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泸县五中高2022级高考适应性考试
数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D A B D D BCD BCD
题号 11
答案 ABD
二．填空题
12．2 13．6 14．
三．解答题
15．解：（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得 ，因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙两车间产品的优
级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
则 ，
可知 ，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
16．解：（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
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由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
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（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，故 的周长为
17．解：（1）连接 ，设 ，则 ， ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
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在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
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即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故二面角 的正弦值为 .
18．解：（1）将点 代入抛物线方程可得： ，抛物线
设 ，与抛物线方程联立可得：
，∴
用 代 可得：
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因此， 即 ．
（2）由（Ⅰ）可知， ， ，
因此
到直线 的距离 ．
（3）
∵
∴
，
令 ，由 得
∴
当且仅当 时取等号．
19．解：（1） 的定义域为 ， ．
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 时， 单调递减．
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故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
当 时， ，即 ．
令 ，得 ，即 ． ①
（2） ； ；
．
由此推测： ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当 时，左边 右边 ，②成立．
（2）假设当 时，②成立，即 ．
当 时， ，
由归纳假设可得 ．
所以当 时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数 都成立．
（3）由 的定义，②，算术-几何平均不等式， 的定义及①得
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．即 ．
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