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专题 02 函数与导数（新定义）
一、单选题
1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则
称为“高斯函数”，例如： .已知函数 ，则函数 的值域是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数 ，
因为 ，所以 ，
所以 .所以 .
所以 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
故 的值域为 .
故选：B.
方法二：由 ，得 .
因为 ，所以 ，解得 .当 时， ；
当 时， .
所以 的值域为 .
故选：B.
2．（2019秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）在实数集 中定义一种运算“ ”，具有下列性质：
①对任意a， ， ；
②对任意 ， ；
③对任意a， ， ．
则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意新定义的运算方式即可.
【详解】在③中，令 ，则 ，所以 ．
函数 在 时取最小值，最小值为 ；在 时取最大值，最大值为5，所以函数
的值域是 ．
故选：B．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设 ，若正实数 满足：
则下列选项一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对新定义进行化简，分别在条件 ， ， ， 下化简 ，
结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.
【详解】因为 ，
，
又
所以 ，
(1)若 则，不等式
可化为 ，则 ，所以 ，
①若 ，则 可化为 ，矛盾，
②若 ，则 可化为 ，矛盾，
③若 ，则 可化为 ，矛盾，
(2)若 则，不等式
可化为 ，所以 ，
①若 ，则 可化为 ，矛盾，
②若 ，则 可化为 ，满足，可化为 ，满足，
③若 ，则 可化为 ，满足，
可化为 ，满足，
(3)若 则，不等式
可化为 ，所以
①若 ，则 可化为 ，满足，
可化为 ，满足，
②若 ，则 可化为 ，满足，
可化为 ，满足，
③若 ，则 可化为 ，满足，
可化为 ，满足，
(4)若 则，不等式
可化为 ，所以 ，
①若 ，则 可化为 ，满足，
可化为 ，矛盾，
②若 ，则 可化为 ，矛盾，
③若 ，则 可化为 ，矛盾，
综上， 或 或 或 或 ，
由 知，A错误；
由 知，B错误；当 时， ，
取 可得，满足条件但 ，
C错误；
当 时， ，
当 时，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故选：D.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝.
4．（2022秋·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使
，则称点 与点 是函数 的一对“隐对称点”.若函数
的图象存在“隐对称点”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由隐对称点的定义可知函数 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程 的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数 的取值范围．
【详解】由隐对称点的定义可知函数 图象上存在关于原点对称的点，
设 的图象与函数 的图象关于原点对称，
令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，又 ，
所以原题义等价于 与 在 上有交点，即方程 有零点，则
，
又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为 与 在 上有交
点的问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的
“可分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.【详解】对选项A： ， ，函数为奇函数，满足；
对选项B： ，函数定义域满足 ，解得 ，且 ，函数
为奇函数，满足；
对选项C： 为奇函数，满足；
对选项D： ， ，函数为偶函数，且 ，不满足.
故选：D
6．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设 ，计算机程序中用 表示不超过x的最大整数，则
称为取整函数．例如； ．已知函数 ，
其中 ，则函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简 ，令 ， ，由二次函数的性质求出函数 的值域，
根据定义求函数 的值域.
【详解】因为
，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 的对称轴为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
当 时， .
所以 的值域为 .
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 ，
故选：B .
7．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 ，则 ， .然后证明 在 上恒成立.
令 ，根据复合函数的单调性可知 在 上单调递减，即可得出 .令
，根据导函数可得 在 上单调递减，即可推得 .【详解】由已知可得， ，则 ，
且 ，所以 .
又 ， .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以， ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递减.
又 ， ，
所以 .
综上可得， .故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明 在 上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调
性得出大小关系.
8．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）在定义域内存在 ，使得 成立的幂函数
称为“亲幂函数”，则下列函数是“亲幂函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幂函数；求出 即可判断C项.
【详解】对于A项， 恒成立，故A项错误；
对于B项， 不是幂函数，故B项错误；
对于C项，因为 ，只要 即可，故C项正确；
对于D项， 恒成立，故D项错误.
故选：C.
9．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）对实数a与b，定义新运算 : ，
设函数 ，若函数 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】先化简函数 的解析式，再作出函数 的图象，转化为直线 与函数 的图象有两个
交点，数形结合分析即得解.
【详解】令 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
作出函数 的图象，如图，
若 的图象与 轴恰有两个公共点，
即直线 与函数 的图象有两个交点，数形结合可得 .
故选：A
10．（2022秋·山东日照·高一统考期末）已知符号函数 则“ ” 是“
” 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】若 ，则 ；
若 ，则 同号，所以 ．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选:C.
11．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，若 ，满足
，则称函数 具有性质 ．已知定义在 上的函数 具有性质
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数新定义可推得 ， 恒成立，即 ，
的值域M，满足 ，求出M，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得定义在 上的函数 具有性质 ，
即 ，满足 ，
即 ， 恒成立；
记函数 ， 的值域为M， ，
则由题意得 ,
当 ，即 时， 在 单调递减，则 ，即 ,此时不满足 ，舍去；
当 ，即 时， 在 时取得最大值，
即 ，即 ,
要满足 ，需 ，解得 或 ，
而 ，故 ，即m的取值范围为 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出 ， 恒成立，继而将
问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数 的值域，根据集合的包含关系列不等
式求解即可.
12．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）定义：对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一
一个 使得 成立，则称函数 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.
【详解】对于A， ，
由 ，
当 时，则不存在 满足情况，故A不是正积函数；
对于B， ，
由 ，则任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个 满足 ，
故B是正积函数；
对于C， ，
由 ，
得 ，
当 时，则 ， ， ，则 不唯一，故C不是正积函数；
对于D， ，
由 ，
当 时，则不存在 满足情况，故D不是正积函数.
故选:B.
13．（2023·全国·高三专题练习）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，
则称 在区间 上是“弱减函数”.若 在 上是“弱减函数”，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意只需 在 上是减函数，利用导数说明 的单调性，即可得到
，从而求出参数的取值范围.
【详解】解：对于 ，则 在 上单调递增，
易知 ，
在 上是“弱减函数”，在 上是减函数，且 在 上是增函数，
易知 在 上是增函数显然成立，
故只需 在 上是减函数，
，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，
故 ，
故 ，即 ；
故选：C
14．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知定义域为 的“类康托尔函数” 满足：①
， ；② ；③ .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义分别赋值得到 ，然后再利用 得到 ，
再次赋值，利用 ， 即可求解.
【详解】因为 ， ，令 可得： ，
又因为 ，令 可得： ，令 可得： ，
由 可得： ，
令 ，则有 ，所以 ，令 ， ，则有 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
也即 ，所以 ，
故选： .
15．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）定义两种运算： ， ，则函
数 的解析式为（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】A
【分析】根据已知的定义可化简得到 ，根据函数定义域的求法可求得 ，
结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.
【详解】由题意知： ，
由 得： 或 ，即 定义域为 ，， .
故选：A.
16．（2023·全国·高三对口高考）定义 ，若函数 在 上单调递减，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用给定的定义求出函数 ，再求出其单调递减区间即可求解作答.
【详解】由给定的定义知 ，
显然函数 的单调递减区间是 ，而函数 在 上单调递减，
于是得 ，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
17．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）定义在 上的函数 ，若对于任意的 ，恒
有 ，则称函数 为“纯函数”，给出下列四个函数（1） ；（2）
；（3） ；（4） ，则下列函数中纯函数个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设 ，由 得 ，即 ，即 为上的减函数，逐个判断即可.
【详解】由题知，
设 ，由 得 ，即
所以 为 上的减函数，
对于（1），因为函数 为 上的减函数，所以 为纯函数；
对于（3），因为函数 在 上为减函数，所以 是纯函数；
对于（2），因为函数 为 上的增函数，所以 不是纯函数；
对于（4），因为函数 为 上的增函数，所以 不是纯函数，
故选：C.
18．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）对于函数 ，若集合 中
恰有 个元素，则称函数 是“ 阶准奇函数”．若函数 ，则 是“（ ）阶
准奇函数”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据“ 阶准奇函数”的定义，可将问题转化为 与 的图象交点个数的问
题，作出两个函数图象可得结果．
【详解】由 时， ，得 ，
下图为 与 的图象，由图可知，当 时，两个函数图象有4个交点，即 ．
故选：D．
19．（2022秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）定义 为不小于 的最小整数（例如： ，
），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知二次不等式求出 ，进而可求x的范围
【详解】 解得 ， 为不小于 的最小整数，所以 .
故选：C
20．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）设 是 上的任意实值函数．如下定义两个
函数 和 ，对任意 ， ，则下列等式不恒成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据定义两个函数 和 对任意 ， ； ，
然后逐个验证即可找到答案．
【详解】对于A, ， ，；
而 ；
,
对于B, ,
,
,
对于C, ，
,
；
对于D, ，
，
．
故选：B．
21．（2021秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知 ， 是定义在 上的严格增函数，
，若对任意 ，存在 ，使得 成立，则称 是 在 上
的“追逐函数”．已知 ，则下列四个函数中是 在 上的“追逐函数”的个数为（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据“追逐函数”的定义对 个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.
【详解】由题意，需满足： 与 在 上的值域都是 ，
且对任意的 ， 的图象恒的 上方，
当 时：
① 的值域符合题意，且 ，符合题意.
② 的值域符合题意，且 ，符合题意.③ ，指数函数比二次函数增长快，比如：
当 时，
，不符合题意.
④由于 ，所以 不符合题意.
综上所述，正确的有 个.
故选：B
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如果函数 的定义域为 ，且值域为 ，则称
为“ 函数．已知函数 是“ 函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 的值域为 ，又因为当 时， 的值域为 ，当 时，
的值域为 ，所以有 ，求解即可.
【详解】解：由题意可知 的定义域为 ，
又因为 是“ 函数，
所以 的值域为 ，
又因为 ,
所以 的值域为 ，
又因为当 时， ，单调递增，此时值域为 ，
当 时， ，开口向上，对称轴为 ，此时函数单调递增，值域为 ，
所以 ，解得 ，
所以m的取值范围为 .
故选：C.
23．（2022秋·河南周口·高一校考期中）对于函数 ，若对任意的 ， ， ， ， ，
为某一三角形的三边长，则称 为“可构成三角形的函数”，已知 是可构成三角形的
函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断 的奇偶性，然后对 进行分类讨论，结合 的单调性、最值求得 的取值范围.
【详解】 ， ，
当 时， ，
的定义域为 ， ，所以 是偶函数，
为偶函数， 只需考虑 在 上的范围，
当 时， 在 单调递减，
对 ， ， ， 恒成立，
需 ， ， .
当 ， 在 上单调递增， ，
对 ， ， ， 恒成立，
， ， ，
综上：故选：B
24．（2021秋·浙江嘉兴·高一校联考期中）定义 ，如 ．则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数 的图象，数形结合可得出函数 的最小值.
【详解】当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时， ；
当 时， ，此时， .
所以， ，作出函数 的图象如下图所示（实线部分）：
因为 ， ，因此， .故选：A.
25．（2023·高一课时练习）函数 满足在定义域内存在非零实数 ，使得 ，则称函数
为“有偶函数”．若函数 是在 上的“有偶函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.
【详解】因为 为 上的“有偶函数”，故存在非零实数 ，使得 ，
若 ，则 ，故方程 有解，
故 在 上有解，而 ，
而 ，故 的值域为 ，故 .
若 ，则 ，故方程 有解，
故 在 上有解，而 ，
而 ，故 的值域为 ，故 .
故选：D.
26．（2020秋·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数 和 ，设函数的定义域为
，则称函数 在 上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（ ）
①② ；
③
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.
【详解】对于①， ，
又因为 ，当且仅当 ，即 时取等；
所以 .
对于②， ，
，
，所以
对于③，因为当 时， ，
所以 时， ， ， ，
因为当 时， ，
所以 时， ，
所以 .
故在其定义域上有界的函数为①.
故选：B.
27．（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：
① 在 内是单调的；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和
谐区间” 若函数 存在“和谐区间”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数在区间 是单调的，由 ， 可得 、 是方程 的两个同号
的不等实数根，由 ，解不等式即可.
【详解】由题意可得若函数 在区间 是单调的，
所以 ， 或 ， ，
则 ， ，
故 、 是方程 的两个同号的不等实数根，
即方程 有两个同号的不等实数根，注意到 ，
故只需 ，解得 ，
结合 ，可得 .
故选：D
28．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）对于定义域为 的函数 ，若存在非零实数 ，使函数
在 和 , 上与 轴均有交点，则称 为函数 的一个“界点”．则下列四个函数中，不
存在“界点”的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】理解题意，明确界点的含义，对于各个函数逐一判定．
【详解】解：根据题意，
对于A， ，故 恒成立，则 有两个实根 ，不妨设 ，故
，使得 在 上与 轴交于点 ， 在 上与 轴交于点 ，则 为
函数 的一个“界点”；
对于B， 的两根分别为 ， ，故 ，使得 在 上与 轴
交于点 ， 在 上与 轴交于点 ，则 为函数 的一个“界点”；
对于C， ，解得 或 ，故 ，使得 在 上与 轴交于点 ，
在 上与 轴交于点 ，则 为函数 的一个“界点”；
对于D， ，解得 ，且 在 上单调递增，故不存在“界点”．
故选：D．
29．（2022秋·江西景德镇·高一江西省乐平中学校考阶段练习）若函数 对任意 且 ，都有
，则称函数 为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“穿透”函数的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，因为对任意 且 ， ，所以函数 为“穿透”函数，故A不适合题意；
对于B，因为对任意 且 ， ，
所以函数 不是“穿透”函数，故B适合题意；
对于C，因为对任意 且 ， ，
所以函数 为“穿透”函数，故C不适合题意；
对于D，因为对任意 且 ， ，
所以函数 为“穿透”函数，故D不适合题意.
故选：B.
30．（2023秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学统考期末）已知函数 及其导函数 ，若存在
使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用新定义：存在 使得 ，则称 是 的一个“巧点”，对四个选项中的函数
进行一一的判断即可．
【详解】对于A： ，则 ，令 ，则 ，故 有“巧值点”；
对于B， ，则 ，令 ，故方程有解，故 有“巧值点”；
对于C， ，则 ，令 ，
则 .∴方程 有解，故函数 有“巧值点”．
对于D： 定义域为 ，则 ，而 ，
显然 无根，故 没有“巧值点”.
故选：D．
31．（2023·全国·高三专题练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“ ”、“内卷”、
“躺平”等．定义方程 的实数根 叫做函数 的“躺平点”．若函数 ，
的“躺平点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ， 分别为 ， 的零点，利用导数判断原函
数单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】∵ ，则 ，
由题意可得： ，
令 ，则 为 的零点，
可知 在定义域 内单调递增，且 ，
∴ ；
又∵ ，则 ，
由题意可得： ，
令 ，则 为 的零点，，
令 ，则 或 ，
∴ 在 ， 内单调递增，在 内单调递减，
当 时， ，则 在 内无零点，
当 时， ，则 ，
综上所述： ；
故 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题
求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数草图；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
32．（2022·高二课时练习）设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为
，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”.已知
在 上为“凸函数”，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 在区间 上恒成立，结合二次函数的性质求得 的取值范围.【详解】 ，
，
二次函数 的开口向上，
依题意， 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
33．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，
若函数 ， ， 的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得 ，再引入新函数，利用新函数的
导数确定新函数的零点所在区间，得 的范围从而确定它们的大小．
【详解】由题意： ，
所以 分别为 的根，即为函数
的零点，
可解得 ；
为单调递增函数，
且 ，所以 ，令 ，解得 ，或 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，由 ， ， ，
，所以 ，
所以 .
故选：B.
34．（2022春·山东·高三山东师范大学附中校考期中）定义满足方程 的解 叫做函数
的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出每个选项中函数 ，判断每个选项中方程 是否有解，由此可得合适的选
项.
【详解】对于A选项， ，则 ，由 ，
即 ， ，因此， 存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项， ，则 ，由 ，
可得 ，其中 ，令 ，则 ， ，
所以，函数 在 上存在零点，即函数 存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项， ，则 ，其中 ，
因为 ，故函数 存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项， ，则 ，
由 ，可得 ，
因为 ， ，
所以， ，
所以，方程 无实解，D选项不满足条件.
故选：D.
二、多选题
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）对于定义域为 的函数 ，若存在区间 ，使得
同时满足，① 在 上是单调函数，②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，
则称区间 为该函数的一个“和谐区间”，则（ ）
A．函数 有3个“和谐区间”；
B．函数 ， 存在“和谐区间”
C．若定义在 上的函数 有“和谐区间”，实数 的取值范围为
D．若函数 有“和谐区间”，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由函数的单调增，确定 的解可判断ABC，由函数单调减，由 有解，求得 的范
围判断D．
【详解】对A，因为函数 在 上单调递增，所以有 ，即 ， 为 的两个实根，解得 可能取值为 ，0，
即函数 的有3个“和谐区间” ， ， ，故A正确；
对B，由于当 ， 只有一解，故不存在“和谐区间”，故B错误
对C， 在 上有“和谐区间”，
所以存在区间 ，使函数 的值域为 ，
函数在 上单调递增，
， 为关于 的方程 的两个实根，即方程 在 上有两个不等的实根，即
在 上有两个不等的实根，令 与 ，问题转化为函数
与 的图象，在 上存在两个不同的交点，函数 在 单调递减，在 上单
调递增．
，且 ， ，
此时 ，解得 ，
故 ．
对D，函数 在定义域单调递减，
当 的定义域为 时， 的值域也为 ，
①， ②两式相减可得，
，即 ③，
将③代入②， ，
令 ，得 ，又 ， ，
故实数 的取值范围为 ．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：新定义函数问题，关键是理解新定义，由新定义把问题进行转化，本题在确定单调增
的基础上，确定方程 的解，在单调减基础上由 有解得参数范围．
36．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知欧拉函数 的函数值等于所有不超过正
整数 ，且与 互素的正整数的个数，例如： ， ，则（ ）
A． 是单调递增函数 B．当 时， 的最大值为
C．当 为素数时， D．当 为偶数时，
【答案】BC
【分析】写出 的前8项，可判断ABD；当 为素数时， 与前 个数均互素，从而可判断C.
【详解】由题意知， ， ， ， ， ， ， ， ，
对于A， 不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当 时， 的最大值为 ，故B正确；
对于C，当 为素数时， 与前 个数均互素，所以 ，故C正确；
对于D，当 时， ,故D错误.故选:BC.
37．（2022秋·河北邢台·高一统考期末）对于函数 ，若在区间 上存在 ，使得 ，则称
是区间 上的“稳定函数”.下列函数中，是区间 上的“稳定函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出 以及 在 上的范围，即可判断A项；解 ，即可判断B、C项；可
转化为 有解，作出 与 的图象，即可判断D项.
【详解】对于A，当 时， 恒成立，则 恒成立.
又 ，所以，在 上，不存在 ，使得 ，故A错误；
对于B，当 时， ，故B正确；
对于C，解 可得， 或 ，且 ， ，故C正确；
对于D，令 ，可得 .
分别作出 与 在 上的图象，由图象知，函数 与 在 上有交点，
即 有解，故D正确.
故选：BCD.
38．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知定义在 上的函数 的图象连续不断，若存在常数
，使得 对于任意的实数 恒成立，则称 是回旋函数.给出下列四个命题，正
确的命题是（ ）
A．函数 （其中 为常数， 为回旋函数的充要条件是
B．函数 是回旋函数
C．若函数 为回旋函数，则
D．函数 是 的回旋函数，则 在 上至少有1011个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，得到 ，从而得到充要条件是 ；B选项，得到
，不存在 符合题意； C选项，化简得到 有解，则
；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到 在区间上均至少有一个零点，得到 在 上至少有1011个零点.
【详解】函数 （其中a为常数， ）是定义在R上的连续函数，且
，当 时， 对于任意的实数x恒成立，若
对任意实数x恒成立，则 ，解得： ，故函数 （其中a为常数，
）为回旋函数的充要条件是 ，A正确；
是定义在R上的连续函数，且 ，
不存在 ，使得 ，故B错误；
在R上为连续函数，且 ，要想函数
为回旋函数，则 有解，则 ，C正确；
由题意得： ，令 得： ，所以 与 异号，或
，当 时，由零点存在性定理得： 在 上至少存在一个零点，同理可
得： 在区间 上均至少有一个零点，所以 在
上至少有1011个零点，当 时，有 ，所以 在 上至
少有1011个零点，D正确.
故选：ACD
39．（2023秋·河南周口·高一统考期末）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有
；②若对于定义域上的任意 ， ，当 时，恒有 ，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由“理想函数”的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由题中①知， 为奇函数；由题中②知， 为减函数.
在A中，函数 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；
在B中，函数 为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；
在C中，函数 为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；
在D中，函数 的大致图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
40．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，
首次定义了取整函数 ，表示“不超过 的最大整数”，后来我们又把函数 称为“高斯函数”，关于
下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， ，都有
B．函数 的值域为 或
C．函数 在区间 上单调递增D．
【答案】AC
【分析】利用题中给出的新定义得到 ， ，结合不等式的性质即可判断选项A，利用基本不等式
结合新定义即可判断选项B，通过新定义可得函数 是周期为1的函数，然后研究函数的单调性即
可判断选项C，利用对数的运算性质以及 的范围进行分析求解，即可判断选项D．
【详解】对于选项A，因为对于任意的 ， ，都有 ， ，故 ，即
，故选项A正确；
对于选项B，当 时， ，当且仅当 时取等号，此时函数 的最大
值为 ，故选项B错误；
对于选项C，令 ，因为 ，所以函数 是周期为1的
函数，
因为当 时，函数 是增函数，所以函数 在区间 上单调递增，
故选项C正确；
对于选项D，当 且 时， ；
当 且 时， ；
当 且 时， ；
当 且 时， ；
，故选项D错误．
故选：AC
41．（2023·山东临沂·高一校考期末）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，
由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关
键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 ，令 ，若存在正整数k使得 ，且当 时， ，则称 值是 的一个周期为k的周期点．若
，下列各值是 周期为2的周期点的有（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当 、 、 、 时的函数周期，进而得出结
果.
【详解】解：A： 时， ，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B： 时， ，周期为1，周期为2也正确，故B正确；
C： 时， ， ，所以 值不是 周期为2
的周期点.故C不正确；
D： 时， ， ，所以 是 周期为2的周期点，
故D正确.
故选：ABD.
42．（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）设函数 的定义域为 ，若对于任意 ，存在
使 （ 为常数）成立，则称函数 在 上的“半差值”为 下列四个函数中，满
足所在定义域上“半差值”为 的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC【分析】根据题中定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】解：由题可知：对任意定义域中的任意 ，存在 ，使得 ，
对于A选项，函数 的值域为 ，A满足条件；
对于B选项，当 时， ，此时不存在自变量 ，使得函数值为 ，故B不满足；
对于C选项，函数 的值域为 ，C满足条件；
对于D，当 时， ，所以，不存在自变量 ，使得函数值为 ，所以D不满足.
故选：AC.
三、填空题
43．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数 的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，
都有 ， ，且 ．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有
的真命题序号）．
①若 ，则 ；
②若当 时， 取得最大值5，则当 时， 取得最小值 ；
③若 在区间 上是严格增函数，则 在区间 上是严格减函数．
【答案】①②
【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.
【详解】对于①， ，有 ，则 ，又 ，所以 ，①正确；
对于②，依题意， ， ，
则 ， ，即当 时， 取得最小值 ，②正确；
对于③， ，有 ，则 ，依题意， 在 上是严格减函数，
因此 在 上是严格增函数，即函数 在 上是严格增函数，③错误，
所以3个命题中是真命题的有①②.故答案为：①②
44．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）函数 的定义域为 ，满足：① 在
内是单调函数；②存在 ，使得 在 上的值域为 ，那么就称函数 为“优美
函数”，若函数 是“优美函数”，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】判断函数的单调性，根据“优美函数”的定义可列出方程组，结合一元二次方程的根的范围列出
不等式，即可求得答案.
【详解】若 ，则函数 为R上增函数， 为 上的增函数，
所以函数 为其定义域上的增函数，
若 ，则函数 为R上减函数， 为 上的减函数，
所以函数 为其定义域上的增函数，
综上，函数 为其定义域上的增函数，
若函数 是“优美函数”，则 ，
即 ，即 是方程 的两个不同的正根，
则 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题要正确理解“优美函数”的定义，由此可列出相应的方程，因此解答的关
键在于判断函数的单调性，进而将问题转化为一元二次方程的根的范围问题.45．（2023秋·山东德州·高一统考期末）在数学中连乘符号是“ ”，这个符号就是连续求积的意思，
把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： ．函数
，定义使 为整数的数 叫做企盼数，则在区间 内，这
样的企盼数共有_______个．
【答案】9
【分析】由对数换底化简 后，根据新定义累乘后可得 ，再由企盼数定义可得
，转化为求满足 的n的个数.
【详解】令 ，
，
要使 成为企盼数，则 ，
，即 ，
，
可取 .
所以在区间 内，这样的企盼数共有9个.
故答案为：9
46．（2021春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）对于函数 可以采用下列方法求导数：由
可得 ，两边求导可得 ，故 .根据这一方法，可得函数 的极小值为___________.
【答案】
【分析】根据已知对 求导，然后再两边求导可得 ，可得到 的单调性
及极小值.
【详解】由 可得 ，两边求导可得 ，
，由 可得 ，故 ，当 时，
，当 时， ，故 的极小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查导数的定义与导数的计算､函数极值的求解，解题的关键点是根据已知条件进行求导，
考查了学生的数学运算与逻辑推理能力.
47．（2021春·重庆渝北·高二重庆市两江中学校校考阶段练习）设 与 是定义在同一区间 上
的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 与 在 上是“关
联函数”．若 与 在 上是“关联函数”，则实数 的取值范围是
____________．
【答案】
【解析】令 得 ，设函数 ，则直线 与函数
在区间 上的图象有两个交点，利用导数分析函数 的单调性与极值，利用数形结合思
想可求得实数 的取值范围.【详解】令 得 ，设函数 ，
则直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：
极大值
， ，如下图所示：
由上图可知，当 时，直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属
于中等题.
48．（2018春·河南南阳·高二统考期中）定义：如果函数 在区间 上存在 ， （），满足 ， ，则称函数 在区间 上是
一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意得到 ，即方程 在区间 上有两个
解，利用二次函数的性质即可求出 的取值范围．
【详解】因为 ，所以 ，
因为函数 是区间 上的双中值函数，
所以区间 上存在 满足 ，
所以方程 在区间 上有两个不相等的解，
令 ，
则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
四、解答题
49．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布
劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得，我们就称该函数“不动点”函数，实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点；
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据不动点定义求解即可;
(2)根据不动点的范围,分类讨论列式求解可得范围.
【详解】（1）设不动点 ,因为 又因为 ,所以 , ,
即得
（2）因为函数 有两个不动点
所以 , ,
①当
若 ，则 ，不满足题意，
则
, ,解得
②当
若 ，则 ，不满足题意，
则 ， ，又 , ,解得 ，
综合①②,可知 的取值范围是
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来
创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实
现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
50．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数 ，若点 在函数 图像
上运动时，对应的点 在函数 图像上运动，则称函数 是函数 的相关函
数.
(1)求函数 的解析式；
(2)对任意的 的图像总在其相关函数图像的上方，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点 代入函数 中化简即可；
（2）由（1）求得函数 的解析式，然后由 在 上恒成立可得参数范围．
【详解】（1）因为函数 ，且点 在函数 图像上运动，
所以 ，即 ，
所以函数 的解析式为： .
（2）因为对任意的 ， 的图像总在其相关函数图像的上方，所以当 时， 恒成立，
即 恒成立，
由 ， ， ，得 ，
所以在此条件下，
即 时， 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，
∴ ，
解得 ，
故实数 的取值范围为 .
51．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数 的定义域为R，且对 ，都有
，则称 为“J形函数”
(1)当 时，判断 是否为“J形函数”，并说明理由；
(2)当 时，证明： 是“J形函数”；
(3)如果函数 为“J形函数”，求实数a的取值范围.
【答案】(1)否，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3) 或 .【分析】（1）作差可得 ，根据 的任意性，无法判断该式符号，即可说
明；
（2）作差可得 ，即可证明得出结论；
（3）代入化简可得 ， .由“J形函数”的概念整
理化简可得， ，进而即可得出实数a的取值范围.
【详解】（1）解： 不是“J形函数”，理由如下：
当 时，有 ， ， ，
则 .
因为 ，所以 与0的关系不确定，
不能得出 ，所以 不是“J形函数”.
（2）证明：当 时，有 ， ，
，
则 ，
所以 ，
显然有 对 恒成立，
所以有 对 恒成立，
所以 是“J形函数”.
（3）解：由已知可得 ， ， ，所以 .
因为函数 为“J形函数”，
所以有 ，
即 .
由 ，可得 ；
由 可得， .
当 时，该式恒成立，满足；
当 时，有 恒成立.
因为 ，所以 .
综上可得， 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函
数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简 .只要得出
恒成立，即可说明 是“J形函数”.
52．（2022秋·陕西安康·高三统考期末）已知函数 .
(1)若 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
(2)定义：若 在其定义域内单调递增，且 在其定义域内也单调递增，则称 为 的
“协同增函数”.
已知函数 ，若 是 的“协同增函数”，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）分析可知， 对任意的 恒成立，利用导数求出函数 的最小值，可得出关
于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围；
（2）由（1）可得出 ，分析可知， 在 上恒成立，利用导数求出函数
在 上的最小值，可得出关于实数 的不等式，由此可解得实数 的取值范围.
(1)
解：因为 ，所以 ，
令 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，即 .
因为 在其定义域内是增函数，所以 ，解得 .
(2)
解：由（1）可得 .
设 ，
则 .
因为 在其定义域内是增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
设 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，解得 .
因为 ，所以 ，即 的取值范围是 .
53．（2022·高二课时练习）记 、 分别为函数 、 的导函数．若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”．
（1）证明：函数 与 不存在“ 点”；
（2）若函数 与 存在“ 点”，求实数 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；
（2）设 为 与 的“ 点”，根据题中定义可得出关于 的方程组，即可求得实数 的值.
【详解】（1）函数 ， ，则 ， ．
由 ，可得 ，此方程组无解，
因此，函数 与 不存在“ 点”；
（2）函数 ， ，则 ， ，设 为 与 的“ 点”，由 可得 ，
可得 ，解得 ，此时 .
因此， .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“ 点”的定义得出方程
进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.
54．（2023秋·广东江门·高一统考期末）对于函数 ，若其定义域内存在实数 满足 ，
则称 为“伪奇函数”.
(1)已知函数 ，试问 是否为“伪奇函数”？请说明理由；
(2)是否存在实数 满足函数 是定义在 上的“伪奇函数”？若存在，请求实数 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)函数 不是“伪奇函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据所给定义令 得到方程，判断方程无解，即可得解；
（2）依题意可得 ，令 则 ，问题转化为关于 的方程
在 上有解，令 ，结合二次函数的性质分 、 两
种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】（1）解：函数 不是“伪奇函数”，
对于 定义域为 ，令 ，即 ，即 ，显然方程无解，
所以不存在实数 满足 ，
所以函数 不是“伪奇函数”.
（2）解：假设函数 是定义在 上的“伪奇函数”，
则有 ，即 ，
化简得 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 在 上有解，
令 ，
①当 即 ，解得 ，
即当 时， 在 上有解，
②当 时，要满足题意只需 ，
即 ，解得 ，
综上，实数 的范围为 ．
