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2024 年高考全国甲卷数学（理）
一、单选题
( )
1．设z=5+i，则i z+z =（ ）
A．10i B．2i C．10 D．−2
{ }
2．集合A={1,2,3,4,5,9},B= x x∈A ，则 （ ）
∁𝐴𝐴(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)=
A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5}
4x−3y−3≥0
3．若实数x,y满足约束条件x−2y−2≤0 ，则z=x−5y的最小值为（ ）
2x+6y−9≤0
1 7
A．5 B． C．−2 D．−
2 2
4．等差数列{a }的前n项和为S ，若S =S ，a =1，则a =（ ）
n n 5 10 5 1
7
A．−2 B． C．1 D．2
3
5．已知双曲线C:
y2
−
x2
=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F (0,4),F (0,−4)，点P(−6,4)在该双曲线上，则该双
a2 b2 1 2
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D． 2
6．设函数 f (x)=
ex+2sinx
，则曲线y= f (x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
1+x2
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
7．函数 f (x)=−x2+ ( ex−e−x) sinx在区间[−2.8,2.8]的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
cosα π
8．已知 = 3，则tanα+ =（ ）
cosα−sinα 4
3
A．2 3+1 B．2 3−1 C． D．1− 3
2
9．已知向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+ 3”是“a//b”的充分条件
10．设α、β是两个平面，m、n是两条直线，且αβ=m.下列四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β ②若m⊥n，则n⊥α,n⊥β
③若n//α，且n//β，则m//n ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
π 9
11．在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B= ，b2 = ac，则sinA+sinC =（ ）
3 4
3 7 3
A． B． 2 C． D．
2 2 2
12．已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y−1=0交于A,B两点，则 AB 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2 5
二、填空题
10
1
13． +x 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
3
14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r和r ，母线长分别为2(r −r)和3(r −r)，则两个圆台的体积之比
1 2 2 1 2 1
V
甲 = ．
V
乙
1 1 5
15．已知a>1， − =− ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m为前两
1
次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过 的概率是 ．
2
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，
数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品
率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
p(1− p)
p> p+1.65 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能
n
化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ 150 ≈12.247）
n(ad−bc)2
附：K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P ( K2 ≥k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．记S 为数列{a }的前n项和，且4S =3a +4．
n n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b =(−1)n−1na ，求数列{b }的前n项和为T ．
n n n n
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF //AD，
AD=4,AB=BC =EF =2，ED= 10,FB=2 3，M 为AD的中点．
(1)证明：BM //平面CDE；
(2)求二面角F−BM −E的正弦值．
x2 y2 3
20．设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F ，点M1, 在C上，且MF ⊥x轴．
a2 b2 2
(1)求C的方程；
(2)过点P(4,0)的直线与C交于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥ y轴．
21．已知函数 f (x)=(1−ax)ln(1+x)−x．
(1)当a=−2时，求 f (x)的极值；
(2)当x≥0时， f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ=ρcosθ+1.
(1)写出C的直角坐标方程；x=t
(2)设直线l： （t为参数），若C与l相交于A、B两点，若 AB =2，求a的值.
y=t+a
23．实数a,b满足a+b≥3．
(1)证明：2a2+2b2 >a+b；
(2)证明： a−2b2 + b−2a2 ≥6．
