文档内容
黄山市 2025 届高三毕业班质量检测
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底
圆柱（如图2），其中总高度为 ，圆柱的高度为 ，该陀螺由密度为 的木质材料制成
（密度 ），其总质量为 ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）A. B.
C. D.
的
4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户 月均用水量（单位： ），将
该数据按照 ，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要
对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准 ，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作
为标准 的为（ ）
A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7
5. 已知双曲线 渐近线的斜率小于 ，则离心率 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知各项均为整数的数列 中， ， ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等
比数列，则 （ ）A. B. C. D.
7. 如图1，为了测量两山顶 ， 间的距离，飞机沿水平方向在 ， 两点进行测量， ， ， ，
在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知 ， ， ，
， ，则 （ ）
A. B. C. D. 10
8. 定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”．若函数 ， ，
的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行，已知船的
速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，设 和 的夹角为 ，
则下列说法正确的为（ ）A. 当船的航行时间最短时，
B. 当船的航行距离最短时，
C. 当 时，船的航行时间为6分钟
D. 当 时，船的航行距离为
10. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，过点 作直线交抛物线于 ，
两点，则（ ）
A. 的最小值为4
B. 以线段 为直径的圆与直线 相切
C. 当 时，则
D.
11. 已知 是定义在 上的奇函数，且 图象连续不间断，函数 的导函数为 ．当
时， ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
在
A. 上有且只有1个零点 B. 在区间 上单调递增
C. D.
三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分.
12. 已知函数 ，则 ________．13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连
续值班2天，共有________种不同的安排方法．
14. 已知 ， 都是锐角， ， ，则 ________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数
据如下表：
每周体育锻炼的时间（小
时）
人数 3 4 8 11 41 20 8 5
用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间 近似服从正态分布 ， 近似为样本平均
数 （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）， 近似为样本标准差 ，并已求得 ，利用所得正
态分布模型解决以下问题：
（1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；
（2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为 ，求随机变量
的分布列和均值．
附：若 ，则 ， ，
．
16. 平面内，动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ，记
动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2） 为坐标原点， 为曲线 上不同两点，经过 两点的直线与圆 相切，求
面积的最大值．17. 如图1，在平行四边形 中， ， ， 为 的中点， 为 的
中点， ，沿 将 翻折到 的位置，使 ，如图2．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 和平面 所成角的余弦值．
18. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，判断函数 在区间 上的单调性；
（2）令 ，若函数 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；
（3）求证：当 时， ．
19. 若数列 ， ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列 为数列 的
“接近数列”．已知 为数列 的“接近数列”，且数列 ， 的前 项和分别为 ， ．
（1）若 （ 是正整数），求 ， ， 的值；
（2）若数列 是公差为 的等差数列，且 ，求证：数列 是等差数列；（3）若 （ 是正整数），判断是否存在正整数 ，使得 ？如果存在，请求出
的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据： ， ）
