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高三数学参考答案
令 ，解得 ，令k = 0，得 ，
1．D 解：将数据从小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23．∴ ，则
取第8个数，选D．
∴C正确.令 ，解得 ，∴ 在 上的唯一极值点为
2．C 解：由题意得 ，∴抛物线方程为 ，∴点 ，∴ ，故选C
3．B 解：对于A，若 则 或
，∴D正确，故选ACD
对于B，若 则
对于C，若 则 或 或 与 相交 10．BC 解： ， ，
对于D，若 则 或l与n异面
∴ ， ，∴B正确
4．C 解：令 ， ， ，由： ，得
∵M与N可能同时发生，∴M与N不互斥，∴A错误
∴ 是公比为2的等比数列， ，选C
∵ ，∴C正确
5．D 解：当AB过圆心O时， 最大为4，当 时， 最小为 ，
∵ ，∴D错误
∴ ，故选D
故选BC
6．A 解：∵ ，∴P在以AB为直径的圆上，设AB中点为C，
11．ACD 解：对于A，令 得 ，∴ ，故A正确
则P在P 处时原式取最小值， ，
1
∴选A 对于B，令 得 ，
令 ， 得 ，∴ ，故B错
7．C 解：∵
误
∴ ，∴ ∴选C 对于C，令 ， 得 ，∴
∴
8．A 解：过M作MB⊥x轴，由题意可得 ． ，∴
，故C正确
设点 ，直线AM的斜率为k．
对于D，令 得 ，两边同时求导得 ，
则直线AM方程： 与双曲线 联立，
∴ ，∴ ，
故D正确
可得AM方程为 ，∴ ， ，∴ ．
12． 解：易知 ， ，∴
9．ACD 解：∵ ，∴ ，∴A正确
13． 解：设A、C中点为O，O到平面DCE距离为A 到平面DCE距离的一半，设A 到平面
1 1 1
CDE的距离为d，由 ，即
令 ，则 ，∴ 的对称中心为 ，∴B错误
∴ ，∴O到平面CDE的距离为
1(2) 抽取一次得分情况为随机变量 ， 的取值为：2，1，0
14 ． 1 解 ： (1) 由 题 ， 得 ， 得
抽取一次得两分：
抽取一次得一分：
令 ，得 抽取一次得零分：
∴抽取两次的得分情况为随机变量 ， 的取值为：4，3，2，1，0：
X 4 3 2 1 0
∴ ，
P
∴ ， 的最大值为1
(1) 另解：由题 ，当且仅当 时取等 ∴
① 当 时， ， 17．解析：(1) ∵AB = BC = 1， ，∴ 为正三角形AC = 1，
② 当 时， ， ，综上： 又AB∥CD，∴
(2) 由题知，原式 ，令
又CD =2，∴
∵ ，∴ ，
∴原式 又 ，AM、AC为平面AMC内两条相交直线，
∴AD⊥平面MAC， ，∴平面MAC⊥平面ABCD
令 ， ， ，∴原式
(2) 取AC中点O，CD中点F，∵AM = CM，∴MO⊥AC，
15．解：(1) 已知数列 为等差数列，
由(1)知平面MAC⊥平面ABCD，面MAC∩面ABCD = AC，
∴MO⊥平面ABCD，又OF⊥AC，
故以O为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ， ，
，∴
(2) ， ， ，
∴ 设 ，由 得 ，
16．解：(1) （1个20元，0个10元）
（2个20元，0个10元或1个10元）
∴ ∴ ∴
2设平面ADM的法向量为
(3) 由第二问可知 ，∴
设直线CD的斜率为 ，直线CD方程为 ，设
则 取
设平面ACE的法向量为
联立 得
则 ∴
取 ，则 ， ，
由 得： ， ∴
∴ ，又 ，∴ 即
化简得 ，∴ ，由题意 ，∴ ，∴
18．解析：(1) 由题意知， ，∴ ，∴ ，又∵ 在椭圆上，∴ ，
19．解析：(1) 定义域为 ，
∴ ，∴椭圆 的标准方程为 ①当 即 时， ， 在 上为增函数；
(2) 要证 即证 ，设
①当直线 斜率不存在时，由椭圆对称性可知 成立
②当 即 时， ，
②当直线 斜率存在时，设 ，则AB方程：
，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数
联立 得
(2) 时， ，
∴ ① 时， 在 上单调递减，∴
∴ 在 上单调递增，又 ，
联立 得
∴ ，使得 ，即 在 上有且仅有1个零点
② 时，由(1)知 在 上单调递减，
∴
即
∴ ，∴
∴
， ∴ ，
∴ 在 上没有零点
综上所述：
3③ 时， ，∴
即 在 上单调递减，又 ，
∴ 在 上有且仅有一个零点
综上所述， 在 上有且仅有两个不同的零点 和
(3) 令
由于 恒成立，且 ，同时 在 上连续，
∴ 是 的一个极大值点
∵ ，∴ 即 ，
下面证明 时 在 上恒成立
由(1)知 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
∴ ，又 ，∴ 恒成立
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