文档内容
2010 年重庆高考理科数学真题及答案
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一
项是符合题目要求的.
（1）在等比数列 中， ，则公比 的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、8
（2）已知向量 满足 ，则 （ ）
A、0 B、 C、4 D、8
（3） （ ）
A、 B、 C、 D、1
（4）设变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
（5）函数 的图象（ ）
A、关于原点对称 B、关于直线 对称 y
C、关于 轴对称 D、关于 轴对称
1
（6）已知函数
的部分图象如题（6）图所示，则（ ） 7 x
O
A、 B、 3 12
题（6）图C、 D、
（7）已知 ，则 的最小值是（ ）
A、3 B、4 C、 D、
（8）直线 与圆心为D的圆 交于A、B两点，则直线AD
与BD的倾斜角之和为（ ）
A、 B、 C、 D、
（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员
工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共
有（ ）
A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种
（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的
平面内的轨迹是（ ）
A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
（11）已知复数 则 ____________.
（12）设 ，若 ，则实数 _________.
（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
，则该队员每次罚球的命中率为_____________.
（14）已知以 为焦点的抛物线 上的两点 满足 ，则弦 的中点到
准线的距离为___________.
（15）已知函数 满足： ，则
__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数 .（Ⅰ）求 的值域；
（ Ⅱ ） 记 的 内 角 的 对 边 长 分 别 为 ， 若
，求 的值.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在
一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数 的分布列与期望.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
已知函数 ，其中实数 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 在 处取得极值，试讨论 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，四棱锥 中，底面ABCD为矩形， 底面 ， ，
点 是棱 的中点.
（Ⅰ）求直线 与平面 的距离；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
P
E
A D
B
C
题（19）图
y
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
l
已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线2 的离心率 . G
（Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（20）图，已知过点 的直线 与过点 （其
N
x
O
H
M l E
1
题（20）图中 ）的直线 的交点 在双曲线 上，直线 与两条渐近线分别交
于 两点，求 的面积.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
在数列 中， ，其中实数 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若对一切 有 ，求 的取值范围.绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一．选择题：每小题5分，满分 50分.
（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）D
（7）B （8）C （9）C （10）D
二．填空题：每小题5分，满分25分.
（11） （12） （13） （14） （15）
三．解答题：满分75分.
（16）（本题13分）
解：（Ⅰ）
1 3
cosx sinxcosx1
2 2
，
因此 的值域为 .
（Ⅱ）由 得 ，即 ，又因 ，
故 .
解法一：由余弦定理 ，得 ，解得 或 .
解法二：由正弦定理 ，得 或 .
当 时， ，从而 ；
当 时， ，又 ，从而 .
故 的值为1或2.
（17）（本题13分）
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则 表示“甲、乙的序号为偶
数”，由等可能性事件的概率计算公式得
.
（Ⅱ） 的所有可能值为0，1，2，3，4，且
，
.
从而知 有分布列
0 1 2 3 4
所以，
.
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ） .
当 时， ，而 ，因此曲线 在
点 处的切线方程为 即 .
（Ⅱ） ，由（Ⅰ）知 ，
即 ，解得 .
此时 ，其定义域为 ，且
，由 得 .当或 时， ；当 且 时， .
由以上讨论知， 在区间 上是增函数，在区间 上是
P
减函数.
（19）（本题12分）
解法一：
（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形 中， 平面 ， E
故直线 与平面 的距离为点 到平面 的距离.
F
因 底面 ，故，由 知 为等腰三角
A D
形，又点 是棱 中点，故 .又在矩形
G
中， ，而 是 在底面 内的射影，由
B
C
三垂线定理得 ，从而 平面 ，故 答（19）图1
.从而 平面 ，故 之长即为直线
与平面 的距离.
（Ⅱ）过点D作 ，交CE于F，过点F作 ，交AC于G，则 为所求的二
面角的平面角.
由（Ⅰ）知 平面PAB，又 ，得 平面PAB，故 ，从而
.
在 中， .由 ，所以 为等边三角形，故F为
CE的中点，且 .
因为 平面PBC，故 ，又 ，知 ，从而 ，且G点
为AC的中点.
z
连接DG，则在 中， .
P
所以 .
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为 E轴、 轴、 轴正半轴，
建立空间直角坐标系 .
F
D
设 ，则 ， A
y
G
B
C
x 答（19）图2.
因此 ，
则 ，所以 平面PBC.
又由 知 平面PBC，故直线AD与平面
PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为 .
（Ⅱ）因为 ，则 .
设平面AEC的法向量 ，则 .
又 ，故
所以 . 可取 ，则 .
设平面DEC的法向量 ，则 .
又 ，故
所以 . 可取 ，则 .
故 .
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
（20）（本题12分）
解：（Ⅰ）设 的标准方程为 ，则由题意 ，
y
l
因此 ，
2 G
的标准方程为 .
N
的渐近线方程为 ，即 x
O Q
H
M l E
1
答（20）图和 .
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
在直线 和
上，因此有 ， ，
故点M、N均在直线 上，因此直线MN的方程为 .
设G、H分别是直线MN与渐近线 及 的交点，
由方程组 及
解得 .
设MN与 x轴的交点为 Q，则在直线 中，令 y 0得 （易知
. 注意到 ，得
.
解法二：设 ，由方程组
解得 ，
因 ，则直线MN的斜率 .
故直线MN的方程为 ，
注意到 ，因此直线MN的方程为 .
下同解法一.
（21）（本题12分）
（Ⅰ）解法一：由 ，，
，
猜测 .
下用数学归纳法证明.
当 时，等式成立；
假设当 时，等式成立，即 ，则当 时，
，
综上， 对任何 都成立.
解法二：由原式得 .
令 ，则 ，因此对 有
，
因此 ， .
又当 时上式成立.
因此 .
（Ⅱ）解法一：由 ，得
，因 ，所以 .
解此不等式得：对一切 ，有 或 ，其中
，
.
易知 ，
又由 ，知
，
因此由 对一切 成立得 .
又 ，易知 单调递增，故
对一切 成立，因此由 对一切 成立得 .
从而 的取值范围为 .
解法二：由 ，得
，
因 ，所以 对 恒成立.
记 ，下分三种情况讨论.
（ⅰ）当 即c 0或c 1时，代入验证可知只有c 1满足要求.
（ⅱ）当 时，抛物线 开口向下，因此当正整数 充分大时，
不符合题意，此时无解.（ⅲ）当 即 或 时，抛物线 开口向上，其对称轴
必在直线 的左边. 因此， 在 上是增函数.
所以要使 对 恒成立，只需 即可.
由 解得 或 .
结合 或 得 或 .
综合以上三种情况， 的取值范围为 .
