文档内容
2009 年重庆高考理科数学试题及答案
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码
上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的
概率
以 为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
2．已知复数 的实部为 ，虚部为2，则 =（ ）
A． B． C． D．
3． 的展开式中 的系数是（ ）A．16 B．70 C．560 D．1120
4．已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全
相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设 的三个内角 ，向量 ， ，若
，则 =（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，其中 ，则 的值为（ ）
A． 6 B． C． D．
9．已知二面角 的大小为 ， 为空间中任意一点，则过点 且与平面 和平面
所成的角都是 的直线的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程
恰有5个实数解，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若 ， ，则 ．
12．若 是奇函数，则
13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种（用数字作答）．
14．设 ， ， ， ，则数列 的通项公式 =
.
15．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双
曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时
的最大值．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；
（Ⅱ）成活的株数 的分布列与期望．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数 在 处取得极值，且曲线 在点
处的切线垂直于直线 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若函数 ，讨论 的单调性．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥 中， 且 ；平面 平面
， ； 为 的中点， ．求：
（Ⅰ）点 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的大小．20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点 为中心的椭圆的一条准线方程为 ，离心率 ， 是椭圆
上的动点．
（Ⅰ）若 的坐标分别是 ，求 的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点， 是点 在 轴
上的射影，点 满足条件： ， ．求线段 的中点 的轨迹方
程；
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设 个不全相等的正数 依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若 ，且 是公差为 的等差数列，而
是 公 比 为 的 等 比 数 列 ； 数 列 的 前 项 和 满 足 ：
，求通项 ；
（Ⅱ）若每个数 是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
；绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、 选择题：每小题5分，满分50分
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B
二．填空题：每小题5分，满分25分
(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )
三．解答题：满分75分
(16)（本小题13分）
解：（Ⅰ） =
=
=
故 的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：
在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点 .
由题设条件，点 在 的图象上，从而
=
=
当 时， ，因此 在区间 上的最大值为解法二：
因区间 关于x = 1的对称区间为 ，
且 与 的图象关于x = 1对称，
故 在 上的最大值为 在 上的最大值
由（Ⅰ）知 ＝
当 时，
因此 在 上的最大值为
(17)（本小题13分）
解：设 表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2
表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2
则 ， 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
, .
据此算得
, , .
, , .
(Ⅰ) 所求概率为
.
(Ⅱ) 解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且
,
,
= ,
.
.
综上知 有分布列
0 1 2 3 4
P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9
从而， 的期望为
（株）
解法二：
分布列的求法同上
令 分别表示甲乙两种树成活的株数，则
故有
从而知
18、（本小题13分）解：（Ⅰ）因
又 在x=0处取得极限值，故 从而
由曲线y= 在（1，f（1））处的切线与直线 相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令 ，有
（1）当 ，即当 时， 在 R上恒成立，故函数 在R上位增
函数
（2）当 ，即当 时，有 ，从而当 时，
在R上为增函数
（3）当 ，即当 时，方程 有两个不相等实根
当 时， ，故 在 上为增函数；
当 时， 故 上
为减函数；
当 时， 故 上为增函数（19）（本小题12分）
解法一：
（Ⅰ）因为AD//BC,且 所以 从而A点到平面 的距离
等于D点到平面 的距离。
因为平面 故 ,从而 ，由
AD//BC，得 ,又由 知 ，从而 为点A到平面
的距离，因此在 中，
（Ⅱ）如答（19）图1，过 点作 交 于点 ，又过 点作
,交 于 ，故 为二面角 的
平面角，记为 ，过 点作EF//BC,交 于点F,连结GF,因平
面 , 故
.
由于E为BS边中点，故 ,在 中，
,因 ，又 ，故由三垂线定
理的逆定理得 ,从而又可得 因此 ，而在
中，
故
在 中， ，可得 ，故所求二面角的大小为解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，
设 ，因平面 ，故 ，即
点A在 平面上，因此
又 解得
从而
因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平
面 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为
.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形 ,
知
设 ，则 ＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）
在CD上取点G，设G（ ），使GE⊥CD .
由 故
①
又点G在直线CD上，即 ，由 =（ ），则有 ②
联立①、②，解得G＝ ,故 = .
又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量 与向量 所成的角，记此角
为 .
因为 = ， ,
所以
故所求的二面角的大小为 .
(20)（本小题12分）
解：
（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为 （a ＞b＞ 0 ）.
设 ，由准线方程 得 ，由 得 ，
解得 ，从而b = 1，椭圆的方程为
又易知C，D两点是椭圆 的焦点，所以,
从而 ，当且仅当 ，即点M的坐标为
时上式取等号， 的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设
.因为 ，故①
因为
所以 . ②
记P点的坐标为 ，因为P是BQ的中点
所以
由因为 ，结合①，②得
故动点P的轨迹方程为
（21）（本小题12分）
解：（I）因 是公比为d的等比数列，从而 由
，故
，即
解得 或 （舍去）。因此又 ，解得
从而当 时，
当 时，由 是公比为d的等比数列得
因此
（II）由题意 得
由①得 ④
由①，②，③得 ，
故 . ⑤
又 ，故有
.⑥
下面反证法证明：
若不然，设
若取 即 ，则由⑥得 ，而由③得得 由②得 而
④及⑥可推得 （ ）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可推得 （ ）与题设矛盾,
因此 为6的倍数
由均值不等式得
由上面三组数内必有一组不相等（否则 ，从而 与
题设矛盾），故等号不成立，从而
又 ，由④和⑥得
因此由⑤得
