文档内容
高三上学期（数学）科第一次阶段性测试试题
2023.10
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合 ， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】先求 ，再求 ．
【详解】因为 ，
所以 .
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2. 函数 定的义域是（ ）
A. [1，2] B. [1，2)
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的定义域可知，被开方数大于或等于0，真数大于0，列不等式组，求解即可.
【详解】由题意得 解得
故选：C
【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了运算求解能力，属于基础题目.
3. 已知函数 是定义在区间 上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的x
的取值范围是（ ）
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知有 ，即可求取值范围.
【详解】因为函数 是定义在区间 上的增函数，满足 ，
所以 ，解得 .
故选：D
4. 曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.
【详解】由题意可得： ，则曲线的斜率为 ，
切线方程为： ，即 .
本题选择A选项.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
5. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】 ，因为函数 在 上单调递增，
所以当 时， 恒成立，
因为 ，所以 ，于是有 ，
设 ，因为函数 在 是单调递增函数，所以 ，
因此当 时， 恒成立，只需 ，
故选：D
6. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些
数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
.
y 1517 4.0418 7.5 12 18.01
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基
本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案
【详解】由题中表格可知函数在 上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项
可知B符合，故选B．
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函
数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．
7. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 ，得到 ，再利用奇偶性和单调性判断即可.
【详解】 ，
则 ，
奇函数 在 上为减函数，
在 上为减函数，
，
，
即 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.
8. 函数 的图象可能是（ ）
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断 的奇偶性，以及 在 上的函数值的符号，结合选项得出答案．
【详解】解：∵ 的定义域为 ，关于原点对称，
又∵ ，即函数 是奇函数，
∴ 的图象关于原点对称，排除A、D，
当 时， ， ，∴ ，排除B，
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 函数 的导函数 的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A. 是函数 的极值点
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司B. 是函数 的最小值点
C. 在区间 上单调递增
D. 在 处切线的斜率小于零
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数 的图象判断出 的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命
题错误的选项.
【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时， ，在 时， ，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在 上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在 上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
10. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当 时， ，
，当 即 时，等号成立，
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为2，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C， ，
当且 时，等号成立，但 ，
所以 的最小值不为2，故C错误；
对于D， ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为2，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
11. 设函数 ，对于任意的 ，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基
本不等式可确定D正确.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，令 ， ，则 ， ， ，
，B错误；
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司对于C， 为定义在 上的增函数， ，C正确；
对于D， ，
，D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数 的定义域是 ，且 ，当 时， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数 在 上是减函数
C.
D. 不等式 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法求得 ，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的
单调性，判断B;利用 ，可求得C中式子的值，判断C；求出
，将 转化为 ，即可解不等
式组求出其解集，判断D.
【详解】对于A，令 ，得 ，所以 ，故A正确；
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司对于B，令 ，得 ，所以 ，
任取 ，且 ，则 ，
因 ，所以 ，所以 ，
为
所以 在 上是减函数，故B正确；
对于C，
故C错误；
对于D，因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 等价于 ，
又 在 上是减函数，且 ，所以 ，
解得 ，故D正确,
故选:ABD．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x
0
∈(a，b)，f(x
0
)＋f(－x
0
)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
【答案】0
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由题意转化条件为“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】若“∃x
0
∈(a，b)，f(x
0
)＋f(－x
0
)≠0”是假命题，
则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即∀x∈(a，b)，f(－x)＝－f(x)，
则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0.
【点睛】本题考查了函数奇偶性及特称命题真假性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
14. 已知幂函数 在 上是增函数，则实数 ________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【详解】因为 是幂函数，所以 ，得 或 ．
当 时， 在 上是增函数，符合条件；
当 时， 在 上是减函数，不符合条件．
故答案为
【点睛】本题考查幂函数的概念和性质，属于基础题．
15. 设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．
【详解】∵ ，∴ ．
由题意知 有大于0的实根，由 ，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为︰ ．
16. 已知函数 若 是单调函数，则实数 的取值范围是_________；若存在实数 ，使
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司函数 有三个零点，则实数 的取值范围是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据分段函数在定义域上单调递增，即可得到 且 ，再数形结合法求出实数 的取值
范围，函数 有三个零点等价于函数 与 的图象有三个交点，数形结合即可得
解；
【详解】解：因为函数 在定义域内是单调递增函数，
所以函数 为单调递增函数，
所以 且 ，
在同一坐标系下作出函数 与 的图象，由图可知，实数 的取值范围为 .
函数 有三个零点等价于函数 与 的图象有三个交点，
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司在同一坐标系下作出函数 与 的图象，
由图可知，当 在 轴的左方时，存在实数 ，使得两函数图象有三个交点，
所以要使函数 有三个零点，实数 的取值范围为 .
故答案为： ；
的
【点睛】本题考查分段函数 性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的
充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(－∞，－4]∪
【解析】
的
【分析】根据一元二次不等式 解法，求得p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q
的充分不必要条件，得到A是B的真子集，列出关于 的不等式，即可求解.
【详解】由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2 =(x－3a)(x－a)<0，
当a<0时，3a0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，
即x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或 ，
又∵a<0，∴a≤－4或－ ≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪ .
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中利
用一元二次不等式的解法，求得集合命题 中实数 的取值范围是解答的关键，同时注意充分不必要条
件的转化及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18. 已知函数 ．
（1）试用单调性定义判断 在 上的单调性；
（2）求函数 在 上的最值．
【答案】（1）答案见详解；
（2）最小值为 ，最大值为 .
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断；
（2）利用单调性求最值.
【小问1详解】
任取 ，且 ，
则
因为 ，且 ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .
所以 在 上单调递减.
【小问2详解】
由（1）知 在 上单调递减，
所以 ，
.
所以函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
19. 已知 ．
（1）若 ，求 的值域；
（2）若 在 上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
（2）根据复合函数单调性结合条件可得 ，进而即得.
【小问1详解】
若 ，则 ，
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，当且仅当 时，等号成立，
可知 的定义域为 ，
且 在定义域内单调递减，可得 ，
所以 的值域为 .
【小问2详解】
因为 在定义域内单调递减，
由题意可知： 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
可得 ，解得 ，
所以a的取值范围 .
20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一
定条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度 （单位：尾/立方米）的函数.当 不超
过4尾/立方米时， 的值为2千克/年；当 时， 是 的一次函数；当 达到20尾/立方米时，因
缺氧等原因， 的值为0千克/年.
（1）当 时，求函数 关于 的函数表达式；
（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）
（2）当x＝10时，鱼的年生长量 可以达到最大，最大值为12.5 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.
【小问1详解】
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司依题意，当 时， ；
当 时， 是关于x的一次函数，假设 ，
则 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
当 时， ；
当 时， ，
当 时， 取得最大值 .
因为 ，所以当x＝10时，鱼的年生长量 可以达到最大，最大值为12.5 .
21. 已知函数 在 处有极值 .
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最大值与最小值.
【答案】（1） ， ；（2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】
（1）对函数 求导，根据函数在 处取极值得出 ，再由极值为 ，得出 ，构
造一个关于 的二元一次方程组，便可解出 的值；
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知 ，求出 ，利用导数研究函数 在 上的单调
性，比较极值和端点值的大小，即可得出 在 上的最大值与最小值.
【详解】解：（1）由题可知， ， 的定义域为 ，
，
由于 在 处有极值 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
（2）由（1）可知 ，其定义域是 ，
，
令 ，而 ，解得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
则在区间 上， ， ， 的变化情况表如下：
1 2
0
单调递减 单调递增
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
， ，
由于 ，则 ，
所以 ，
函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区
间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力.
22. 已知函数
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明
【答案】（1）当 ， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先求导得到 ，再分类讨论求解即可.
（2）首先将题意等价于只需证 ，令 ，再证 即
可.
【小问1详解】
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司，
①若 ，则 ， 在 上单调递增；
②若 ，则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
【小问2详解】
因为 ，所以只需证 .
当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
记 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ．
综上，当 时， ，
即 ，即证： .
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
