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2021 级高三上学期 10 月考试
数 学
时长：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则集合 的真子
集个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切
值为 ，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 如图，在平行四边形 中，E是 的中点， ， 与
相交于O．若 ， ，则 的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
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学科网（北京）股份有限公司7. 函数 的图象如图，则 的解析式和
的值分别为（
）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
8. 若定义在 上的可导函数 满足 ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错
的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A．已知向量 ，则“ 的夹角为锐角”是“ ”的充要条
件
B．已知向量 ，若 ，则
C．若向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为
D．在 中，向量 与 满足 ，则 为等边三角形
10.设 是公差为d的等差数列， 是其前n项的和，且 ， ，
则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11. 已知函数 ，下列四个选项正确的是（
）
A. 是偶函数 B. 是周期函数
C. 在 ， 上为增函数
D. 的最大值为
12. 在正方体ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，G为C D 的中点，点P在线段
1 1 1 1 1 1
B C上运动，点Q在棱C C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的
1 1
有（ ）
A. 直线BD ⊥平面A C D B. PQ+QG的最小值为
1 1 1
C. 异面直线AP与A D所成角的取值范围是
1
D. 当MA+MB＝4时，三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积为 .
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 将边长为2的正 水平放置后，利用斜二测画法得其直观图 ，
则 的面积为__________.
14. 已知 ，则 的取值范围是__________.
15. 已知 （ 为自然对数的成数）， ，直线 是 与
的公切线，则直线 的方程为__________.
16. 已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,……（也可表示
30,30,31,30,31,32,30,31,32,33,….,30,31……3k-1） 若该数列的前n项和为Sn,则满
足62<Sn≤1600的整数n的个数为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
18. 如图， 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，若 为 外接圆劣弧 上一点，求
的最大值.
19. 如图，三棱锥 中， 底面 于B，∠BCA＝90°，
，点E是PC的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；
（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且
，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．
20. 已知函数 ，且 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)设函数 ，若函数 在 上有三个零点，求 的取值
范围.
21. 某公司为宣传其产品，设计一大型广告立牌置于公司楼下显目位置，广告
立牌垂直于地面，其设计图如下所示，由直角 和以BC为直径的半圆拼
接而成， ，AB固定于地面，且 ，点P为半圆上一点（异于
B，C两点），四边形ABPC为梯形， ，该广告立牌右侧有一条垂直于
AB的直线小道L（直线小道路面与地面平齐），与AB的延长线交于点D，且
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(1)若沿该造型外部边缘增加铁丝加以固定，求铁丝长度（即 ）的最大
值及此时 的值；
(2)若 ，行人M（视为质点，行人高度忽略不计）沿直线小道L向该
广告立牌走近，当对底边AB观察的视线所张的角最大时，求从M处观察P点
时仰角的正切值.
22. 已知函数 ， ，其中 是自然对数
的底数.
（1）判断函数 在 内零点的个数，并说明理由；
（2） ， ，使得不等式 成立，试求实数
的取值范围；
（3）若 ，求证： .
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