文档内容
湖南师大附中 2025 届模拟试卷（一）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合 ，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
联立方程组 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，
所以 ，即 中元素的个数为 2 个.
故选：B.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
第 1页/共 21页【分析】利用复数的四则运算性质结合共轭复数的定义得到 ，再利用复数的模长公式求解即可
.
【详解】因为 ，所以 ， ，
则 ，
所以 ，故 A 正确.
故选：A
3. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质求解.
【详解】因为函数 的最小正周期 ，
所以函数 的最小正周期为 .
故选：B.
4. 若 是夹角为 的单位向量，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出 ， ， ，最后利用数量积
的定义求解夹角即可.
【详解】因为 是夹角为 的单位向量， ， ，
所以 ，
，
第 2页/共 21页而 ，故 ，
，故 ，
所以 ，
而 ，解得 ，
则向量 与 的夹角为 ，故 C 正确.
故选：C
5. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线 的离心率为 ，由 求解.
【详解】由题意双曲线 ，所以 ， ，
由 计算得： ，又因为双曲线的离心率为 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，
其渐近线方程为 ．
故选：B.
6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为 1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥
的底面半径为（ ）
第 3页/共 21页A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.
【详解】
如图，根据题意，圆锥 高为 ，底面圆半径 ，外接球球心为 ，半径 ，
则球心 到圆锥底面圆心 距离 ，
由 ，得 ，圆锥的体积 ，
求导得 ，
当 时， ，函数 在 上递增，
当 时， ，函数 在 上递减，
则当 时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径 .
故选：B
7. 已 知 的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， ， 则
的面积为（ ）
A. B. C. 36 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根据 求出 ，再根据余弦定理求出 ，再根据面积公式求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
第 4页/共 21页由余弦定理得： ，
即 即 ，即 ，
所以 ，
所以 的面积为 .
故选：D.
8. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则当 取到最小值时，
（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】将函数 看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分
析当 取到最小值时，直线 所在位置，从而得出 的值.
【详解】函数 在区间 上的最大值，
可看作是函数 与 在区间 上函数值之差的绝对值的最大值.
函数 在区间 上的两个端点 ,
直线 的方程为 .
设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为 ，
，令 ，解得 或 （舍去），
切点坐标为 ，代入直线方程 ，可得 ，
所以切线方程为 .
第 5页/共 21页由图像可知，直线 在函数 图象上方或下方时的 值大于直线
与函数图象相交时的 值，
所以要使 取到最小值，直线 在直线 和直线 的中间，即直线
，
此时， ，所以 .
故选：B.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆 ，直线 （其中 为参数），则下列选项正确的
是（ ）
A. 圆 的半径 B. 直线 与圆 相交
C. 直线 不可能将圆 的周长平分 D. 直线 被圆 截得的最短弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，根据条件得到圆心为 ，半径为 ，即可求解；对于 B，根据条件可得直线过
定点 ，且定点在圆内，即可求解；对于 C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于 D，
当 时，直线 被圆 截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解.
【详解】对于选项 A，由 ，得到 ，
所以圆 圆心为 ，半径为 ，所以选项 A 错误，
第 6页/共 21页对于选项 B，由 ，得到 ，
由 ，得到 ，所以直线过点 ，
又 ，所以点 在圆内，故直线 与圆 相交，则选项 B 正确，
对于选项 C，当直线 过点 ，即 时，直线 平分圆 的周长，所以选项
C 错误，
对于选项 D，当 时，圆心到直线 的距离最大，直线 被圆 截得的弦长最短，
此时弦长为 ，所以选项 D 正确，
故选：BD.
10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数 和双曲余
弦函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数 的值域为
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数的奇偶性即可验证 A；结合指数运算计算化简即可判断 B；化简指数运算及指数函数值域即
可判断 C.首先判断函数 的单调性，再设 ，判断出 在 的单调递增，
且 ，得出 ，即可判断 D；
【详解】对于 A， ，定义域为 ， ，
所以 为奇函数，
第 7页/共 21页，定义域 ， ，
所以 为偶函数，故 A 正确；
对于 B：
，故 B 错误；
对于 C： ， ，
，所以 ， ，
所以 ，C 选项正确；
对于 D：因 ，
所以 在 上单调递增，
设 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ， ，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应
关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的 作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角
所对的弦长记为 ．例如 180°圆心角所对弦长等于直径，即 120 个度量单位，所以
第 8页/共 21页．则（ ）
A. crd B. 若 ，则
C. D. crd
【答案】AC
【解析】
【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解.
【详解】因为 ，所以 ，
对于 A， 圆心角所对弦长为 ，故 A 正确，‘’
对于 B，若 ，则 ，故 ，B 错误，
对于 C，圆心角 所对的弦长为 ，故 ，C 正确，
对于 D，根据三角形两边之和大于第三边可知： 所对的弦长之和大于 所对的弦长，
所以 ，（ ），故 D 错误，
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若指数函数 满足 ，则 _____．
【答案】27
【解析】
【分析】令 且 ，根据题设得 ，即可求解.
【详解】令 且 ，因为 ，
则 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，则 ，
故答案为： .
13. 从编号 的 15 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 ：“第一次抽到数字为 5 的倍数”，事件
：“第二次抽到的数字小于第一次”，则 _____．
【答案】
第 9页/共 21页【解析】
【分析】利用分类计数加法原理，根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】由题意，在 1 15 这 15 个数字中，5 的倍数有 5、10、15，共 3 个，所以事件 发生的概率
， ∼
记事件 表示 “第一次抽到数字为 5 的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”.
若第一次抽到 5，那么第二次从剩下 14 张卡片中抽小于 5 的卡片，有 4 种抽法；
若第一次抽到 10，那么第二次从剩下 14 张卡片中抽小于 10 的卡片，有 9 种抽法；
若第一次抽到 15，那么第二次从剩下 14 张卡片中抽小于 15 的卡片，有 14 种抽法.
所以 .
根据条件概率公式， .
故答案为： .
14. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上不同的两点， 为坐标原点，若
，垂足为 ，则 面积的最大值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】求出抛物线焦点的坐标，设出直线 AB 的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及 求
出 n 的值，然后联立直线 OM 与直线 AB 的方程求出点 M 的坐标，代入面积公式 ，最
后化简并利用基本不等式求最大值.
【详解】由题意知 ，可设直线 AB 的方程为 ， ，
第 10页/共 21页将 代入 ，可得 ，即 ，
则 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，化简得 ，
解得 或 （ 时直线过原点，舍去），
则直线 AB 的方程为 ，
因为 ，所以设直线 OM 方程为： ，
联立两直线方程 ，
所以 ，
因为函数 为奇函数，且当 时， （当且仅当 时等号成立），
所以 ，则 （当且仅当 时等号成立）.
所以 面积的最大值为 1.
故答案为：1
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了 100 名观看该档节目的观众
对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为 ，评价结果分为
“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．
评价
性 合
喜 不喜
别 计
欢 欢
第 11页/共 21页男
15
性
女
性
合
50 100
计
（1）根据所给数据，完成上面的 列联表；
（2）依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价 男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取 3
人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，评
价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，“建言”被采用奖励 100 元，“建言”不被采用奖励
50 元，记 3 人获得的总奖金为 ，求 的分布列及数学期望．
附： ．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析
（2）能认为性别因素与评价结果有关系
（3）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意求得男性和女性的人数，进而得到 的列联表即可.
（2）根据 的列联表的数据，求得 的值，结合附表，进行独立性检验求解即可.
（3）结合题意求出概率，进而列出分布列，求解数学期望即可
【小问 1 详解】
第 12页/共 21页由题意，男性有 人，女性有 人，
可得 的列联表，如下表所示：
喜欢 不喜欢 合计
男性 15 30 45
女生 35 20 55
合计 50 50 100
【小问 2 详解】
设零假设 性别因素与评价结果无关，
由 的列联表，可得 ，
所以依据 的独立性检验，可推断 不成立，
即能认为性别因素与评价结果有关系.
【小问 3 详解】
由题意得随机选取的 3 人中，不喜欢的有 人，喜欢的有 人，
则 的所有取值可能为 ，
且评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，
评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ，
则 ， ，
， ，
故分布列如下表：
故数学期望为 .
第 13页/共 21页16. 已知函数 ，设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为
，且 ．
（1）用 表示 ；
（2）若 ，记 ，证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）求导函数，将切点横坐标代入，得切线的斜率，写出切线方程并计算其与 x 轴交点的横坐标，
写出 即可.
（2）由 与 的关系，得 与 的关系，证明数列成等比，先写出 的通项公式，再利用 写
出 的通项公式即可.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 代入方程，得 ，
因为 为正实数，所以 为正实数， .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
，由题意得 ，
则 ，而 ，
第 14页/共 21页则 ，故 为公比为 的等比数列，且 ，
得到 ，故 ，
两边取指数得到 ，解得 .
17. 如图，在直三棱柱 中， 是四边形 （不
含边界）内的动点且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出 ，再由线面垂直的性质有 、 ，进
而有 平面 .；
（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设 ，应用向量法
求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围.
【小问 1 详解】
因为 所以 ，
所以 ，所以 ，
第 15页/共 21页由三棱柱 是直三棱柱，得 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由于 ，且 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，且 是四边形 （不含边界）内的动点, ．
所以 ，即 ，
设 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ．
第 16页/共 21页设平面 与平面 所成角为
则 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以 .
所以平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围 .
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆 的上、下顶点， 为坐标原点，
直线 与椭圆 交于不同的两点 .
（1）设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
（2）若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值.
（2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，根据韦达定理表示根与系数的关系，联立直线 与直线
的方程，化简可求得交点在定直线上.
【小问 1 详解】
设 ，则 ，
第 17页/共 21页则由 两式相减可得 ，即 ，
所以
为定值.
【小问 2 详解】
由题意可得， 解得 ，所以椭圆方程 ，
则 ，
联立方程 可得 ，
则 ，得 ，
故 ，
直线 的方程为 ，①
直线 的方程为 ，②
设直线 与直线 的交点 ，
则由①②两式相减可得 ，代入①可得，
，即 .
所以点 在定直线 上.
第 18页/共 21页19. 已知函数 ．
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）当 时，求 在 上的零点个数；
（3）当 时，设 ，是否存在 ，使得曲线 在点
处的切线与 有 3 个交点？若存在，探究满足条件的 的个数；若不存在，说明理由
．
【答案】（1） ， ；
（2）存在 2 个零点； （3）所以存在唯一实数 ，使得曲线 在点 处的切线
与 有 3 个交点.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求出 的导数，判断得 的单调性，进而可求得 的最小值，通过判断其最小值的正负，
即可判断其零点个数；
（3）求出函数 的导数，由曲线 在点 处的切线方程，构造函数 ，利用导
数探讨极值，由 有 3 个零点建立关系，即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
因为 在 处的切线为 ，即 ，
代入得 ，解得 ， .
【小问 2 详解】
当 时， ，得 ，令 ，
第 19页/共 21页即 ，结合函数图像可知，当且仅当 时， 成立，即
①，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时 取得最小值，即 ，
将①代入，得 ，
令 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以当 时，求 在 上存在 2 个零点.
【小问 3 详解】
当 时， ，
所以 ， ， ， ，
切线方程： ，即 ，
整理得 ，
令 ，
第 20页/共 21页，
因为 ， ，
当 时， ， 为单调递增函数，
当 时， ， 为单调递减函数，
函数 所有的极大值为 ，
当 时，极大值等于 0，即 ，
当 为正整数时，极大值全部小于 0，即 在 无零点，
当 为负整数时，极大值全部大于 0，函数 所有的极小值为 ，
当 时，极小值 ，
且随着 的增大，极小值 越来越小，
因此 在点 处的切线与 有 3 个交点，
等价于 ，即 有解，
令 ，
则 ，
因此 为 上的严格增函数，
因为 ， ，
于是存在唯一实数 ，满足 ，
所以存在唯一实数 ，使得曲线 在点 处的切线与 有 3 个交点.
第 21页/共 21页
