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2.3 直线的交点及距离公式
【题组一 直线的交点】
1.（2020·无锡市第一中学高一期中）若三条直线 ， 和 相交
于一点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】联立 ，解得 ，即直线 与直线 交于点
，
将点 的坐标代入直线 的方程中，得 ，解得 .故选：B.
2．（2020·江苏海陵.泰州中学高一期中）过两直线 ： ， ： 的交点且与
平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】两直线 ： ， ： 的交点为
解得 ，即 ；
设与 平行的直线方程为 则 解得所求的直线方程为 .故选：D
3．（2020·河北运河.沧州市一中高一月考）过直线 和 的交点，且与直线
垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ，解得 ，直线 的斜率是 ，
故其垂线的斜率是： ，∴所求方程是： ，即 ，故选：D
4．（2019·浙江温州.高二期中）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|
的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即 ，所以|PQ|的最小值为 .
故选：C.
5．（2018·四川仁寿一中高二期中（理））在直线 上求点 ，使点 到 的距离为
，则 点坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C【解析】设 ，所以 ， 即 ，
又因为点 在直线 上，所以 ，
两式联立解得 或 ，所以 点坐标是 或 .故选：C
【题组二 三种距离问题】
1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）点 到直线 的距离为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 ，答案为B
2．（2019·浙江台州.高二期中）两平行直线 与 的距离是______.
【答案】
【解析】方程 化为 ，所以所求距离为 ．
故答案为： ．
3．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知直线 和 互相平行，则它们之
间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵直线 和 互相平行，则 ，将直线 的方程化为 ，
则两条平行直线之间的距离 ， ＝ ＝ ＝ .故选：D．
4．（2020·上海高二课时练习）过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为
_______．
【答案】
【解析】直线 的斜率为1，过点 和 的直线与直线 平行
所以 ，即 所以 故答案为：
5．（2019·天水市第一中学高二月考（理））设 ，若直线 与线段 相交，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线 ，即 ，所以直线经过定点 ，
又由斜率公式，可得 ， ．
∵直线 与线段 相交，
∴ 或 ，则 的取值范围是 ．故选： ．
【题组三 对称问题】
1．（2020·沙坪坝。重庆一中高一期中）如果 关于直线 的对称点为 ，则直线 的方程是(
)
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为已知点 关于直线 的对称点为 ，故直线 为线段 的中垂线，
求得 的中点坐标为 ， 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ， 故直线 的方程为
，即 .故选：A.
2．（2020·陕西长安一中）若直线 与直线l 关于点(2,1)对称，则直线l 过定点（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线 恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线
与直线l 关于点(2,1)对称，故直线l 恒过定点(0,2).
2 2
3．（2020·洮南市第一中学高一月考） 点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．
【答案】(－4，－1)
【解析】设对称点的坐标为 ，则 ，解得 ，
所以所求对称点的坐标为 ．
4．（2020·江苏省苏州第一中学校高一期中）点 关于直线 的对称点是______.
【答案】
【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）
则MN中点的坐标为（ ， ），利用对称的性质得：K = =﹣1，且 ﹣ ﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，
MN
∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．
5．（2020·上海高二课时练习）直线y= x关于直线x＝1对称的直线方程是________；
【答案】
【解析】由题得对称的直线的斜率为 ，
解方程组 得两直线的交点为 ，
所以对称直线的方程为 .
故答案为
6．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，求PA＋PB的最小值．
【答案】
【解析】设点A 与A关于直线l对称，P 为AB与直线l的交点，
1 0 1
∴PA＝PA，
0 1 0
PA＝PA.
1
在△APB中，PA＋PB>AB＝AP＋PB＝PA＋PB，
1 1 1 1 0 0 0 0
∴PA＋PB≥PA＋PB＝AB.
0 0 1
当P点运动到P 时，PA＋PB取得最小值AB.
0 1设点A关于直线l的对称点为A(x，y)，则由对称的充要条件知，
1 1 1
解得∴A(0,3)．
1
∴(PA＋PB) ＝AB＝＝.
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