文档内容
衡阳市一中 2026 届高三第一次月考
数学试卷
总分：150分 时量：120分钟 考试内容：高考全部内容
命题：邹战友 彭玉锋 审题：邹战友 彭玉锋
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填
写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．
不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知全集为 ，且集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解对数不等式和分数不等式，得出集合 ，再根据交集和补集的定义即可得出答案.
【详解】 ，所以 ，
或 ，所以 ， .
故选：C
2. 复数z满足 ，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解.
【详解】 ，复数z在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
3. 命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出命题“ ”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由 可得： ，
当 时， ，所以 ，
则 的取值范围为 ，
满足其一个充分不必要条件的集合为 ，则： 为 的真子集,
故其一个充分不必要条件是： .
故选:C.
4. 定义在R上的函数 满足 ，且 为奇函数．当 时，
，则 （ ）
A. 1 B. －1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到 及 ，从而得到函数的一个周期为
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学科网（北京）股份有限公司再根据 求解即可.
【详解】因为函数 满足 ，
所以 ，即 ①.
又因为 为奇函数，所以 ，
即 ②.
由①②知 ，所以 ，
即 ，
所以函数 的一个周期为 ，所以 ，
因为 时， ，所以 ，
所以 .
故选：A.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两角和的余弦公式结合商数关系求出 ，进而可求出 ，再根据两角和的正切公式
即可得解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
6. 已知焦点在y轴上的双曲线 的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A. 1 B. C. －4 D. 1或－4
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解.
【详解】因为双曲线 的焦点在y轴上，
.
所以 ， ，所以 ，即
又双曲线 两条渐近线互相垂直，所以 ，
的
即 ，解得 或 （舍）.
故选：C.
7. 如图，在 中， ，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设
，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量基本定理得到 ，由共线定理的推论得到方程，求出 ，
然后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ， ， 三点共线，所以 .
由于 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故 的最小值为 .
故选：B
8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥
的底面半径为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.
【详解】
如图，根据题意，圆锥 高为 ，底面圆半径 ，外接球球心为 ，半径 ，
则球心 到圆锥底面圆心 距离 ，
由 ，得 ，圆锥的体积 ，
求导得 ，
当 时， ，函数 在 上递增，
当 时， ，函数 在 上递减，
则当 时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将函数 图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
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学科网（北京）股份有限公司的图象，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点 对称 D. 的图象关于直线 对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出变换之后的 解析式，依次代入选项判断可得结果.
【详解】依题意可得 ，
因为 ，故A正确；
，故B错误；
由 ，可知点 为对称中心，由 ，可知在 处取最小值，故C，D均正
确.
故选：ACD
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 是 的准线与 轴的
交点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则直线 的斜率为 B.
C. ( 为坐标原点) D. 当 取最小值时，
【答案】ABD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设出直线 ， ， ，根据题意求出 和 的坐标，得到斜率判定
A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定
义转化长度，结合基本不等式计算判定D.
【详解】
依题意 ，设直线 ， ， ，
联立 得 ，则 ， ，
则 ，解得 或 ，则 ， 或 ， ，
则直线 的斜率为 .故A正确；
，
当且仅当 时等号成立.故B正确；
因为 ，所以 ，故C错误；
， ，则 ， ，由抛物线的定义可得 ，
，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时取等号，此时 ，故D正确.
故选：ABD
11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则下列
结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ， .
因为 与 为互斥事件，所以 ，
所以
，所以 ，
故 ，故A正确；
对于B， ，
故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C, ， ，
所以 ，故C错误；
对于D， ，故D正确，
.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知 的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系
数和为_________(用数字作答)．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得 ，可求得 ，再用赋值法，令 即可得答案.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
所以展开式中第2项的系数为 ，第2项的二项式系数为 ，
所以 ，解得 ．
令 ，二项式 展开式中的所有项的系数之和为 .
故答案为： .
13. 现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名
方案有__________种(用数字作答)．
【答案】14
【解析】
【分析】根据要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，可将4名同学分为“1+3”和“2+2”两类，通
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学科网（北京）股份有限公司过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案.
【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则组合为：“1+3”和“2+2”两类；
（1）若为“1+3”组合，将4名同学分为两组，一组1人，另一组3人，有 种分组方式；
将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有
种；
（2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组2人，另一组也为2人，有 种分组方式；
将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有
种；
由分类加法计数原理，则不同的报名方式有8+6=14种.
故答案为：14
14. 对于函数 ，若存在 使 ，则称点 是曲线 的“优美
点”，已知 ，若曲线 存在“优美点”，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“优美点”的定义，可得 时的函数图象关于原点对称的图象与 有交点，
转化为方程有解，分离参数后利用基本不等式即可求得结果.
【详解】若函数 存在“优美点”，则函数 图象上存在关于原点对称的点，
当 时， ，将其图象关于原点对称，
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学科网（北京）股份有限公司所得图象的解析式为 .
所以只要射线 与 的图象有公共点即可，
由 得 ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 满足 ， ，且对任意的 ， ，都有 .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义证明 为等差数列，再结合 求出 得到 的首项，
利用等差数列的定义求出 的通项公式；
（2）结合（1）求出 ，再代入求出 的通项公式，再利用裂项相消法求出前 项和为 ，即
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学科网（北京）股份有限公司可证明 .
【小问1详解】
依题意，对任意的 ， ，都有 ，
故对任意的 ， ， ，
所以对任意的 ， ， ，即 为定值，
所以数列 是公差为2的等差数列，
据 ， ，得 ， ，
所以 ，解得 ，故 ，
所以
【小问2详解】
由（1）可知， ，
所以当 ， ，
，
又 符合上式，所以
所以 ，
故
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以
16. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，分 ， 结合导数正负求单调性；
（2）由（1）知 时， 在 上单调递增，不符合题意，可知 ，若 有两个零点，
由（1）知 ，分别证明 在 有一个零点.，
在 有一个零点.
【小问1详解】
的定义域为 ，
若 ，则 ，则 在 单调递减；
若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 单调递增，
所以 ， ，故 没有零点；
③当 时，由于 ，即 ，
又 ，
故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，则 ，
故 在 有一个零点.
综上， 的取值范围为 .
17. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面
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学科网（北京）股份有限公司为直角梯形，其中 ， ， ．
（1）求证： ．
（2）求线段 中点 到平面 的距离．
（3）线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存 在，
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得出 平面 ，再根据线面垂直的性质即可证明；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解；
（3）令 ， ，由面面夹角的向量公式求得 ，即可求解 ．
【小问1详解】
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
平面 ，
平面 ， ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三角形，得 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，由 ， ，得四边形 是平行四边形，
于是 ，而 ，则 ，直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，
所以 到平面 的距离 ．
【小问3详解】
令 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司取 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
于是， ，
化简得 ，又 ，解得 ，即 ，
所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，此时 ．
18. 某公司有意在小明、小红、小强、小真这 人中随机选取 人参加面试.面试分为初试和复试且采用积
分制，其中小明和小红通过初试的概率均为 ，小强和小真通过初试的概率均为 ，小明和小红通过复试
的概率均为 ，小强和小真通过复试的概率均为 ，通过初试考核记 分，通过复试考核记 分，本次面
试满分为 分，且初试未通过者不能参加复试.
（1）若从这 人中随机选取 人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于 分的概率；
（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为 ，求 的分布列以及
数学期望 .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）选出 人的情况分三种：①小明、小红参加面试；②小明、小红或小强、小真各一人参加
面试；③小强、小真参加面试.计算每种情况下的概率相加即可得到结果.
（2）分析 的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果.
【小问1详解】
记选出小明、小红参加面试为事件 ，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件 ，选出小
强、小真参加面试为事件 ，这两人本次面试的得分之和不低于 分为事件 ，
则 ， ， ，
【小问2详解】
的可能取值为 ，
故 ， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司， .
故 的分布列为：
0 6 10 12 16 20
则 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上，直线 与 交于
两点，点 关于 轴的对称点为 为坐标原点．
（1）求 的方程；
（2）证明： 的面积为定值；
（3）若点 在直线 的右侧，求直线 在 轴上的截距的最小值．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出关于 的方程组即可求出 的方程.
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证.
（3）在 时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出 的
情况即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由椭圆 的离心率为 ，得 ，即 ，
由点 在 上，得 ，联立解得 ，
所以 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
由 消去 并整理得 ，
， ，
，
所以 的面积为定值.
【小问3详解】
由点 在直线 的右侧，得 ，设直线 与 轴的交点为 ，
当 时，点 中有一个点与椭圆 的上顶点重合，此时 即为 的上顶点， ，
当 时，由 共线，得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，而
，当且仅当 时取等号， ，
所以直线 在 轴上的截距的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
