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高三数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1. “ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，若 有三个元素，则实数 的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
.
A B. C. D.
5. 已知 是偶函数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
6. “ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
的
8. 已知 是定义在 上 增函数，且存在函数 使得 ，若 ， 分别是方程 和
的根，则 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合
题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知P是圆C： 上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确
的是（ ）
A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为
C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2
10. 已知定义在 上的偶函数 的部分图象如图所示， 是 的导函数，则下列结论中正确的是（
）
A. B. ，
C. D. 方程 有唯一实数解
11. 已知函数 ， 为 的导数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 恒成立B. 当 时， 在区间 单调递减
C. 当 时， 在区间 上存在唯一极小值点
D. 当 时， 有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某实践团有 个男生、 个女生，从中任选 人发起问卷调研，那么恰好有 个女生被选中的方法有______种.
13. 已知 ，其中a为实数，若 ，则a=______.
14. 在 中， ， ，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足 ，则当r
取得最大值时， 的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续
不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调
查，并将结果整理成如下列联表.
兴趣程度
性别 合计
感兴趣 不感兴趣
男生
女生
合计
（1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；
（2）若根据小概率值 的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数．
（1）求 的解析式，并判断 的单调性；
（2）已知 ， ，且 ，求 的取值范围．
17. 已知 .
（1）求 的单调增区间和对称中心；
（2）在锐角 中，A，B，C的对边分别是 . .求 的值域.
18. 已知椭圆 方的程为 ，且椭圆的短轴长为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知不垂直于 轴的直线 与椭圆相交于 两点，点 ，若 所在的直线与 所在的直线关于
轴对称，直线 是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标．
19. 已知函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，求证： ；
（3）求证：对任意的 且 ，都有 （其中 为自然对数
的底数）．BCAAD AAB 9ABC 10BC 11BC
12 12 13 14 ①. （或 ） ②.
15 （1）由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知，
从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为 .
【2】
由题意可得 ，
的
若根据小概率值 独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，
则 ，解得
因为m为正整数，
所以m的最小值为10.
16 【1】
因为 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，
令 ，则 ，
故 ，所以 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，
综上， ， 在 上单调递增.
【2】
因为 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，且 ，
，即 ，则 ，
当 时， ，则 ，即 ，故 ；
当 时， ，则 ，即 ，则 ；
综上， 的取值范围为 .
17【1】
由
.
由 解得， ，
即 的单调增区间为 ；
由 解得， ，故 的对称中心为 .
【2】
由 可得， ，
因 是锐角三角形，故 则 ，
故 ，解得， ，由 ，设 ，由正弦定理可得， ,
由 解得， ，则 , ,故有 .
于是， ，
而 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
则 的值域为 .
18（1）因为椭圆C： (a>b>0)的离心率e= ，
所以 ，即 ，
又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程组 ，消去y，得，即 ，
，
因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，
所以 ，
即
3
得
化简得 ，直线l的方程为 ，
所以，直线l恒过定点( ，0)．
19【小问1详解】
函数 的定义域为 ．
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
②当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
证明：当 时， ，
要证明 ，即证 ，即 ，
设 ，则 ，令 得， ．
当 时， ，当 时， ，
所以 为极大值点，也为最大值点．
所以 ，即 ．故 ；
【小问3详解】
证明：由（2）知 （当且仅当 时等号成立），
令 ，则 ，
所以
，
即 ，
所以 ．
