文档内容
微信公众号：【高中精品资料君】
数学参考答案
2024 届高考数学考向核心卷·新高考新结构版
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B D D C A B ABD ABD AC
一、选择题 6. C【解解析析】】因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、
1. B【解解析析】】由题可得A={x|0x1}，B={x|−x2− 丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加
x+2>0}={x|−20，所以 f(x) 在区间 0,
所以 A(−1,−4)，半径为 1， F(2,0)，抛物线 C 的 2
准线方程为 l:x=−2 . 如图，过点 M 作 ME⊥l， 上 单 调 递 增. 又 f π =0， 所 以 α= π ， 所 以
3 3
垂足为点E，则|ME|=d+2 .由抛物线的定义可得
3
d+2=|ME|=|MF|，所以|MN|+d =|MN|+|MF|− r= =3，所以3= 5−m，解得m=−4 .故选A.
1
2×
2|AM |+|MF|−1−2|AF|−3= (2+1)2+(−4)2 − 2
3=2，当且仅当N，M分别为线段AF与圆A、抛物 8. B【解解析析】】f(x)=e|x|−cos π x ，易知f(x)是偶函数.
2
线C的交点时，两个等号成立，因此|MN|+d的最小
π π
值为2.故选D. 当x>0时，f′(x)=ex+ sin x，当00；当 x>2 时， ex >e2， − ≤ sin x
2 2 2
π
≤ ，所以 f′(x)>0，所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调
F 2
O x
lnx 1−lnx
递 增 . 设 函 数 h(x)= ， 则 h′(x)= ， 当
E M x x2
N
00；当 x>e 时， h′(x)<0 .所以
A
h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.故
1
微信公众号：【高中精品资料君】全网最全押题卷，有需要的联系微信：xygewx002微信公众号：【高中精品资料君】
2024届高考数学考向核心卷·新高考新结构版
lne ln2 π 3π π
> ，则 2lne>eln2，所以 lne2 >ln2e，即 选项C：令2kπ− ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得
e 2 2 4 2
e2 >2e，故 e2 >2e >4>1，故 f(1)<(2e)< f(e2) . 故 2kπ 5π 2kπ π
− ≤x≤ − ， k∈Z，令 k =0，得函数
3 12 3 12
选B.
5π π
二、选择题 f(x)在 − ,− 上单调递增，C正确.
12 12
9. ABD【解解析析】】选项A：若m⊥α，n//α，则m与n相
3π π kπ π
交或异面，A正确. 选项D：令3x+ =kπ+ ，k∈Z，解得x= − ，
4 2 3 12
选项B：若m⊥α，m//n，则n⊥α，又n⊥β，α，
kπ π 13π 7
k∈Z，由 − = ， k∈Z，解得 k = ∉Z，
β是两个不同的平面，所以α//β，B正确. 3 12 12 2
选项 C：若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故 C 13π
所以直线x= 不是函数f(x)图象的一条对称轴，
错误 . 12
13π 13π 3π
选项D：若m//α，α//β，n//β，则m与n平行或相 （另解：f =2sin + =2sin4π=0≠±2，
12 4 4
交或异面，故D正确.故选ABD.
13π
10. ABD【解解析析】】由 x，y>0， 1=x+2y2 2xy 可得
所以直线x=
12
不是函数f(x)图象的一条对称轴）
1 1 D错误.故选AC.
xy ，当且仅当 x=2y= 时等号成立，故A正
8 2
三、填空题
确； x+ 2y = ( x+ 2y)2 = x+2y+2 2xy ，
2 2 2(1−i)
12. 10【解解析析】】由复数z= 可得z= = =
1 1+i 1+i 2
x+2y=1，xy ，
8
1−i，所以 z−2i =1−3i = 1+(−3)2 = 10 .
1
∴ x+2y+2 2xy = 1+2 2xy 1+2 2× = 2 ， 13. 6【解解析析】】由 a a −16a =0 可得 a2−16a =0，故
8 4 6 5 5 5
1 2 1 2 2y 2x a =16，设{a }的公比为q，
故B正确； + = + (x+2y)=5+ + 5+ 5 n
x y x y x y a
则q3 = 5 =8，即q=2，故a =a qn−2 =2n−1，
a n 2
y x 1 2
4 ⋅ =9，当且仅当 x= y= 时等号成立，故
x y 3 1−4n 4n
则 S =1+4+16++4n−1−2×n= −2n= −2n
C 错误；因为 x+2y=1，所以 (x+2y)2 =1，所以 2n 1−4 3
1
1 1 − .
x2+4y2+4xy=1，即x2+4y2 =1−4xy1−4× = ， 3
8 2
1
由于n2时，b
n
+b
n+1
>0，故S
2n
随着n的增大而增
当且仅当x=2y= 时，等号成立，故D正确.故选
2 45 1 46
大， 而 S = −2×5− =331<360， S = −2×
ABD. 10 3 3 12 3
11. AC【解解析析】】选项 A：由图可知， A=2， f(0)= 1
6− =1353>360，
3
2 3π 故满足S >360的最小正整数n的值为6.
2sinϕ= 2，所以sinϕ= ，结合图象可得ϕ= ， 2n
2 4
10 a2+b2
A正确. 14. 【解解析析】】由E的离心率为 5可得 = 5，
3 a
π 3π
选项 B：将 ,0 代入 f(x)=2sinωx+ ，得 故 b=2a， 则 E 的 渐 近 线 方 程 为 y=±2x， 则
12 4
π 3π π tan∠FOA=tan∠BOF=2，则tan∠AOB=−tan2∠FOA=
2sin ω+ =0，由五点作图法可知， ω+ 2 1 2
12 4 12 2×2 4
− = .
3π 3π 1−4 3
=π，解得ω=3，所以f(x)=2sin3x+ ，其
4 4 bc
点 F 到一条渐近线的距离为 F A = =b，
2π 2 2 a2+b2
最小正周期T = ，B错误.
3 故 |OA|=a， 因 为 OA⊥ AB， 所 以 |AB|=|OA|⋅
2
微信公众号：【高中精品资料君】全网最全押题卷，有需要的联系微信：xygewx002微信公众号：【高中精品资料君】
数学参考答案
4a 4 2 C3 3 C2C1 9
tan∠AOB= = ，得a= 2，b=2a=2 2，易 则P(X =0)= 9 = ，P(X =1)= 9 7 = ，
3 3 C3 20 C3 20
16 16
知 △BOF 1 的面积等于 △BOF 2 的面积，故 S △BOF1 = P(X =2)= C1 9 C 7 2 = 27 ，P(X =3)= C3 7 = 1 .
C3 80 C3 16
16 16
1 1 4 2 10
× BF ×|OA|= ×2 2+ × 2 = . 所以X的分布列为
2 2 2 3 3
X 0 1 2 3
四、解答题
3 9 27 1
P
15. （1）y=0 20 20 80 16
3 9 27
（2）证明见解析 所以X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3×
20 20 80
【【解解析析】】（1）由已知得 f(0)=0， f′(x)=exsin x+
1 21
= .
excosx−1， 则 f′(0)=0， ∴ 曲 线 y= f(x) 在 点 16 16
（2）由题中所给数据，得到2×2列联表：
(0, f(0))处的切线方程为y=0 .
GRPE蛋白干预 非GRPE蛋白干预 总计
π π π
（2）证明：要证明lnπ− 0)，则m′(x)=ex−2，
关系.
令m′(x)=0，解得x=ln2，
16×(2×3−5×6)2
∴当x∈(0,ln2)时，m′(x)<0，m(x)单调递减； 利用列联表中的数据得，χ2 = =
7×9×8×8
当x∈(ln2,+∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，
16
≈2.286<2.706=x ，
∴m(x)≥m(ln2)=2−2ln2>0， 7 0.1
根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据
π π π
∴ex >2x(x>0)，∴ 0 在 − ,
2
5 7
（2）
π 14
上恒成立，
2 【【解解析析】】（1）证明：在△ABD 中，∠BAD=60°，
π π π π AD=2，AB=1，
∴g(x)在 − , 上单调递增，即f′(x)在 − , 上
2 2 2 2
∴由余弦定理得BD= 22+12−2×2×1×cos60° = 3，
单调递增.
∴BD2+AB2 = AD2，∴AB⊥BD .
π
当x∈− ,0时，f′(x)< f′(0)=0，f(x)单调递减， AB//CD，∴CD⊥BD .
2
在矩形CDEF中，DE⊥CD，又DEBD=D，DE，
π
当x∈0, 时，f′(x)> f′(0)=0，f(x)单调递增. BD⊂平面BDE，
2
∴CD⊥平面BDE .
π π π π
∴f > f(0)，即e6sin − >0， 在矩形CDEF中，G，H分别为CF，DE的中点，
6 6 6
π π π ∴GH//CD，∴GH ⊥平面BDE .
∴ 4 .
E F
1 2 3k2+4 1 2 3k2+4
由∠AMD=2∠BAM，得∠ABM +∠BAM =2∠BAM，
所以∠ABM =∠BAM，则|AM |=|BM |，
H G
所以点M在线段AB的垂直平分线y=1上，即y =1 .
0
D |BC| x
C y 易知 = 1 .
|BD| x
2
A B 设CM =λMD，
x
则(x −x,y −y )=λ(x −x ,y −y )，
0 1 0 1 2 0 2 0
则 D(0,0,0)， A( 3,−1,0)， B( 3,0,0)， E(0,0,2)， 则x −x =λ(x −x ) .①
0 1 2 0
G(0,1,1)， 又点M(x ,1)在直线CD上，所以1=kx +4，
0 0
∴AB=(0,1,0)，AE=(− 3,1,2)，AG=(− 3,2,1) . 36
2×
3 72 3k2+4 2xx
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)， 则x =− =− = = 1 2 ，
0 k 24k 24k x +x
− 1 2
n⋅AB= y=0, 3k2+4
则
n⋅AE=− 3x+y+2z=0, 所以x 0 (x 1 +x 2 )=2x 1 x 2 ，则x 2 x 0 −x 1 x 2 =x 1 x 2 −x 1 x 0 .
x
则y=0，令x=2，则z= 3，则n=(2,0, 3) . 整理得x −x = 1 (x −x ) .②
0 1 x 2 0
设平面ABG的法向量为m=(a,b,c)， 2
x
由①②，得λ= 1 .
m⋅AB=b=0, x
则 2
m⋅AG=− 3a+2b+c=0, x |CM | x
所以CM = 1 MD，则 = 1 ，
x |MD| x
则b=0，令a=1，则c= 3，则m=(1,0, 3) . 2 2
|BC| x |CM |
由图可知二面角E−AB−G的平面角为锐角， 所以 = 1 = ，
|BD| x |MD|
2
n⋅m 5 5 7
cos〈n,m〉= = = ， 故|BC|⋅|MD|=|BD|⋅|CM | .
|n||m| 7×2 14
19. （1）证明见解析
5 7
∴二面角E−AB−G的平面角的余弦值为 . 15
14 （2）
17
18. （1）
y2
+
x2
=1
【【解解析析】】（1）证明：设m=10t+4，1≤t≤9且t为整数，
4 3
∴m2−16=(10t+4)2−16=100t2+80t+16−16=
（2）证明见解析
20(5t2+4t)，
y2 x2
【【解解析析】】（1）设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0) . 1≤t≤9，且t为整数，∴ 5t2+4t是正整数，
a2 b2
∴ m2−16一定是20的倍数.
1 9
+ =1, a2 =4,
由题意可知a2 4b2 解得 （2） m= p2−q2，且p，q为正整数，
3a=2b,
b2 =3.
∴ 10t+4=(p+q)(p−q)，
y2 x2
当t=1时，10t+4=14=1×14=2×7，没有满足条件
故椭圆E的方程为 + =1 .
4 3 的p，q，
（2）证明：由（1）可知A(0,−2) . 当t=2时，10t+4=24=1×24=2×12=3×8=4×6，
设C(x,y )，D(x ,y )，M(x ,y )，直线CD的方程 p+q=12 p+q=6
1 1 2 2 0 0 ∴满足条件的有 或 ，
为y=kx+4 .
p−q=2 p−q=4
由 y 4 2 + x 3 2 =1 得(3k2+4)x2+24kx+36=0， 解得 q p = = 5 7 或 q p = = 1 5 ，∴ H(m)= 7 5 或 1 5 ，
y=kx+4, 当t=3时，10t+4=34=1×34=2×17，没有满足条
则∆=(24k)2−4(3k2+4)×36=144(k2−4)>0， 件的p，q，
4
微信公众号：【高中精品资料君】全网最全押题卷，有需要的联系微信：xygewx002微信公众号：【高中精品资料君】
数学参考答案
当t=4时，10t+4=44=1×44=2×22=4×11， p+q=32 p+q=16
∴满足条件的有 或 ，
p+q=22 p=12 p−q=2 p−q=4
∴满足条件的有 ，解得 ，
p−q=2 q=10 p=17 p=10 15 3
解得 或 ，∴ H(m)= 或 ，
10 5 q=15 q=6 17 5
∴ H(m)= = ，
12 6 ∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)
当t=5时，10t+4=54=1×54=2×27=3×18=6×9，
15
的最大值为 .
没有满足条件的p，q，
17
当t=6时，10t+4=64=1×64=2×32=4×16=8×8，
5
微信公众号：【高中精品资料君】全网最全押题卷，有需要的联系微信：xygewx002
