12_2024高考数学点睛密卷_全国乙(理)卷B_学生版_2024高考押题卷_132024高途全系列_26高途点睛卷_2024点睛密卷-数学

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12
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2024 年高考数学点睛密卷(全国乙理卷 B)
数 学
本试卷共5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设
2
z  ( 2  2 i) i  i 3 ，则 z  ( )
A．  2  i B．  2  i C．  1  2 i D．  1  2 i
2．已知全集U R，A{x|x 0}， B  { x |  1  x  1 } ，则{x|1x0}( )
A． A B B． (
U
A ) B C． A (
U
B ) D．
U
( A B )
3．已知单位向量e ，
1
e
2
的夹角为120，则 ( 2 e
1
 e
2
)  e
2
 ( )
A．  2 B．0 C．1 D．2
4．已知直线 y  5 x
y2 x2
是双曲线  1(a0,b0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为
a2 b2
( )
A．
5
6
B． 5 C． 6 D．
3
5
0
5．已知函数 f(x)|x1|，公差不为0的等差数列{a }的前n项和为S ．若 f(a ) f(a )，
n n 1012 1013
则S ( )
2024
A．1012 B．2024 C．3036 D．40483
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6．执行下边的程序框图，如果输入的是
3
n  1 ， S  0 ，输出的结果为
4
4
0
0
9
9
5
6
，则判断框中
“ ”应填入的是 ( )
A．n13 B．n12 C．n12 D．n11
7．已知 l ， m 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且 l  ∥ ， m   ，现有下列
四个结论：
①若  ∥ ，则 m   ； ②若 l  m ，则 l  ∥ ；
③若   ，则 l  m ； ④若 m  ∥ ，则   ．
其中所有正确结论的序号是( )
A．①④ B．②④ C．①②③ D．②③
8．设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一
球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白
球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件 C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确
的是 ( )
A．事件 B 与事件 C 是互斥事件 B．事件 A 与事件 C 是独立事件
C． P ( C | A ) 
3
7
D． P ( A ) 
1
3
9．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面 A
1
A D D
1
为梯形，AD3AD ，侧棱长
1 1
A B  8 ．当
侧面ABCD水平放置时，液面与棱 A A
1
的交点恰为AA 的中点．当底面
1
A
1
A D D
1
水平放置时，
液面高为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．64
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10．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符
就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数
4
y 4 s in ( x ) 0 , | |
2
     

 
 
的图象上，
且图象过点
 
2 4
, 2

，相邻最大值与最小值之间的水平距离为

2
，则使得函数单调递增的区
间是 ( )
A．



3
, 

4

B．
 
8
,
5
2

4

C．
 5
2

4
,
3 
8

D．
 5 
8
,
3 
4

11．过抛物线y2 2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 6 0  的直线与抛物线交于A， B 两点，其
中点 A 在第一象限，则
|
|
F
F
A
B
|
|
 ( )
A．3 B． 3 C．2 D．4
12．已知函数 f ( x )  4 x  ln x  2 的零点为 x
1
， g ( x ) 存在零点x ，使
2
| x
1
 x
2
|
1
2
，则 g ( x ) 不
能是 ( )
A． g ( x )  3 x 3  2 x 2  3 x  2 B． g ( x )  4 x  1  2  x  1
C． g ( x )  c o s

x 
5
1

2

D． g ( x )  lg ( 5 x  1 )
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从0，2，4，6中任意选1个数字，从1，3，5中任意选2个数字，得到没有重复数字
的三位数．在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知 A (1 , 2 ) ， B ( 3 , 2 ) ， C ( 3 , 0 ) ，则△ABC的外接圆的标准方程
为 ．
15．已知函数 f ( x )  2 s in

4 x 

3

．若存在x ，
1
x
2


0 ,

4

，使不等式 f(x)m f(x )成立，
1 2
则 m 的取值范围是 ．
16．已知 f ( x ) 
1
8
x 3  3 a x 2  8 a x  1 0 0 在 ( 2 , 6 ) 上只有一个极值点，则实数 a 的取值范围
为 ．5
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三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知函数
5
f ( x ) A s in ( x ) A 0 , 0 , 0
2
     

   
 
的最小正周期为  ．
(1)若 A  1 ， f ( 0 ) 
2
2
，求的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定 f(x)的解析式，并求
函数 h ( x )  f ( x )  2 c o s 2 x 的单调递增区间．
条件①： f(x)的最大值为2；
条件②： f(x)的图象关于点
 5
1
π
2
,0

中心对称；
条件③： f ( x ) 的图象经过点
 
1 2
, 3

．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，
连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，
否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，
然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球
试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过
1
2
，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记
t 表示成功时抽球试验的轮次数， y 表示对应的人数，部分统计数据如下：
t 1 2 3 4 5
y 232 98 60 40 20
求y关于 t
ˆ
b
的回归方程yˆ  aˆ，并预测成功的总人数(精确到1)；
t
n
x y nxy
i i
附：经验回归方程系数：b ˆ  i1 ，aˆ yb ˆ x；
n
x2 nx2
i
i1
5
参考数据：x2 1.46，x 0.46，
i
i1
x 2  0 .2 1 2
1 1 5
(其中x  ，x  x)．
i t 5 i
i i16
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19．如图，在四棱锥
6
P  A B C D 中， P C  平面 A B C D ， A B ∥ C D ，点 E 在棱 P B 上， P E  2 E B ，
点 F ， H 是棱 P A 上的三等分点，点G是棱 P D 的中点． P C  C B  C D 
2
3
A B  2 ，AC  13，
(1)证明： H D ∥ 平面 C F G ，且 C ， E ， F ，G四点共面；
(2)证明：平面 P A B  平面 P B C ；
(3)求直线 P C 与平面CFG所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系 x O y 中，已知点 A (  2 , 0 ) ， B ( 2 , 0 ) ，直线PA与直线 P B 的斜率之积为

1
4
，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 l : y  k x  m 与曲线 C 交于 M ， N 两点，直线 M A ， N B 与 y 轴分别交于 E ， F 两
点，若 E O  3 O F ，求证：直线 l 过定点．
21．已知函数 f ( x )  ln x  a

x 
1
x

( a  R ) ．
(1)若 f ( x ) 在x1处的导数值 f(1)  0 ，求a的值；
(2)若当 x  1 时， f(x)0恒成立，求 a 的取值范围；
(3)若x ，
1
x
2
是 f ( x )
f(x) f(x ) 1
的两个极值点，证明： 1 2  2a．
x x 2a
1 2
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为
x
y
c
2
o s 2
s in
(



 

为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l
 
的极坐标方程为cos m．
 6
(1)写出曲线 C 和直线l的直角坐标方程；
(2)若m0，且直线 l 与曲线C没有公共点，求m的取值范围．
23．已知 a ，b， c  R + ，a2 b2 c2 9，求证：
(1) a b c 3 3 ；
a2 b2 c2 abc
(2)    ．
bc ca ab 3