文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C B A B A B C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
BD ACD ACD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
【解析】（1）设 交 于 ，则 为 的中点，设 ，
因为点 是三角形的重心，
所以 ，所以 ，
所以， ，
所以 ，
所以 ，
1 / 7故 ，解得 .
边所在直线的方程为 ，即 .（6 分）
（2）当在 轴、 轴上的截距为 0 时，易知直线方程为： ，
当截距不为 0 时，
设直线方程为： ，因为点 在直线上，
所以 ，可得 ，
即直线方程为： ；
综上所述：直线方程为 或 .（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）因为直线 可化为 ，
令 ，则 ，故 ，
联立 ，解得 ，则圆心 ，
因为圆 的半径为 2，所以圆 的方程为 ，
当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为 ，易知与圆 相切，符合题意；
当所求直线斜率存在时，设所求圆 的切线方程为 ，即 ,
所以圆心 到直线的距离为 ，解得 ,
所以切线方程为 ，即 ,
综上所述，所求圆 的切线方程为 或 .（7 分）
（2）因为圆 的圆心在直线 ： 上，故设圆心 为 ，
2 / 7则圆 的方程为 ，
又因为 ，故 ，
所以设 为 ，则 ，设为圆 ，圆心 ，半径为 ，
则点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .（15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）设动圆 M 的半径为 r， 的圆心 ，半径 ；
的圆心 ，半径 . 圆 相内切，
因为动圆 M 与 外切，所以 ；
动圆 M 与 内切，所以 ，则 .
又 .
因为 ，
根据椭圆的定义，点 M 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆.
则 ， ，根据 ，可得 .
所以 M 的轨迹方程为 .（6 分）
（2）设 ， .
3 / 7因为 A，B 在椭圆 上，所以 .
两式相减得： .
因为 N 为线段 AB 的中点，所以 ， .
则直线 AB 的斜率 .
直线 AB 的方程为 ，即 .
设点 P ，则 ，即 .
又 中点 在直线 AB 上，所以 .
将 代入上式得： .
解得 ， .
所以点 P 的坐标为 .（15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）因为圆心 在直线 上，
所以设 ，由圆 过点 ，可得 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以圆心为 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .（5 分）
（2）设 ，则 ，
因为 ，
所以 的最小值为 .（10 分）
4 / 7（3）设 ，则以 为直径的圆的圆心为 ，
记 ， 半径为 ，
则此圆的方程为 ，
即 ，记此圆为 D.
因为直线 为圆 与圆 的相交弦所在直线，
所以两圆方程作差可得直线 的方程为 ，
即 .
由 ，解得
所以直线 恒过定点，定点坐标为 .（17 分）
19．（17 分）
【解析】（1） 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为 ，理由如下：
椭圆 中，
椭圆 中，
，
5 / 7则
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （5 分）
（2）证明：必要性：
若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等.
如图，若 ，
则 ，
，
所以 ，
又因为
，
所以 ；
充分性：
若离心率相等，则 ，所以 ，
则 ， ，
则 ；
同理， ， ，
则 ，
6 / 7所以 ；
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；（11 分）
（3）设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 相似，
所以椭圆 的离心率也为 ，
若 的面积为 ，
又 ， ，
所以 的面积与 的面积之比为 ，
所以 的面积为
因为 与 的相似比为 ，
所以 的面积与 的面积的比为 ，
所以 的面积为 （17 分）
7 / 7
