数学答案_2025年11月_251119山西太原2025-2026学年第一学期高三年级期中学业诊断（全科）_山西太原2025-2026学年第一学期高三年级期中学业诊断数学

2025-2026年第一学期高三年级期中学业诊断试卷
一．选择题： B D C B B D A C
二．选择题： 9.AB 10.ABD 11.ACD
三．填空题: 12.12i 13. 21 14.3n 1
四．解答题：
15.解：（1）由题意得A{x|2 x3}，B{x|1x1}，C B{x|x1或x1}，
U
A(C B)(2,1][1,3)； ………6分
U
x2 4x,x0,
（2）当x0时， f(x) f(x) x2 4x， f (x)  ………8分
 x2 4x,x0.
由（1）得A(C B)(2,1][1,3)，
U
当x(2,1]时，3 f(x)4；当x[1,3)时，4 f(x)3；
当xA(C B)时 f(x)的值域为[4,3][3,4). ………13分
U
16.解：（1）在△ABD中，由余弦定理得
AD2  AB2 BD2 2ABBDcosABD 144cos603，
AD  3，BD2  AB2  AD2，BAD 90，ADB 30，
CAD CBD ，ACB ADB 30， ………4分
AC AB
在△ABC 中，由正弦定理得  ，
sinABC sinACB
ABsinABC ABsin(6045) 6  2
AC    . ………8分
sinACB sin30 2
BC AB
（2）在△ABC 中，由正弦定理得  ，
sinBAC sinACB
ABsinBAC ABsin(90)
BC    2cos， ………12分
sinACB sin30
1
△BCD的面积为S  BCBDsinCBD  2sincossin21，
2
当且仅当 45时，△BCD的面积S 取最大值1. ………15分
17.（1）证明：由题意得a (n1) 2a (n1)(n1) 2(a n)， ………3分
n1 n n
{a n}是以a 1 2为首项、q 2为公比的等比数列. ………5分
n 1
2n n,n为奇数,
（2）由（1）得a n  2n，即a  2n n(nN*)，b   ……8分
n n n n,n为偶数,
当n为偶数时，S (b b b )(b b b )
n 1 3 n1 2 4 n
(a a a )(24n) (21)(233)[2n1(n1)](24n)
1 3 n1
n 2 n
(223 2n1)  (2n 1) ； ………12分
2 3 22 n1 2 n1
当n为奇数时，S S b  (2n11) (n1)  (2n11) .
n n1 n1 3 2 3 2
2n2 n 7
   ,n为奇数,
综上， S    3 2 6 …………15分
n 2n1 n 2
  ,n为偶数.

 3 2 3
18.（1）证明：取SD中点G ，连接AG,FG,
△SDE 是等边三角形，AG  SD， …………2分
F 为SC 的中点，FG//DC，DC  2FG ，
又AB//DC，CD2AB,FG// AB,FG  AB ，
四边形ABFG 为平行四边形，BF // AG ，BF  SD. …………5分
（2）由（1）得BF  SD，SB  BC ，F 为SC 的中点，BF  SC ，
SDSC  S，BF 平面SCD，BF CD ， …………7分
由（1）得BF // AG，AG CD ，
又ADDC，AD AG  A，CD 平面SAD. …………10分
（3）以D为原点，DA,DC 所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
过点S 作SHAD,垂足为H ,设HS与 y 轴正方向的夹角为(0),不妨设AB2,
则A(2,0,0),B(2,2,0),H(1,0,0),S(1, 3cos, 3sin)，
z
BS (1, 3cos2, 3sin)，…………12分 S
G F
设m(x,y,z)是平面SAD的一个法向量，
D
C y
  mDA, 2x0, A H
则  
 mDS, x 3cosy 3sinz 0, x B
令 y sin，则x0,z cos，m(0,sin,cos)， …………13分
设直线SB与平面SAD所成角为，
|mBS| 2sin sin
sin|cosm,BS |   ， …………14分
|m||BS| 84 3cos 2 3cos
sin ( 3cos1)( 3cos)
令 f() ，0，则 f() ，
3
2 3cos
2(2 3cos)2
3
设cos  ，0 .当(0,)时， f()0；当(,)时， f()0，
1 3 1 1 1
6 6
f()  f() ，直线SB 与平面SAD所成角正弦值的最大值为 .……17分
max 1 3 3
ex sinx x
19.解：f(x) ex sinxax， ………2分
a 1（1）当a 1时， f (x)ex sin xx， f(x)ex cosx1，
①由题意得 f (x)在x 0处的切线方程为y f (0) f(0)x，即x y10；……4分
3 
②证明：设g(x) f(x)ex cosx1,x[ , ]，则g(x)ex sin x，
2 2
3 
y ex和 y  sin x在[ , ]上均单调递增，
2 2
3 
g(x)ex sin x在[ , ]上均单调递增， ………5分
2 2
7  7 1 1 1 ，g() e 0
g( )e 6    0
6 2 e 2
 7 
∴存在唯一零点x  ,，使得gx 0，
0  6  0
 3   3 
当x   ,x 时，gx0，g  x 单调递减，即 f  x  在  ,x 上单调递减；
 2 0  2 0 
 
当x(x , )时，g(x)0，g(x)单调递增，即 f(x)在(x , )上单调递增，
0 2 0 2
 3 
∴x 是函数 f  x  在  , 内唯一的极小值点, ………8分
 
0  2 2
 7  1
∵x  ,，∴0sinx  ． ………10分
0  6  0 2
（2）不妨设x  x ，原不等式等价于 f(x ) f(x ) x x ，即 f(x )x  f(x )x ，
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
设h(x) f (x)x，x[0,]，则h(x ) h(x )，
1 2
由x ,x 的任意性，可知h(x)在[0,]上单调递增， ………12分
1 2
h(x) f(x)1ex cosx(a1)0在[0,]上恒成立，
即a1ex cosx在[0,]上恒成立， ………14分
令t(x)ex cosx，x[0,]，则t(x)ex sin x 1sin x 0，
t(x)在[0,]上单调递增，a1t(x) t(0)  2，a 1，
min
实数a的取值范围为(,1]. ………17分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.