文档内容
2025—2026 学年度上学期 2023 级
8 月月考数学试卷
命题人：刘芳 审题人：熊炜
考试时间：2025年8月15日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ，若 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 或 ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
3．某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环
境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为 ，且
，其密度曲线如图所
示，则以下结论错误的是（ ）
A． 的数据较 更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过 的概率大于
D．
4．某产品的广告费用 与销售利润 的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用
与销售利润 满足经验回归方程 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 与 有正相关关系
B．
C．当 时，残差为-0.5
的
D．当广告投入金额为10万元时，该产品 销售利润 大约为29万元
1
学科网（北京）股份有限公司5．函数 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
6．“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对
中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，
若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ）
A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种
7. 为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果
显示有 的学生乘坐公共交通工具，有 的学生乘坐私家车，有 的学生选择骑行
或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有 的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有
的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有 的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选
择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于 的方程 有三个不等的实数解 ,且 ,其中 ,
为自然对数的底数,则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A. 随机变量 ，若 ， ，则
B．随机变量X服从正态分布 ， ，则
C．一组数据 的线性回归方程为 ，若 ，则
D．对于独立性检验，随机变量 的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率
越大
2
学科网（北京）股份有限公司10．已知 ，若
，则正确的是（ ）
A． B．
C． 除以6所得余数 为5 D．
11．已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 展的开式中含 的项的系数为______.
13．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买
3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有
且仅有一位的概率为 ；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E（X）＝ .
14．实数 ， 满足 ， ，则 的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知数列 的前n项和为 ，且 .正项数列 满足 且
.
（1）求数列 和数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
3
学科网（北京）股份有限公司16．已知函数 在 处 切的线与直线 平行．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，恒有 成立，求k 的取值范围.
17．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）
统计如下表所示.
成绩区间
频数 100 200 300 240 160
（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代
表）；
（2）该运动员用分层抽样的方式从 的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次
成绩中随机选2次，设成绩落在区间 的次数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成
绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动
作成功的概率为 ．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方
法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
18．已知函数 ， .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
4
学科网（北京）股份有限公司19 ． 有 编 号 为 的个 空 盒 子 ， 另 有 编 号 为 的 个 球
，现将 个球分别放入 个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，
先将1号球随机放入 个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放
置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号
对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记 号球能放入 号盒子
的概率为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 ；
（3）求 .
8 月月考数学参考答案
1—5：BDDCD
6．C
【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解；
【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有： ,
有4对相同的字母相邻的排法有： ,
8个字母的全排列为： ,
所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有： ，
故选：C
7【答案】D
【解析】
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果.
5
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为 ，
市民开私家车出行迟到的概率为 ，
市民骑行或步行出行迟到的概率为 ，
则这名市民迟到的概率为 ，
故所求的概率为 .
8．B
【分析】根据所给的方程的特征,令 进行换元,方程转化为 ,画出函数
的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.
【详解】令 ,所以由 可得 ,
设 , ,当 时, ,所以函数 单调递减,
当 时, ,所以函数 单调递增,而 ,显然当 时, ，
当 时, ，因此函数 的图象如下图所示：
6
学科网（北京）股份有限公司要想关于 的方程 有三个不等的实数解 ,且 ,
结合函数图象可知,只需关于 的方程 有两个不相等的实数根 ,且
,
,
,
.
故选B.
9.AD
10.ACD
【详解】令 ，得 ∴ ，所以A正确；
令 ∴ ，所以 ，所以B错误；
7
学科网（北京）股份有限公司由A知 ，
所以 ，
所以 除以6的余数为5，C正确；
对于D，由 ，
两边求导可得 ，
令 ，得 ，所以D正确．
故选：ACD
11【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意，设 ，可得函数 的定义域为 ，
则 ，所以函数 为奇函数，
又由 ，可得 ，即 ，
又由 ，则有 ，即 ，
可得 ，所以 是周期为4的周期函数，
对于A中，由 ，可得 ，
即 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，可得 ，
8
学科网（北京）股份有限公司又由 ，即 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，由 ，可得 ，
令 ，可得 ，解得 ，
又由 ，可得 ，所以 是周期为4的周期函数，
可得 ，所以C正确；
对于D中，由 ，则由 ， ，
则有 ，即 ，
所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
12.【答案】
13. /
【详解】空1：事件 ：随机购买3个盲盒，含哪吒且不包含敖丙， ，
事件 ：随机购买3个盲盒，恰有四个龙王中的一个：
包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为：
9
学科网（北京）股份有限公司空2：每个盲盒抽到龙王的概率为： ,每个盲盒未抽到龙王的概率为： ，
则抽到与未抽到龙王服从二项分布：
14.答案：2
【分析】由 ，可得 ，
通过研究函数 ，可得 ，然后 可化为
函数 图象上一点到直线 上一点距离的平方，据此可得答案.
【详解】
.
对于 ， ，则 在R上单调递增，
又 ，则 ，故 ，
表示函数 图象上一点到直线 上一点距离的平方，
则最小值为函数 图象与直线 平行切线上一点到直线 的距离的平方.
，令 ，
则与直线 平行切线对应的切点为： ，其到直线 距离为 .
则最小值为2.
15.【答案】（1） ；
（2）
10
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系式及等比数列的通项公式即可求解；
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
当 时， ，
当 时， ，
当 时也符合上式，
所以 ，
.
【小问2详解】
，
所以 ，
，
两式相减得 ，
，
所以 .
16.【小问1详解】
由已知可得 的定义域为 ， ，
11
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
【小问2详解】
将不等式整理得： ，可化为 ，
问题转化为在 上， 恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 ， ，
所以 在 上单调递减，
，即 ，
所以 在 上单调递减，
12
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，
所以 的取值范围是 ．
17.【小问1详解】
依题意，平均值
，
，
上四分位数落在区间 ，且等于 .
【小问2详解】
由样本数据可知，训练成绩在 之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在 中随机抽取了6次成绩，
在 之内的4次，在 之内的抽取了2次，
所以 可取的值有：0，1，2，
， ， ，
分布列为：
0 1 2
13
学科网（北京）股份有限公司.
【小问3详解】
法一：设事件 分别表示动作优化前成绩落在区间 ， ， ，
则 相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率 ，
设事件B为＂动作优化成功＂，则 ，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为： ，且事件 相互互斥，
所以在一次资格赛中入围 的概率
，
故 ，
由 解得 ，又 的取值范围是 .
法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概
率为： ，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间 或 的成绩，
14
学科网（北京）股份有限公司当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率
，
由 ，得 ，又 的取值范围是 .
18. 【小问1详解】 时， ， ，
令 ，
， ； ， ，
在 单调递减， 单调递增，
时， ， ，则f′(x)<0，
， ， 时， ，
时，f′(x)<0；x∈(0,+∞)，f′(x)>0，
∴f (x)在 单调递减，在(0,+∞)单调递增，∴f (x)的极小值为 ，无极大值.
【小问2详解】（i） ，x∈(0,+∞)
，
令 ， ，∵t'=(x+1)ex>0， 在(0,+∞)单调递增，
令 ，即 在 有2个零点 ， ，且 ， ，
，
时， ， 在 单调递增，不存在2个零点， ，
时， ； 时， ， 在 单调递减，在
单调递增， 时， ； 时， ，
， .
（ii）设 ，∵ℎ(1)=1>0， ，
15
学科网（北京）股份有限公司由（i）知， ，即证： ，即证： ，
(ae
)
， ， 在 单调递增， 即证：0= ℎ(t )> ℎ ，
2 t
1
， ，
令 ， ，
即证： ， ，
令 ， ，
， 在 单调递减，q(t )>q(e)=0，
1
∴p′ (t )>0， 在 单调递增， ，
1
19.【小问1详解】1号球放入1号盒中的概率为 ,此时2,3号球分别放入2,3号盒中；
1号球放入2号盒中的概率为 ,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为
,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述： .
【小问2详解】1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为 ，此时3号球可放入3号盒
中;1号球放入2号盒中的概率为 ,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5
16
学科网（北京）股份有限公司号，.... n 号盒中，概率为 ,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;
综上所述：
【小问3详解】1号球放入1号， 号， 号， 号，..., n 号盒中的概率为 ,
此时 k 号球可放入 k 号盒中：
1号球放入 号盒中的概率为 ,此时2号，3号，.... 号球都可以放入对应编
号的盒中，剩下编号为 的球和编号为 的空盒，
此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的
放法总数等效于将编号为 的球，按照题设规则放入编号为 的盒中
（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为
1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中：
所以 ,整理得：
,①分别用 和 替换 和 ，可
得： ,②,
17
学科网（北京）股份有限公司由①②式相减，整理得：
从而 ,
等于1号球不放在2号盒的概率，即 .
所以
【点睛】关键点点睛： 1号球放入 号盒中的关键是等效于将编号为
的球，按照题设规则放入编号为 的盒中 ，
做差运算可得 迭代得出结论..
18
学科网（北京）股份有限公司
