数学答案
1.【答案】C
【详解】依题意 ，集合 中有 个元素，则其真子集的个数有 个.
故选：C
2.【答案】B
【详解】由题， ，故 ，
故选：B
3. 【答案】D
【详解】如图所示圆台的轴截面，
过点 作 ，
因此有 ，
因为母线与下底面所成为角的正切值为 ，
所以 ，
该圆台的表面积为 ，
故选：D
4.【答案】A
【详解】当 时， ，则 ，
在 上单调递增，BD错误；
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，C错误，A正确.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：A.
5. 【答案】A
6.【答案】D
【详解】在平行四边形 中，E是 的中点， ， 与 相交于O．
设 ，
则
由 ，可得
则 ，解之得 ，则
则
又 ，则 ，解之得 ，即 的长为4
故选：D
7．【答案】C
【详解】由图可知，函数 的最小正周期为 ，则 ，
， ，
又因为 ，则 ，
因为 ，则 ，所以， ，
因为 ，
又因为 ，
因此， .
故选：C.
8．B
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】因为 ，所以构造函数 ，
所以
，则 在 上单调递减，
又 ，
所以 ，即 ，故A错误；
，即 ，故B正确；
，即 ，故C错误；
，即 ，故D错误.
故选： .
9．【答案】BC
【详解】对于B，由量 ， ，得 ，解得
，B正确；
对于A，由 的夹角为锐角，得 且 不共线，则 ，解得 且
，
因此“ 的夹角为锐角”是“ ”的充分不必要条件，A错误；
对于C，由向量 ，得 ，
因此 在 方向上的投影向量为 ，C正确；
对于D，在 中，
，而 ，因此 ，
所以 不一定为等边三角形，D错误.
故选：BC
10.【答案】AC
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】 ，则
，
，所以 ， ， ，
，则 ，
，
，
， 是递增数列，
， ，
所以 中， 最小，
故选：AC．
11.【答案】AD
【详解】对于选项A， 的定义城为R，关于原点对称，又
，所以 是偶函数，故选项A正确；
对于选项B，
先画出函数在 的图象，再利用对称性得到 的图象.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由函数 的图象可知，不存在非零实数T使得 对任意实数x恒成立，
故选项B不正确；
对于选项C,当 ， 时，
，
因为 ， ， 单调递减，故选项C错误；
对于选项D,当 ， 时， ；
当 ， 时，
，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ；
当 ， 时，
；
当 ， 时，
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司绿上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时，
的最大值也为 ，故 的最大值为 ，故选项D正确.
故选：AD.
12.【答案】ACD
【详解】对于A选项，连接 ，则 ，
由题可知， 平面 ，且 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则 ，
同理可得 ， ， 直线 平面 ，则选项A正确；
对于C选项，由题可知， ， ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，所以 与 所成角即为异面直线
与 所成角，又点 在线段 上运动，可知 是等边三角形，所以直线
与 所成角的取值范围是 ，则C选项正确；
对于B选项，如图展开平面 ，使平面 共面，过 作 ，交
与点 ，交 与点 ，则此时 最小，由题可知， ，则
，即 的最小值为 ，则B选项错误；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于D选项， ， 当 、 、 三点共面时，点 的轨迹是以 、 为
焦点的椭圆，又因为 ，所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，故点 的轨迹
是以 ， 为焦点的椭球表面，
设 的中点为 ，要使三棱锥 的体积最大，即 到平面 的距离最大，
所以当 平面 ，当 平面 ，且 时，三棱锥 的
体积最大，
此时 为等边三角形，设其中心为 ，三棱锥 的外接球的球心为 ，
的外心 ，连接 ， ， ，
则 ， ，所以 ，
即三棱锥 体积最大时其外接球的表面积 .
故选：ACD.
13.【答案】
【详解】边长为2的正 的面积为 ，即 .
由斜二测画法的直观图与原图形的关系可知：
故答案为：
14.【答案】
【详解】因 ，而 ，
则 ，即 ，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 的取值范围是 .
15.【答案】 或
【详解】设公切线 与 且于点 ，与曲线 切于点 ，
则有
②
又 ，
∴ ．
∵过点 的直线 的斜率为 ，
∴ ．③
由①②③消去 整理得 ，
解得 或 ．
当 时， ，直线 与曲线 的切点为 ， ，此时切线方
程为 ，即 ．
当 时， ，直线 与曲线 的切点为 ， ，此时切线方程为
，即 ．
故直线 的方程为 或 ．
所以答案为 或 ．
16．【答案】15
【详解】由题记第一组数为:1,个数为1,和为1,最后一个数为第1项, ;
第二组数为:1,3,个数为2,和为 ,
最后一个数为第1+2项, ;
第三组数为:1,3,9,个数为3,和为 ,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司最后一个数为第1+2+3项, ;
第四组数为:1,3,9,27,个数为4,和为 ,
最后一个数为第1+2+3+4项, ;
;
第 组数为:1,3,9,27, , ,个数为 ,和为 ,
最后一个数为第 项,
,
因为 ,所以 ,
由62<Sn≤1600可知, 从13开始计数,
因为 ,第28项是第七组的最后一项,
第七组的数为:1,3,9,27, , ,
所以 ,
所以要满足62<Sn≤1600,则 , ,
故n的个数为 个.
17.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知， ，
因为 ，
所以 ，所以
因为 ，所以数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ①，
②，
由①②错位相减得：
，所以 .
18.【答案】（1）
（2）
【详解】
（1）法一：∵ ，由正弦定理得：
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ .
法二：∵ ，由余弦定理得：
，
∴ ，
∴ ，∵ ，∴ .
（2）由（1）知， ，而四边形 内角互补，则 ，
法一：设 ，则 ，由正弦定理得：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
∴ ， ，
∴
，
当且仅当 时， 的最大值为 .
法二：在 中， ， ，由余弦定理得：
，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时， 的最大值为 .
19.【答案】（1）证明见解析
（2）60°
【详解】
（1）由PB⊥平面ABC， 面 ，所以PB⊥AC，
因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC；
又PB∩BC＝B， 面 ，
所以AC⊥平面PBC，又 平面PAC，
所以面PAC⊥面PBC.
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0，
则 ，
所以 ，
由 得： ，由 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，解得m ，则 ，
设面ABE的一个法向量为 ，则 ，取x＝1，则
．
取面ABC的一个法向量 ，故 ，
所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．
20．(1)最小值为 ，最大值为 .
(2)
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 且 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 ，函数取得极大值 ；当 ，函数取得极小值 ，
又由 ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
（2）解：由函数 和 ，可得 ，
因为函数 在 上有三个零点，即 有三个实数根，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司等价于 与 的图象有三个不同的交点，
又由 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 ，函数取得极小值 ；当 ，函数取得极小值 ，
又由当 时， ，当 时， ，
要使得 与 的图象有三个不同的交点，可得 ，
即实数 的取值范围是 .
21．(1) ，
(2)
【详解】（1）因为 为直角三角形，设 ， ，
又 ，所以 .
因为在直角 中， ，所以 ， .
所以 （其中 ）.
当 ，即 时， 取到最大值，为 ，
所以 .
（2）依题意，设 ， ， ， ，则 ，
则 ， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以当 时，对底边AB观察的视线所张的角最大.
因为 ，则 ， ，
可得 ，所以 ，
平面 平面AMD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面AMD，由 平面AMD，得 .
因为 ， ，所以 ，所以 .
所以从M处观察P点时仰角的正切值为 .
22.【答案】（1）1;（2） ;（3）见解析
【详解】解：（1）函数 在 上的零点的个数为1.
理由如下：因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以函数 在 上是单调递增函数.
因为 ， ，
根据函数零点存在性定理得
函数 在 上的零点的个数为1；
（2）因为不等式 等价于 ，
所以 ， ，使得不等式 成立，
等价于 ，
当 时， ，
故 在区间 上单调递增，
所以 时， 取得最小值-1，
又 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由于 ， ， ，
所以 ，故 在区间 上单调递增.
因此， 时， 取得最大值 .
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ;
（3）当 时，要证 ，只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由于 ， ，只需证 ，
下面证明 时，不等式 成立.
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当且仅当 时， 取得极小值也就是最小值为1.
令 ，其可看成点 与点 连线的斜率，
所以直线 的方程为： ，
由于点 在圆 上，所以直线 与圆 相交或相切，
当直线 与圆 相切且切点在第二象限时，
当直线 取得斜率 的最大值为1.
故 时， ； 时， .
综上所述，当 时， 成立.
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