数学答案_2025年11月_251119山西太原2025-2026学年第一学期高三年级期中学业诊断（全科）_山西太原2025-2026学年第一学期高三年级期中学业诊断数学

2025-2026年第一学期高三年级期中学业诊断试卷 一．选择题： B D C B B D A C 二．选择题： 9.AB 10.ABD 11.ACD 三．填空题: 12.12i 13. 21 14.3n 1 四．解答题： 15.解：（1）由题意得A{x|2 x3}，B{x|1x1}，C B{x|x1或x1}， U A(C B)(2,1][1,3)； ………6分 U x2 4x,x0, （2）当x0时， f(x) f(x) x2 4x， f (x)  ………8分  x2 4x,x0. 由（1）得A(C B)(2,1][1,3)， U 当x(2,1]时，3 f(x)4；当x[1,3)时，4 f(x)3； 当xA(C B)时 f(x)的值域为[4,3][3,4). ………13分 U 16.解：（1）在△ABD中，由余弦定理得 AD2  AB2 BD2 2ABBDcosABD 144cos603， AD  3，BD2  AB2  AD2，BAD 90，ADB 30， CAD CBD ，ACB ADB 30， ………4分 AC AB 在△ABC 中，由正弦定理得  ， sinABC sinACB ABsinABC ABsin(6045) 6  2 AC    . ………8分 sinACB sin30 2 BC AB （2）在△ABC 中，由正弦定理得  ， sinBAC sinACB ABsinBAC ABsin(90) BC    2cos， ………12分 sinACB sin30 1 △BCD的面积为S  BCBDsinCBD  2sincossin21， 2 当且仅当 45时，△BCD的面积S 取最大值1. ………15分 17.（1）证明：由题意得a (n1) 2a (n1)(n1) 2(a n)， ………3分 n1 n n {a n}是以a 1 2为首项、q 2为公比的等比数列. ………5分 n 1 2n n,n为奇数, （2）由（1）得a n  2n，即a  2n n(nN*)，b   ……8分 n n n n,n为偶数, 当n为偶数时，S (b b b )(b b b ) n 1 3 n1 2 4 n (a a a )(24n) (21)(233)[2n1(n1)](24n) 1 3 n1 n 2 n (223 2n1)  (2n 1) ； ………12分 2 3 22 n1 2 n1 当n为奇数时，S S b  (2n11) (n1)  (2n11) . n n1 n1 3 2 3 2 2n2 n 7    ,n为奇数, 综上， S    3 2 6 …………15分 n 2n1 n 2   ,n为偶数.   3 2 3 18.（1）证明：取SD中点G ，连接AG,FG, △SDE 是等边三角形，AG  SD， …………2分 F 为SC 的中点，FG//DC，DC  2FG ， 又AB//DC，CD2AB,FG// AB,FG  AB ， 四边形ABFG 为平行四边形，BF // AG ，BF  SD. …………5分 （2）由（1）得BF  SD，SB  BC ，F 为SC 的中点，BF  SC ， SDSC  S，BF 平面SCD，BF CD ， …………7分 由（1）得BF // AG，AG CD ， 又ADDC，AD AG  A，CD 平面SAD. …………10分 （3）以D为原点，DA,DC 所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 过点S 作SHAD,垂足为H ,设HS与 y 轴正方向的夹角为(0),不妨设AB2, 则A(2,0,0),B(2,2,0),H(1,0,0),S(1, 3cos, 3sin)， z BS (1, 3cos2, 3sin)，…………12分 S G F 设m(x,y,z)是平面SAD的一个法向量， D C y   mDA, 2x0, A H 则    mDS, x 3cosy 3sinz 0, x B 令 y sin，则x0,z cos，m(0,sin,cos)， …………13分 设直线SB与平面SAD所成角为， |mBS| 2sin sin sin|cosm,BS |   ， …………14分 |m||BS| 84 3cos 2 3cos sin ( 3cos1)( 3cos) 令 f() ，0，则 f() ， 3 2 3cos 2(2 3cos)2 3 设cos  ，0 .当(0,)时， f()0；当(,)时， f()0， 1 3 1 1 1 6 6 f()  f() ，直线SB 与平面SAD所成角正弦值的最大值为 .……17分 max 1 3 3 ex sinx x 19.解：f(x) ex sinxax， ………2分 a 1（1）当a 1时， f (x)ex sin xx， f(x)ex cosx1， ①由题意得 f (x)在x 0处的切线方程为y f (0) f(0)x，即x y10；……4分 3  ②证明：设g(x) f(x)ex cosx1,x[ , ]，则g(x)ex sin x， 2 2 3  y ex和 y  sin x在[ , ]上均单调递增， 2 2 3  g(x)ex sin x在[ , ]上均单调递增， ………5分 2 2 7  7 1 1 1 ，g() e 0 g( )e 6    0 6 2 e 2  7  ∴存在唯一零点x  ,，使得gx 0， 0  6  0  3   3  当x   ,x 时，gx0，g  x 单调递减，即 f  x  在  ,x 上单调递减；  2 0  2 0    当x(x , )时，g(x)0，g(x)单调递增，即 f(x)在(x , )上单调递增， 0 2 0 2  3  ∴x 是函数 f  x  在  , 内唯一的极小值点, ………8分   0  2 2  7  1 ∵x  ,，∴0sinx  ． ………10分 0  6  0 2 （2）不妨设x  x ，原不等式等价于 f(x ) f(x ) x x ，即 f(x )x  f(x )x ， 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 设h(x) f (x)x，x[0,]，则h(x ) h(x )， 1 2 由x ,x 的任意性，可知h(x)在[0,]上单调递增， ………12分 1 2 h(x) f(x)1ex cosx(a1)0在[0,]上恒成立， 即a1ex cosx在[0,]上恒成立， ………14分 令t(x)ex cosx，x[0,]，则t(x)ex sin x 1sin x 0， t(x)在[0,]上单调递增，a1t(x) t(0)  2，a 1， min 实数a的取值范围为(,1]. ………17分 注：以上各题其它解法请酌情赋分.