文档内容
2023-2024-1 高三年级 10 月学情检测
数学试卷
满分，150分 考试时间：120分钟
一､单选题：（共8小题，每小题4分，共40分）
1.若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知 为等差数列，首项 ，公差 ，若 ，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知平面 ，直线 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数 ，若 ，则 （ ）
A.1 B.0 C. D.-1
7.已知数列 的通项公式为 ，若 是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.三棱锥 中， 互相垂直， ， 是线段 上一动点，若直线 与平面
所成角的正切的最大值是 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：（共4小题，在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求，全部选对得5分，部
分选对得2分，有选错的得0分.）
9.已知正方体 中， 为 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的
是（ ）
A. 三点共线 B. 四点共面
C. 四点共面 D. 四点共面
10.在平面直角坐标系 中，已知任意角 以坐标原点为顶点， 轴的非负半轴为始边，若终点经过点
，且 （ ），定义： ，称“ ”为“正余弦函数”，对于“正余
弦函数 ”，有同学得到以下性质，其中正确的是（ ）
A. 的值域为 ；
B. 的图象关于 对称；
C. 的图象关于直线 对称；
D. 为周期函数，且最小正周期为 .
11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且 .下列说法正确的是（ ）
A.四棱锥 为“阳马”
B.四面体 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为
C.四棱锥 体积最大值为
D.四面体 为“鳖臑”
12.已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
C.
D.数列 的所有项中最小项为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 ，且 ，则实数 __________.
14.已知数列 满足 .若 ，则 __________， __________.
（第一空2分，第二空3分）
14.已知正方体 的棱长为3，点 分别在棱 上，且满足为底面 的中心，过 作截面，则所得截面的面积为__________.
16.已知函数 ，数列 满足 ，则数列 的前100项之和
是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图，在正三棱柱 中，已知 是 的中点.
（1）求直线 与 所成角的正切值；
（2）求点 到平面 的距离.
18.（12分）已知等差数列 的前 项和为 ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19.（12分）记 的内角 的对边分别为 .已知 .
（1）求 的值.
（2）若 ，且 边上的中线 相交于点 ，求 的余弦值.
20.（12分）如图，一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆
周都在这个球面上.已知圆锥底面面积是这个球的表面积的 ，设球的半径为 ，圆锥底面半径为 .（1）试确定 和 的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积之比；
（2）求两个圆锥的体积之和与球的体积之比
21.（12分）在数列 中， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）令 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
22.（12分）已知函数 .
（1）若函数 的图象在 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
高三年级 10 月月考数学答案
一､选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D A D B C B
二､多选题：
题号 9 10 11 12
答案 ABC AD ABD AD
三､填空题：
题号 13 14 15 16
答案 -1 ； 100
四､解答题：
17.解：（1）由正三棱柱的结构特征可知： 平面 为等边三角形；直线 与 所成角即为 ，
Q 平面 平面 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以在Rt 中， ，
即直线 与 所成角的正切值为 .
（2）解法一：因为 是 的中点， 为等边三角形，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
在平面 内作 ，垂足为 ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 点 到平面 的距离即为 的长，
由（1）知： ，
，即 ，点 到平面 的距离为 .
解法二：等体积法
18.解：（1）设等差数列 的公差为 ，由 得 ，则 .
又 成等比数列，所以 成等比数列，得 ，解得 ，所
以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
两式相减得
所以 .
19.解：（1）因为 ，
所以 .故 .
所以 .因为 ，
所以 .因为 ，所以 .
（2）设 ，依题意可得 .所以
.因为 ，所以 .
20.解：（1）由已知得球的表面积为 ，
所以圆锥的底面面积为 ，解得 ，则球心到圆锥底面的距离
，
所以小圆锥的高为 ，母线长为 ，
同理可得大圆锥的高为 ，母线长为 .
因为这两个圆锥具有公共底面，故大圆锥与小圆锥的侧面积之比为它们的母线长之比，即 .
（2）由（1）可得两个圆锥的体积之和为 ，球的体积为 ，所以两个圆锥的体积之
和与球的体积之比为 .
21解：（1）由 得 ，
由 得 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，则 ，
所以 ，所以
所以 .
22解：（1） ，
所以 ，
因为函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，所以 ，解得 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 在 恒成立.
记 ，
记
则 ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 单调递增，又 ，所以当 时， .
当 时，令 ，得 ，当 时， ，
所以 在 单调递减，因为 ，
所以当 时， ，即 ，则 在 单调递减，又 ，所以当 时， ，不符合题意.
