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宁德一中 2024 届高三第一次考试
数学试题
宁德一中高三数学组命制
2023.8.29
本试题卷共5页、22题． 全卷满分150分． 考试用时
120分钟．
一、单选题（每题5分，错选不得分，共40分）
1. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知全集为 ，集合 ， ，则 真子集个数为（ ）
的
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3. 在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则平面 截正方体所得的截面
多边形的形状为（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
4. 函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A. B. C.
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学科网（北京）股份有限公司D.
5. 某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误
差的．已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果 呈阳性，现在某
人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
7. 如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界
及其内部运动．若 ，则 面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若 有3个不同的解 ， ， 且 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（每题5分，错选不得分，部分选对得2分，共20分）
.
9 已知函数 ，则（ ）
A. B. 若 ，则 或
C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 的值域为
的
10. 下列命题中正确 是（ ）
A. 数据 的第25百分位数是2
B. 若事件 的概率满足 且 ，则 相互独立
C. 已知 ，则
D. 已知随机变量 ，若 ，则
11. 如图，正方体 的棱长为2，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 可能与平面 相交
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学科网（北京）股份有限公司B. 三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C. 的周长的最小值为
D. 当点 是 的中点时， 与平面 所成角最大
12. 已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函数， ，且当
时， ，则（ ）
A. 为偶函数
B. 的图象关于点 对称
C.
的
D. 8是函数 一个周期
三、填空题（每空5分，共20分）
13. 已知函数 的图像在 处的切线方程是 ，则 ______．
14. 正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
15. 某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次考试
的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________.
16. 在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接
球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为__________.
四、解答题（除17题外每题12分，共70分）
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知全集 ，非空集合 ， ．
（1）当 时，求 ；
（2）命题 ，命题 ，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
18. 已知奇函数 的定义域为 .
（1）求实数 的值；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
19. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现
代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加
工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工 万件该品牌服装，需另投入 万
元，且 根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工
一件服装，可获得12元的代加工费.
（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：
万件）的函数解析式.
（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利
润的最大值.
20. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三
个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
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学科网（北京）股份有限公司（3）设用 表示甲学校的总得分，比较 和 的大小（直接写出结果）.
21. 如图所示，在三棱锥 中，已知 平面 ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，在线段 上（不含端点），是否存在点 ，使得二面角
的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
22. 已知 有两个极值点 ，
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： .
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