选项设计：B项为出口、D项为进口，C项刚好居中。
【例2】（2022江苏）2020年江苏省全省网上零售额10602亿元，增长10.0%。
其中，实物商品网上零售额增长 13.9%，增速比上年快 5.2个百分点，占社会消
费品零售总额37086 亿元的比重为24.9%，提高 2.7个百分点。
根据资料，判断“2020年江苏非实物商品网上零售额增速高于 13.9%”这一
说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】2.出现非实物，求增速，非实物+实物=总体，考虑混合增长率。混
合后总体居中，r =10%，r =13.9%，则r ＜10%＜13.9%，说法错误，对应
全省 实物 非实物
B项。【选B】
【注意】多年没有考查过 3者混合，之前江苏考查过，可以先两者混合，得
到范围后再和另一个混合，方法是一样的。
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更多资料公众号：考公小镇【例3】（2025 四川）2022 年上半年，我国软件与信息技术服务业总收入同
比增长 10.9%，增速较 1—5 月份提高 0.3 个百分点。软件与信息技术服务业收
入中，软件产品收入、信息技术服务收入、信息安全收入、嵌入式系统软件收入
同比分别增长10.2%、12%、11.4%和5%。信息技术服务收入中，云计算、大数据
服务收入 4790 亿元，同比增长 9.3%；集成电路设计收入 1279 亿元，同比增长
15.2%。
根据资料，判断“2022 年 6 月，我国软件与信息技术服务业总收入增速超
过10%”这一说法是否正确。
A.正确 B.错误
【解析】3.求 6 月的增速，给出 1～6 月和 1～5 月，上半年=6 月+1～5 月，
考虑混合增长率，混合之后整体居中，上半年增速 10.9%，1～5 月增速=10.9%-
0.3%=10.6%，1～5 月增速 10.6%＜上半年增速 10.9%＜6 月增速，正确，对应 A
项。【选A】
【例4】（2023 广东）2022 年，全国居民人均可支配收入 36883 元，比上年
增长（以下如无特别说明，均为同比名义增长）5.0%。分城乡看，城镇居民人均
可支配收入49283元，增长3.9%；农村居民人均可支配收入20133元，增长6.3%。
2022 年，全国居民人均消费支出 24538 元，比上年增长 1.8%。分城乡看，
城镇居民人均消费支出 30391元，增长 0.3%；农村居民人均消费支出 16632元，
增长4.5%。
2022年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：收支盈余=收入-消费支出）
A.增加了约5% B.减少了约 5%
C.增加了约12% D.减少了约 12%
【解析】4.比如一个月收入10000，支出8000还房贷，盈余10000-8000=2000，
收支盈余=收入-消费支出→收入=消费支出+收支盈余，存在加和关系，求增长率，
为混合增长率问题。混合后总体居中，r （1.8%）＜r （5%）＜r ，仅 C项
支出 收入 盈余
符合。【选C】
【注意】偏向量大的，支出的量为 24538，盈余的量为36883-24538≈12000，
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更多资料公众号：考公小镇支出量大，总体的增长率偏向支出增长率 1.8%，即左边距离小于右边距离，5%-
1.8%=3.2%，则右边距离大于 3.2%，所求＞5%+3.2%=8.2%，不能选择 5%。
②偏向基数较大的（材料无基期，做题时用现期近似代替基期）
例：100gA溶液浓度 5%，100gB溶液浓度 10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
例：100gA溶液浓度 5%，400gB溶液浓度 10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
例：出口400万同比增速 5%，进口 100 万同比增速10%，混合之后增速约？
A.6% B.7.5%
C.9%
【注意】偏向基数较大的：
1.例：男生人均身高 190cm、女生人均身高 170cm，如果男生人数=女生人数，
全班人均身高=180cm。如果男生人数＞女生人数，则全班人均身高在 180～190cm
之间；如果男生人数＜女生人数，则全班人均身高在 170～180cm 之间。线段法
可以看成一个天平或者拔河，如果左右两边势均力敌，则会在中间维持平衡，如
果右边量多，则向右边倾斜，靠近右边，如果左边量多，则向左边倾斜。
2.增长率=增长量/基期，增长率的量是基期量，但是题目一般都给现期量，
看偏向用现期近似代替基期，偏向现期量大的。
3.例1：100gA 溶液浓度5%，100gB溶液浓度 10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：等量混合，混合后浓度正好在中点，（5%+10%）/2=7.5%，选择 B项。
4.例2：100gA 溶液浓度5%，400gB溶液浓度 10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：B溶液更多，偏向10%，在7.5%～10%之间，选择C项。
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更多资料公众号：考公小镇4.例：出口 400 万同比增速 5%，进口 100 万同比增速 10%，混合之后增速
约？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：出口量更多，应该更靠近 5%，则总体在5%～7.5%之间，选择 A项。
【例5】（2021新疆兵团）2018年H市完成邮电业务总量 108.2亿元。其中，
邮政业务总量40.8 亿元，同比增长26.5%；电信业务总量 67.4亿元，同比增长
56.7%。
年末移动电话用户达到 341 万户，其中，3G 移动电话用户达到 25.7 万户，
4G移动电话用户达到 241.4万户。全市互联网接入用户 89.9万户，其中，新增
互联网用户23.8万户。
2018年H市邮电业务总量同比增速在下列哪一个范围内？
A.23%～41% B.41%～57%
C.57%～71% D.高于 71%
【解析】5.邮电业务后面有“其中”，邮电业务分为邮政业务和电信业务两
部分，考虑混合增长率，混合后居中，邮电业务增速介于 26.5%～56.7%之间，排
除C、D项。邮政业务：r=26.5%、量≈40亿元，电信业务：r=56.7%、量≈67亿
元，电信业务的量大，应该偏向电信业务，结合选项，选择B项。
不结合选项，自己看偏向的话，需要找中点，中点=（26.5%+56.7%）/2=41.6%，
r 介于41.6%～56.7%之间，选择B项。【选 B】
邮电业务
【注意】r 介于41.6%～56.7%之间，选项范围要大于标准答案的范围才
邮电业务
能够选，假设月收入是 5万，选项分别是A.1～3万，B.4～6万，选择 B项；标
准结果是r 介于 41.6%～56.7%之间，B 项范围全部包含标准结果，在标准结
邮电业务
果中取任意值，都包含在 B项中，故可以选择 B项。
【例 6】（2025 四川）2023 年上半年，全国新注册登记机动车 1688 万辆，
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更多资料公众号：考公小镇同比增长1.9%。新注册登记汽车 1175万辆，同比增长 5.8%。其中，新注册登记
载客汽车1034万辆，同比增长 5.6%；新注册登记载货汽车 133万辆，同比增长
8.1%。新注册登记新能源汽车 313万辆，同比增长 41.6%。
2023年上半年，全国新注册登记非汽车类机动车数量比上年同期：
A.增长了不到 2% B.增长了 2%以上
C.减少了不到 2% D.减少了 2%以上
【解析】6.问题时间是 2023 年上半年，出现“非”，机动车=汽车+非汽车，
求增长率，混合增长率，混合之后整体居中，非汽车增速＜机动车增速 1.9%＜汽
车增速 5.8%，只能排除 B 项；再看偏向，偏向量大的，汽车量为 1175，机动车
量为 1688，非汽车量为 1688-1755≈500，偏向汽车，左边距离小，右边距离为
5.8%-1.9%=3.9%，左边距离＜3.9%，所求＜1.9%-3.9%=-2%，临界值是-2%，距离
比3.9个百分点更大，故减少了2%以上，对应 D项。【选D】
知识点拓展——线段法（用于混合增长率的精确计算）
解题逻辑：
混合增长率的题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向量大的”来解决（90%
以上）；
如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算
线段法的运用口诀：
1.部分在两边，总体在中间；
2.距离和量成反比。
例：溶液A克，浓度 a%；溶液 B克，浓度 b%。混合后的溶液浓度为 x%（a＜
x＜b）
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更多资料公众号：考公小镇3分钟证明原理，感兴趣就听，不感兴趣就记操作
练习 1：全年消费 4000 元，同比增长 5%，上半年消费 1000 元，同比增长
2%，下半年消费3000 元，问下半年消费同比增长率为多少？
练习：上半年收入 5 万元，同比增长 12%，1～5 月收入 4 万元，同比增长
10%，问6月收入同比增速约为多少？
【注意】线段法：
1.例：溶液A克，浓度 a%；溶液 B克，浓度 b%。混合后的溶液浓度为 x%（a
＜x＜b）。
（1）比如盐水中，盐是溶质，水是溶剂，盐水是溶液，溶液*浓度=溶质，A
溶质+B 溶质=总溶质，则 A*a%+B*b%=（A+B）*x%→Aa+B*b=A*x+B*x→Bb-Bx=Ax-
Aa→B（b-x）=A（x-a）→（b-x）/（x-a）=A/B。
（2）用线段的形式体现，下面是→，A 和B，上面有三个点，三个点之间的
距离为x-a和b-x，距离和量成反比，A：B=（b-x）/（x-a）。
2.练习：
（1）练习 1：全年消费 4000 元，同比增长 5%，上半年消费 1000 元，同比
增长2%，下半年消费 3000元，问下半年消费同比增长率为多少？
答：上半年（1000 元、2%）写左边，下半年（3000 元、？）写右边，全年
（5%）写中间，量之比=1000：3000=1：3，距离和量成反比，则距离之比=3：1，
2%到5%的距离是3%，3%对应3份，则1份对应 1%，r =5%+1%=6%。
下半年
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更多资料公众号：考公小镇（2）练习 2：上半年收入 5 万元，同比增长 12%，1～5 月收入 4 万元，同
比增长10%，问6月收入同比增速约为多少？
答：上半年（5 万元、12%）是总体，写中间，1～5月（4万元、10%）写左
边，6月（量=5万-4万=1万，r 用？表示）写右边，距离和量成反比，量之比为
4：1，距离之比为 1：4，1份对应2%，则4 份对应8%，？=12%+8%=20%。
2019年，A地区社会消费品零售总额为 6582亿元，同比增长6.7%……
2019 年 1～11 月，A 地区社会消费品零售总额为 5925 亿元，同比增长
6.3%……
【拓展】（2021 山东）2019 年 12 月，A 地区社会消费品零售总额同比增速
约为？
A.3% B.6%
C.10% D.15%
【解析】拓展.材料给 2019 年、2019 年 1～11 月，1～11 月+12 月=全年，
考虑混合增长率，r （6.3%）＜r （6.7%）＜r ，排除A、B 项。
1～11月 1～12月 12月
2019年1～11 月的零售总额为5925亿元，2019年A地区社会消费品零售总
额为6582亿元，则2019年12月的零售总额=6582-5925=600+亿元，选项差距大，
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更多资料公众号：考公小镇不用很精确，量之比近似为 5900：600+≈10：1，距离和量成反比，则距离之比
≈1：10，左边 6.7%-6.3%=0.4%对应1份，10 份对应4%，r ≈6.7%+4%=10.7%，
12月
对应C项。【选C】
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更多资料公众号：考公小镇复习建议（最后再唠叨几句）
1、课程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角。
2、把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。
要求：根据我给的模板内容调整成自己的内容
3、找数与速算的练习：微信小程序“粉笔快练”
4、基础扎实后，每天做 3～4篇资料分析。
注意：前期以正确率为主，准确率达到 80%左右后掐时间
5、请你坚持，资料分析一定会提高
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更多资料公众号：考公小镇【注意】复习建议（最后再唠叨几句）：
1.课程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角。
2.把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。要求根据老师给的模
板内容调整成自己的内容。
3.找数与速算的练习：微信小程序“粉笔快练”，最重要的如上图，是老师
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更多资料公众号：考公小镇圈出来的首位计算和百分数与分数。
4.基础扎实后，每天做 3～4 篇资料分析。注意前期以正确率为主，准确率
达到80%左右后掐时间。
5.请你坚持，资料分析一定会提高。
6.系统班使用说明书：
（1）精讲精练阶段：对应《笔试系统讲义》。
（2）刷题巩固阶段：每个科目会给大家讲解三套真题，配套讲义是《极致
试题》。
（3）拔高突破阶段：对应讲义是《拔高突破讲义》。
（4）考前冲刺阶段：讲义是课前老师结合最新真题来给大家现做的。
（5）除了核心课程还有补充课程，补充课程一般会有 300+节，公安专业理
论微课、常识及政治理论热点课、常识补充考点课是提前添加的录播课；阶段梳
理课是跟随精讲精练科目的进行而添加的。一些稀奇古怪考法还会陆续添加补充
课，大家可以按需听。
（6）图书大礼包：《行测的思维》和《申论的规矩》可以当成工具书、百科
全书来用，《行测考点一本通》和《申论技巧与热点解读》是知识点小册子，《常
识通关三百问》和《公安必备考点》也是包含在大礼包中，大家可以结合使用。
【答案汇总】
间隔增长率1-5：DBBDA
年均增长率1-4：AADC
混合增长率1-5：CBACB；6：D
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Be your better self
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