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2024 届高三年级第二次模拟考试·数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的值域求法求出集合 、 ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由 ，所以 ，
由 ，
所以 .
故选：C
【点睛】本题考查了集合的交运算、函数的值域，属于基础题.
2. 已知a∈R，复数 为纯虚数，则a＝（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. 2 D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解.
【详解】∵ 为纯虚数，
∴ ，解得a=3
故选：A.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．
3. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】因为函数 ，所以由 得 ；
由 得 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.
4. 已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时， ，若对于任意实数 ，
都有 恒成立，其中 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分离常数化简解析式，结合函数解析式可判断函数 在 上是增函数；结合偶函数
性质将不等式化为简，再利用单调性可得 ， ，再由 的范围，求得 的最大值，
即可得 的范围.
【详解】当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，又 是定义在R上的偶函数，
所以由偶函数性质可得 ，
则 ， ，
因为对任意实数 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，
既有 ，解得 ，
即a的取值范围为 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合运用，由函数单调性解不等式，绝对值函数的最值求法，
属于中档题.
5. 已知函数 （ 且 ）是偶函数，则关于x的不等式 的
解集是（ ）
A. B.
C. D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据 是偶函数求得 ，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于 ，解不等
式即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵ 是偶函数
∴ ，即
化简得
∴ ， （ ， ）
,
时都能得到 ，
所以 在 上是增函数
∴ （ ， ）为偶函数且在 上是增函数，
∴ ， ，
即 ，即 或
解得 或 .即 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.
6. 函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解，可得 有解，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，对 分类讨论，得出 时， 取得极大值 ，
也即为最大值，进而得出结论.
【详解】解：由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解，
即 有解，令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ，
故 时， 取得极大值 ，也即为最大值，
当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 满足条件．
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、
运算求解等数学能力，属于难题．
7. 在 中， ， ， ，若 为 的外心（即三角形外接圆的圆心），且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，根据向量数量积运算以及题意，得到
， ，求解，即可得出结
果.
【详解】设 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，
所以 ，
同理可得： ；
因为 ，所以 ①；
因为 ，所以 ②；
联立①②，解得： ，
因此 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，以及平面向量基本定理的应用，属于常考题型.
8. 已知不等式 对任意正数 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】把不等式 化为 ，设 ，求得的导数
，设 ，利用导数求得函数的单调
性和最小值，即可求解.
【详解】不等式 可化为 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
设 ，其中 ，
则 恒成立，则 在 上单调递增，
由 ，
令 ，得 ，
所以 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
对任意正数 恒成立，即 .
.
故选：B
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、
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学科网（北京）股份有限公司逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，
从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A. B. 若 互为共轭复数，则
C. 若 ，则 D. 若复数 为纯虚数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：令
则
所以 ，故A正确；
对于选项B：令 ， ，所以 ，故B正确；
对于选项C：令 ， ，根据复数的乘法运算可知：
， ， ，所以C错误；
对于选项D：若复数 为纯虚数，则 ，即 ，故D正确.
故选：ABD
10. 某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，
甲：第一次涨幅 ，第二次涨幅 ；
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学科网（北京）股份有限公司乙：第一次涨幅 ，第二次涨幅 ；
丙：第一次涨幅 ，第二次涨幅 .
其中 ，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（ ）
A. 方案甲和方案乙工资涨得一样多 B. 采用方案乙工资涨得比方案丙多
C. 采用方案乙工资涨得比方案甲多 D. 采用方案丙工资涨得比方案甲多
【答案】BC
【解析】
【分析】不防设原工资为1，分别计算三种方案两次涨幅后的价格，利用均值不等式比较即可求解.
【详解】方案甲：两次涨幅后的价格为： ；
方案乙：两次涨幅后的价格为： ；
方案丙：两次涨幅后的价格为： ；
因为 ，由均值不等式 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，因为 ，所以 ， ，
所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，
故选： .
11. 已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由 是偶函数得出 是奇函数，由已知两条件推出 是以4为周期的函数，进而可得
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学科网（北京）股份有限公司为周期为4的偶函数，然后赋值法逐项分析即得．
【详解】因为 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，故 ，
由 ， ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期为4， ，
，所以 ，
对选项A：由 ，令 得， ，所以 ，故A正确；
对选项B：由 ，令 得， ，故 ，所以B正
确；
对选项C：由 ，可得 ，
又 ，所以 ，
又 是奇函数， ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
所以函数 为周期为4的偶函数，
所以 ，故C正确；
对选项D： ，由题得不出 ，所以 不一定成立，
故D错误.
故选：ABC.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数 的奇偶性及周期性，进而得到函数 的性
质，然后利用赋值法求解.
12. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 定义域为 B.
C. 是偶函数 D. 在区间 上有唯一极大值点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数解析式结合三角函数性质求得定义域，判断A；由于函数的定义域不关于原点对称，故
可判断B；根据函数奇偶性的定义可判断C；求出函数的导数，根据其结构特点，构造函数，再次求导，
判断导数正负，进而判断函数单调性，进而判断极大值点，即可判断D.
【详解】A. 的定义域为 ，解得 的定义域为 正确
B.由于 的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；
C.设 ，
则定义域 ，
为
，即 是偶函数， 正确
D.
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
令 ，由 ，
当 时， ，即当 时， 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
且 ， ，
,
结合 时， ； 时， ，
故存在 使得 ，即有 在 单调递减，在 单调递增，在
单调递减，
注意到 ，且 时， 时， ，
从而对于 ，当 时 ，
在区间 单调递减，当 时 ， ，
在区间 单调递增， 为 在区间 上的唯一极大值点，
故D正确，
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学科网（北京）股份有限公司故选：
【点睛】难点点睛：利用导数解决 在区间 上有唯一极大值点的问题时，求出函数的导数，由
于导数形式比较复杂，故而难点就在于要根据导数的结构形式构造函数，进而再次求导结合零点存在定理
判断导数正负，从而判断函数的单调性，解决极大值点问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设 ， 是 的两根，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式和韦达定理列式，利用同角公式可求出结果.
【详解】依题意可得 ，
由 得 或 ；
由 和 得 ，即 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 应舍去，
所以 .
故答案为：
14. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 为 外接圆的圆心，若 ，且
A B C a b c O
， ，则 的最大值为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】通过 ，可求得 ，进一步通过正弦定理和余弦定理求得半径和
的大小；通过将向量 和 进行拆解，将 与 联系起来，通过平方运算，得到关于 的
等量关系，最终利用基本不等式得到 的最大值．
【详解】由 可得：
即
由正弦定理可得圆 半径为： ，即
根据余弦定理可知：
又
整理可得：
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学科网（北京）股份有限公司又
得：
解得： 或
当 时，点 在 外部，且 ，所以 四点共圆，不满足题意，舍
去
（当且仅当 时取等号）
本题正确结果：
【点睛】本题将解三角形、平面向量、基本不等式等几个部分相结合，对学生各部分知识的综合运用能力
要求较高．难点在于将 中的 和 通过向量的线性运算，表示为夹角和模长全都
已知的向量 和 的关系，这也是解决平面向量线性关系中常用的处理问题的方法：将未知向量向已
知向量进行转化．
15. 设函数 在区间 内有零点，无极值点，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意首先求出 的大致范围，再根据在区间 内有零点，无极值点，
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学科网（北京）股份有限公司得到不等式组 ， ，即可求出 的取值范围.
【详解】解：
依题意得
，
因为函数 在区间 内有零点，无极值点，
， ，
解得 ， ，
当 时， 满足条件，
当 时， 满足条件，
当 时，显然不满足条件，
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学科网（北京）股份有限公司综上可得
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.
16. 在 中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则 的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当 时取等号）.
令 ，
故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
为
当且仅当 ，即三角形 等边三角形时，取得最大值.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且 .
（1）求角C的大小；
（2）若向量 与 共线，求 的周长.
【答案】（1） ，（2） .
【解析】
【分析】（1）将 变形到 ，即可求出角C；
（2）由向量 与 共线可得 ，然后结合余弦定理解出 、 即可.
【详解】（1）因为 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以
所以 ，所以
因为 是 的内角，所以
（2）因为向量 与 共线
所以 ，即
由余弦定理可得 ，即
解得
所以 的周长为
【点睛】本题考查的是三角恒等变换和正余弦定理的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18. 已知 是等比数列， 是等差数列，且 ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） , （2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,代入即可求得等差数列的公差和等比数列的公比,进而
求得数列 和 的通项公式;
（2）代入数列 和 的通项公式可得 的通项公式.根据错位相减法及分组求和法,即可求得数列
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学科网（北京）股份有限公司的前n项和 .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ,等差数列 的公差为 .
, , , .
由等差数列与等比数列通项公式可得
解得 或 (舍)
所以 ,
（2） ,代入 ,
可得
则
两式相减可得
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学科网（北京）股份有限公司即
所以
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的应用,等比数列求和公式的应用,错位相减法求数列的
前n项和,分组求和法求数列的和,属于中档题.
19. 已知将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函
数 的图像关于原点中心对称.
（1）求函数 的解析式；
（2）若三角形 满足 是边 上的两点，且 ，
求三角形 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到 ，结合图象
关于原点中心对称即可求出函数解析式；
(2)结合（1）可得 ，结合题意，建立平面直角坐标系得到点 的轨迹方程为 ，
再根据几何关系即可求解.
【小问1详解】
（1）由已知化简得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，由 得 ，
又 ，
【小问2详解】
易得 ，
由 ①
②
又
将① ②式并结合 可得：
以 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立直角坐标系，则 ，
设 ，则由 可得：点 的轨迹方程为 ，
即 ，
当 时， 取到最大值 ，
根据几何关系易知三角形 面积的取值范围为 ，
20. 已知椭圆 ，离心率为 ，直线 恒过 的一个焦点 .
（1）求 的标准方程；
（2）设 为坐标原点，四边形 的顶点均在 上， 交于 ，且
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学科网（北京）股份有限公司，若直线 的倾斜角的余弦值为 ，求直线 与
轴交点的坐标.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）将 转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭
圆的离心率公式进行求解即可.
（2）根据向量等式，可以确定 分别是 的中点.设 ，求出直线 的方
程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出 的坐标，同理求出 点坐标，求
出直线 的方程，最后求出直线 与 轴交点的坐标.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ， 可化为 ，所以直线
恒过点 ，所以点 ，可得 .因为离心率为 ，所以 ，解得 ，由 得
，所以 的标准方程为 .
（2）因为 ，所以 .由 得 分别是 的
中点.设 .由直线 的倾斜角的余弦值为 ，得直线 的斜率为2，所以
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学科网（北京）股份有限公司，联立 消去 ，得 .显然， ，
且 ， ，所以
，可得 ，同理可得 ，所以 ，所以
.令 ，得 ，所以直线 与 轴交点的坐标为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，考查了数学运
算能力.
21. 已知 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数a，b的值；
（2）当 时，证明： .
【答案】（1）a=2，b=0；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得 ， ，列方程即可求解 ， ；
（2）令 ，则 ，令
，判断存在唯一 ，使得 ，即 ，从而得到
；再令 ，证明 即得证
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学科网（北京）股份有限公司.
【详解】（1） ，
因为f（x）在点 处的切线方程为y=6x，所以 ， ，
即 ，解得a=2，b=0；
（2）由（1）得 ，
设 ，即 ，
则 设
，则h（x）在（0，+∞）单调递增，
且 ，所以存在唯一 ，使得 ，
即 ，
当 时， ， ，g（x）单调递减；
当 时， ， ，g（x）单调递增；
，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
.
所以当 时，
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，综合考查了函数的单调性，最值等问题，
考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
22. 已知函数 ，（ ， 是自然对数的底数）．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求 的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）求得 ，然后对 分成 和 两种情况进行分类讨论，由此求得 的单调区
间.
（2）首先令 ，代入 ，求得 的一个取值范围.构造函数
，利用 的导函数 研究 的最小值，由此求得 的取值范围.
【详解】（1） ，
当 时， ，函数 在 上递减；
当 时，由 ，解得 ，故函数 在 上单调递减，
由 ，解得 ，故函数 在 上单调递增．
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递
增.
（2）当 时， ，
即 ，故 ，
令
，
则 ，
若 ，则当 时， ，
函数 在 上单调递增，
当 时，
，
当 时， 单调递增，
则 ，符合题意；
若 ，则 ，
，
由 得 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司存在 ，使得 ，
且当 时， ，
在 上单调递减，
当 时， ，不合题意，
综上，实数 的取值范围为 ．
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数 的单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思
想方法，属于难题.
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学科网（北京）股份有限公司
