文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．4
3．直线 与圆 交于 两点，则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
4．设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A．4 B．6 C．8 D．10
6．在棱长为2的正方体 中，E是 的中点，则直线 与平面 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且 ，若
的面积为3，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
8．已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 ，过其左焦点倾斜角为30°的直线 交椭圆
于 ， 两点，若 的周长为16，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．以下命题正确的是（ ）
A．平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
B．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
C．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
D．平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量，则
10．已知直线 ，圆 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的最大值为5
B． 的最大值为
C．直线 与圆 相切时，
D．圆心 到直线 的距离最大值为4
11．如图，曲线 是一条“双纽线”，其 上的点满足：到点 与到点 的距离之积为4，则
下列结论正确的是（ ）
A．点 在曲线 上
B．点 在 上，则
C．点 在椭圆 上，若 ，则
D．过 作 轴的垂线交 于 两点，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若双曲线 的一个焦点 ，一条渐近线方程为 ，则 ．
13．在空间直角坐标系中，点 为平面 外一点，点 为平面 内一点．若平面 的一个法向
量为 ，则点 到平面 的距离是 ．
14．已知 ，直线 为 上的动点.过点 作 的切线 ，切
学科网（北京）股份有限公司点分别为 ，当 最小时，点 的坐标为 ，直线 的方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在平面直角坐标系 中，圆 经过点 和点 ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 被圆 截得弦长为 ，求实数 的值.
16．（15分）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点与双曲线E： 的右焦点重合，双曲线E的
渐近线方程为 .
(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.
(2)斜率为1且纵截距为−2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求 的面积
学科网（北京）股份有限公司17．（15分）在四棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求二面角 的余弦值.
18．（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，过点 作两条直
线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之
间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 ， ，则欧几里得距离
；曼哈顿距离 ，余弦距离 ，
其中 （ 为坐标原点）．
(1)若 ， ，求 ， 之间的曼哈顿距离 和余弦距离 ；
(2)若点 ， ，求 的最大值；
(3)已知点 ， 是直线 上的两动点，问是否存在直线 使得 ，若存在，
求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
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