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高三年级 10 月考试数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题、审题：高三数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
1. 在复平面内， 的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】根据题意， ，
则 的共轭复数为 ，其对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2. 集合 ，则满足 的集合 的个数为（ ）
A. 4 B. 7 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合 ，然后根据子集的概念求解．
【详解】
，
又 ，
则满足 的集合 有： ，共4个，
故选：A．
3. 若双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 2 C. 2或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可.
【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为 ，
则渐近线的倾斜角为 或 ，
所以渐近线的斜率为 或 .
因为该双曲线方程为 ，所以渐近线方程为 .
所以 或 .
所以双曲线的离心率为 或2.
故选：C.
4. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则 的
最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的平移变换，可得 ，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇
函数的性质列式，化简求值，即得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得的图象对应的函数为 ，
由题意知 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
故 ，
即 ，
故 ，
即 ，
因为 ，故当 时，m取最小值 .
另解：由题意知 的图象关于原点对称，
故 ，即 ，
因为 ，故当 时，m取最小值 ，
故选：A
5. 已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于 的不
等式 的解集是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数 的定义域关于原点对称求出 的值，利用 是偶函数可得 ，
将不等式 转化为 ，利用当 时， 单调递减，
将 转化为 ，解出此不等式； 的定义域为 ，得到
，解出此不等式组，从而得解.
【详解】 定义在 上的偶函数 ， ， ，
当 时， 单调递减， 当 时， 单调递减，
定义在 上的偶函数 ，
， ， ，
当 时， 单调递减，
， ，即 ，
解得 或 ，
的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
或 和 要同时成立，
，
关于 的不等式 的解集为 .
故选：C.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行．已知船在静
水中的速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ．设这艘船行驶方向与水流方
向的夹角为 ，行驶完全程需要的时间为 ，若船的航程最短，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，可分析 的范围，再由同角三角函数基本关系求出 ，据此可求出速度
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学科网（北京）股份有限公司，再由 求解.
【详解】如图，设 ，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，
由图可知 ，所以 ，故 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 （ ），故 .
故选：D.
7. 若 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，可得 ，作出函数 的图象，
作出 ，变换 的值即可得出答案.
【详解】因为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ， ，
作函数 的图象，同时作出 ，
如上图，变换 的值可以发现 ， ， 均能够成立， 不可能
成立.
故选：B.
8. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，若 存在最小
值且最小值不大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据 存在最小值分析出 ，再根据 最小值不大于 列出关于 的不等式即
可求解.
【详解】将直线 变形为 ，
则可知直线恒过定点 ，且 ，
若 ，则直线可和圆 相切，如图所示，此时 重合，若直线与圆 交于不同的两点 ，
则 可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 在圆 内，直线与圆 一定交于两点 ，此时对于任意给定的半径 ，
根据圆的性质，当 时，弦 最短， 最小，此时弦长 ，
在 中，当 时，此时 ，
由题意，已知 最小值不大于 ，则最小值对应的弦 满足 ，
即 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体 中，点 分别为棱 的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面 D.
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、直线方向向量与平面法向量的关系
逐一判断即可.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.
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学科网（北京）股份有限公司A：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 不成立，故本选项说法不正确；
B：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ，因此本选项说法正确；
C：设平面 的法向量为 ，
因为 ，所以 ，
于是有 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因此本选项说法正确；
D：因为 ，所以 ，而 ，
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学科网（北京）股份有限公司显然不存在实数 ，使得 成立，所以 不成立，因此本选项说法不正确，
故选：BC
10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的
轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线 为坐
标原点，一条平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射，再经过 上的另一点 反射
后沿直线 射出，则（ ）
A.
B. 是一个钝角三角形
C. 若延长 交直线 于点 ，则点 在直线 上
D. 抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成的角相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题目条件，依次求得 ， ， 的坐标，进而求出 ， ， ，可判断选项A和
B；求出直线 方程进而求出 的坐标，可判断选项C；通过导数求出切线方程，并根据平面几何知识，
三角形的等边对等角及平行线同位角内错角相等，可判断选项D.
【详解】
由抛物线 的方程 可知，其焦点 的坐标为 .由题目可知， 轴， ，故点 的
纵坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司设点 坐标 ，又因为点 在抛物线 上，故 ，解得 ，故 .由题意可知，平
行于 轴的光线 经抛物线反射后会集中于焦点 ，因此直线 经过点 .
直线 斜率为 ，因此直线 的方程为 .
直线 与抛物线 交于 ， 两点，联立方程 ，解得 ，
因此 ，故A选项错误.
因为 ， .
所以 ，所以 .
因此 是钝角三角形.故选项B正确.
由 两点坐标可知，直线 的方程为 .
设直线 与直线 相交于 ，
联立 ，解得 .
又因为光线 经抛物线 的焦点 ，故经过点 反射后，直线 平行于 轴.
因此 .故点 在直线 上.故选项C正确.
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学科网（北京）股份有限公司当 时，抛物线 的方程可表示为 .
求导得 ，故过 作抛物线的切线斜率为 .故该切线方程为 .
设该切线在点 上方有一点 ，且与 轴相交于 .易知 .
故 ， ，因此 ，所以 ，
又因为 轴，所以 ， ，故 ，
即点 处的切线分别与直线 、 所成的角相等.故选项D正确.
故选：BCD
11. 在 中， 是角 的对应边，满足 ，下列说法正确的
是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 的面积最大值为
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】公众号：高中试卷君
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先判断 ，结合勾股定理即可判断A；利用基本不等式可判断B；由 ，则
，结合 ，即得 ，可求出 ，结合三角形面
积公式 ，可判断C；由条件 ，可求得A的值，可得 的关
系，可判断D.
详解】由 ，可得 ，
【
即得 ，
即得 ，
则 ，
若 ，则 ，则可得 ，
令 ，则 ，
这是不可能的，从而可知 ；
对于A，由于 ，故 ，
故
，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，在 中， ，故 均为锐角且互余，
则 ，
故 为定值1，B错误；
对于C， ，且 ，
由 ，则 ，结合 ，
当且仅当 时取等号，
得 ，解得 （负值舍去），
又 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的面积最大值为 ，C正确；
对于D，由于 ，则 ，故由 ，知 ，
结合 ，得 ，即 ，
由于 ，故 或 ，即 或 ，
当 时， ，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 ，故D错误，
故选：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点求出 ，利用公
切线斜率相等求出 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由 ，得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 ，得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
故切线方程为 ，即 ，
因两切线为同一条直线，方程相同，则 ，解得 ．
故答案为：1
13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，等比数列 的首项为 ，若 ，则
的值为_____．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得 ，进而得 ，从而有 ，即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
又等比数列 的首项为 ，且 ，所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
故答案为： .
14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件
，抛掷 次后事件 发生奇数次的概率记为 ，则 _____， _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据 次独立重复实验事件 发生的概率为 ，构造二项式应用赋值法分别计算即可.
【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次， ；
，
抛掷n次后事件A发生 ，
抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
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学科网（北京）股份有限公司构造二项式
，
当 为奇数时，
令 ， ，
令 ，
，
两式作差得 ，
可得 ，
因为 ，所以 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了 名患者进行
调查，得到如下列联表：
疾病类型
性别 合计
甲型病 乙型病
男
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学科网（北京）股份有限公司女
合计
（1）根据小概率值 的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求 的最小
值；
（2）现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种
3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接
种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附
，
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）18； （2）33120.
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）根据列联表中的数据求得 的值，根据小概率值 的独立性检验可得 ，
求解得答案；
（2）设每人接种疫苗的费用为 ，其可能的取值为 ，求出 取值对应的概率，分布列，得到每人接
种疫苗的费用的均值，进而求得1000人接种疫苗总费用的期望.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，得到 ，
因为根据小概率值 的独立性检验，认为“所患疾病的类型与性别”有关，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
因为 ，结合列联表中各式均为整数，
所以 的最小整数值为18.
【小问2详解】
设每人接种疫苗的费用为 ，其可能的取值为 ，
所以 ， ，
所以 的分布列为
30 60
所以 的期望 ，
估计1000人接种疫苗总费用的期望为 元.
16. 设数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明： 为等差数列；
（2）数列 满足 ，当 ，且 时，求 的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据 的关系和等比数列的定义可得 是等比数列，得出 的通项公式，进而利
用等差数列的定义证明 为等差数列；
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学科网（北京）股份有限公司.
（2）求得 ，令 ，利用错位相减法求得 ，可证得 单调递增，由此可求得结果
【
小问1详解】
由题知，
当 时， ，即 ，可得 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，可得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
， ，
，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列.
【小问2详解】
当 ， ，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
，
由 得： ，
即 ，
所以 .
，
可得 ，则 单调递增.
， ，
，
， ，
因为 单调递增，所以，当 时， ；当 时， ，
由 ，可得 ，
故所求 的最小值为6．
17. 如图所示，正四棱锥 中，点 是棱 的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）已知异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
（i）求二面角 的正弦值；
（ii）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ．若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i） ；（ii）存在， .
【解析】
【分析】（1）根据中位线得出 ，从而可得 平面 ；
（2）设 ，根据向量法结合异面直线 与 所成角的余弦值为 得出 ，进而求
所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解；
（3）假设存在点F，设 ，使 平面 ，计算得出 .
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司连接 ， ，连接 ，因为 是 中点，点 是棱 的中点，
则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
（i）
因为 平面 ， ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，
则 ，
所以 ，又异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 ，故 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，得 ，取 ，得 ．
设二面角 的平面角为 ，观察图形可知 为锐角，
所以 ， ；
（ii）设线段 上是否存在点 ，且 ，
因为 ，
设 ， ，
因为 ，
又因 为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
当 时， 平面 ，所以 平面 ，
所以当 时， 平面 ；
18. 设椭圆 的右顶点为 ，上焦点为 ，直线 与椭圆交于不同于 的两点 ， ．
（1）是否存在 ，使 为 的重心，试说明理由；
（2）已知 ，
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学科网（北京）股份有限公司（i）证明： 恒过定点；
（ii）设点 在 上，且满足 ， 是椭圆上 的动点，求 的最大值．
【答案】（1）不存在 ，使 为 的重心，理由见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii） 的最大值为 .
【解析】
【分析】（1）利用反证法进行证明即可.
（2）（i）设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，通过 ，进行计算即可.
（ii）根据 ，可知 ，点 在以 为直径的圆上，对 是否为 进行讨论即可.
【小问1详解】
不存在 ，使 为 的重心，根据题意 ， ，
设 ， ，假设存在 ，设直线 的斜率为 ，使 为 的重心，
所以 ，解得 ，
又 ， 两点为椭圆上的点，则 ，两式相减得 ，所以 ，
设 ， 两点中点为 ，则 坐标为 ，故 ，
所以直线 为 ，即直线 ： ，
将直线 代入椭圆方程 ，得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得到 ，则其判别式为 ，
所以直线 与椭圆无两个交点，故不存在直线 ，使 为 的重心.
【小问2详解】
（i）设直线 ： ，与椭圆方程 ，联立得 ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
代入得 ，解得 或 ，
因为直线 与椭圆交于不同于 的两点，所以 ， ，则 恒过定点 .
（ii）已知直线 ： ，设 ，由 ，知 ，
所以点 在以 为直径的圆上，且圆心 ，半径 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以椭圆上一点到圆心的最大距离为
，
所以当 时，最大距离为 ，所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
19. 已知函数 ．
（1）当 的最小值为0时，求实数 的值；
（2）给定 ，证明： 存在一个大于 的零点 ，且 ；
（3）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）利用导数含参讨论函数的单调性，研究最值得出 ，构造函数
研究其单调性解方程求参数即可；
（ 2 ） 结 合 （ 1 ） 的 结 论 及 零 点 存 在 性 定 理 得 出 ， 再 构 造 函 数 证
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学科网（北京）股份有限公司，利用 的单调性即可证明；
（3）利用换元法化简不等式，先根据取点法判定 不成立，再结合 放缩，判定 成立，
最后作差函数，结合导数的定义判定 不成立即可.
【小问1详解】
由题意可知 ，
显然 时， 在定义域 上单调递减，没有最值；
则 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 的最小值为0时，即 ，
令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，即 ，
即 只有一个解 ；
【小问2详解】
由上可知 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
所以 使得 ，
因为 ，所以 ，
而
，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，即 ，所以 ，
故 ，证毕；
【小问3详解】
， 恒成立等价于
，令 ，
上述不等式化为 ，
令 ，则该函数单调递增，即 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，取 ，显然 ，与题设矛盾；
若 ，取 ，有 ，也与题设矛盾；
所以 ，
则 ，
不妨设 ，
则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，则 ，
此时满足 ；
当 时，令 ，
则 ，
由导数的意义可知 在 的极小的区域内为值为负，
则取 ，有 ，与题设矛盾；
综上所述： .
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学科网（北京）股份有限公司
