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2024届新高考二轮复习第八讲：数列
1.（3）记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
2.（19）离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，若 ，
记 为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ， 两两不同，若
，则称 是以 为底 的离散对数，记为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，
）．证明： ，其中 ；
（3）已知 ．对 ，令 ．证明：
．
【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【小问1详解】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若 ，又注意到 ，
所以 .
【小问2详解】
当 时，此时 ，此时 ， ，
故 ，
此时 .
当 时，因 相异，故 ，
而 ，故 互质.
设
记 ，
则 ，使得 ，
故 ，故 ，
设 ，则 ，
因为 除以 的余数两两相异，
且 除以 的余数两两相异，
故 ，故 ，
故 ，而 其中 ，
故 即 .
【
小问3详解】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时，由（2）可得 ，若 ，则 也成立.
因为 ，所以 .
另一方面，
.
由于 ，所以 .
题型一：等差数列
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
， ， ，
解得 ， ，
故 .
（2）由（1）知 ， ，
， ， ，
．
【变式训练】
1.（2024春·新高考）已知数列 的前n项和 ，则 的值是（ ）
A．8094 B．8095 C．8096 D．8097
【答案】A
【分析】利用前n项和和通项公式的关系求出通项公式，再求值即可.
【详解】易知 ， ，
故 ，当 时符合题意，故 成立,
显然 .
故选：A
2.（2024春·广州市华南师大附中）在数列 中的相邻两项 与 之间插入一个首项为 ，
公差为 的等差数列的前 项，记构成的新数列为 ，若 ，则 前65项的和为（ ）
A． B．-13 C． D．-14
【答案】A
【详解】解：数列 为： ，
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设 及其后面 项的和为 ，则 ，
所以数列 是以1为首项，公差为 的等差数列.
所以 前65项的和为 ，
故选：A.
3.（2024春·福建福州）已知数列 的前 项积为 ，且 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)从 中依次取出第1项，第2项，第4项……第 项，按原来顺序组成一个新数列 ，求数列
的前 项和．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为数列 的前 项积为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
化简可得 ，
当 时， ，解得： ，
所以 是等差数列，首项为3，公差为2.
（2）由（1）可得 ,
所以 ，故 ，令数列 的前 项和为 ，
则 ①
②
① ②可得：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
化简可得： ，
所以数列 的前 项和
题型二：等比数列
【典例例题】
例1.（2024春·江西南昌）公比为 的等比数列 的前 项和 ．
（1）求 与 的值；
（2）若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ， （2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
， ，
又数列 为等比数列，则 ，
又 ，
，解得 ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【
小问2详解】
由（1）可得 ，
所以 ，
，
当 时， ，
．
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）各项为正的等比数列 中， ，则 的前4项和 （ ）
A. 40 B. 121 C. 27 D. 81
【答案】A
【解析】
【详解】设等比数列公比为 ,
故选：A.
2.（2024春·广东深圳）已知数列{a )满足log a +1=log a (n∈N∗)，且a +a +a =9，则
n 3 n 3 n+1 2 4 6
log (a +a +a )
1 3 5 7 的值是（ ）
3
A．−3 B．5 C．4 D．−2
【答案】A更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】由log
3
a
n
+1=log
3
a
n+1
(n∈N∗)，可得a
n+1
=3a
n
，所以数列{a
n
)是公比为3的等比数列，
因为a +a +a =9，
2 4 6
log (a +a +a )=log 3(a +a +a )=log 33=−3
所以 1 3 5 7 1 2 4 6 1 .
3 3 3
故选：A
3.（2024春·广东省东莞市）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设首项为 ，公比为 ，易知 ， ，可得
，解得 ，
而 ，
故选：C
4.（2024春·深圳市宝安区）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则 是等比数列 B.若 是等比数列，则
C.若 ，则 是等比数列 D.若 是等比数列，且 ，则
【答案】BCD 当 时，满足 ，但 不是等比数列，则 错误.由等比数列的性质可知
，则B正确.由 ，得 ，则 ，当更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
时， ，则 ，从而可知 是等比数列，则C正确.由 ，得
.由等比数列的性质可知 ，即 ，解得 ，则D正确.
题型三：数列求和
【典例例题】
例1.（2024春·河南郑州）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）若数列 满足 ，且 ，设 为数列 的前 项和，集合 ，求
（用列举法表示）．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
设等差数列 的公差为d，则 ，即 ，①
因为 ，所以由 ，得 ．②
由①、②解得 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，上式也成立，所以 ，
所以数列 是等差数列．
【小问2详解】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由（1）可知 ，
当 时， ，
因为 满足上式，所以 ．
，
因为当 时， ，所以 ．
【变式训练】
1.（2024春·安徽合肥）已知数列 为等差数列， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
设等差数列 的公差为d，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
【
小问2详解】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
证明：因为 ，
所以
，
因为 ，所以 .
2.（2024春·广东实验中学）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等
比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ， 是数列 的前 项和.求
【答案】（1） 或 （2）
【解析】
【小问1详解】
为等差数列，设公差为 ， ， ，
， ， 成等比数列， ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， ， ，
数列 的通项公式为 或 ；
【小问2详解】
，由（1）知， ， ，
，
.
故 .
3.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）已知数列 的前 项和 满足
.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
解：
（1）由已知： 当 时
两式相减可得： ，
又 时， 满足上式，
所以
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又 时， 满足上式，
则 ；
（2）由（1）可得： ，
则 ，
即 ，
两式相减可得： ，
即
题型四：奇偶数列
【典例例题】
例1.（2024春·广州市）设数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
依题意， ，
当 时， ，
当 时， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， 也符合.
所以 .
【小问2详解】
由（1）得 ，所以
.
【变式训练】
1. （2024春·湖南长沙）已知数列 满足 ， ，若 为数
列 的前 项和，则 （ ）
A. 624 B. 625 C. 626 D. 650
【答案】C
【解析】
【详解】数列 中， ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
当 时， ，即数列 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则 ，
当 时， ，即数列 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为 ，
则 ，
所以 .
故选：C
2.（2024春·黑龙江）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
(1)若数列 满足 ，求 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式，并求 ．
【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）解：因为数列 满足 ， ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，则 .
（2）解：由（1）可得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以， ，
当 为奇数时，设 ，则 ，
则 ；
当 为偶数时，设 ，则 ，则 .
综上所述， .
因为
，
，
所以， .
3.（2024春·广州市华南师大附中）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】（1）根据题意， ，所以 ，
由于 ，则 是以首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， .
验证 时 满足通项公式，故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 .
设 的前 项和为 ，则当 为偶数时，
.
当 为奇数时， ，
设 的前 项和为 ，则 .
因为 ，所以
题型五：数列情境题型
【典例例题】
例1.（2024下·山东菏泽）国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用 格黑白方格相间棋盘，
骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的 格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨
牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋
盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明 格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(1)证明：切掉 格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉 格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，
并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记 格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为 ，数列 的前n项和为 ，证明：
.
【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析
【详解】（1）由于每块骨牌覆盖的都是相邻的两个异色方格，
故棋盘的黑白方格数目相同是其能被骨牌完全覆盖的必要条件，
但切掉 格黑白方格相间棋盘的对角两格后，
要么黑色方格比白色方格多两个，
要么白色方格比黑色方格多两个，
故余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
（2）切掉两个异色方格并作完全覆盖示例如图1；
如图2， 格黑白方格相间棋盘能够被红线分割为黑白方格依次相邻且首尾相接的“方格条”，
无论切掉其中哪两个黑白方格，都会将“方格条”拆成一至两个“短方格条”，
且每个“短方格条”中黑白方格的数目是相同的，都能够被骨牌完全覆盖，
故余下棋盘能一定被骨牌完全覆盖；
（3）如图3，可知完全覆盖方式数的递推公式为 ，
其中 ， .
从而 ，
，…，
，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
累加得 ，
移项得 .
【变式训练】
的
1.（2024春·广东省揭阳市）从2019年初，某生产新能源汽车零件 企业不断引进技术，此后每年的零件
销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业
2019年的销售额约为（参考数据： ， ）（ ）
A. 30万元 B. 35.2万元 C. 40.4万元 D. 42.3万元
【答案】A
【解析】
【详解】设 是等比数列，公比 ，
依题意， ，
解得 万元.
故选：A
2.（2024春·新疆）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，
丙､丁，戊五人递差分之，要将甲､乙二人数与丙､丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二
百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，
戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（ ）
A. 32石 B. 40石 C. 48石 D. 56石
【答案】B
【解析】
【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为 ， ， ， ， ，
∴依题意， ，即 ，
又 ，解得 ，
综上，可得 ，
∴丁分得大米重量为 (石)，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：B.
3.（2024春·惠州市）斐波那契数列: 每项被 4 除所得的余数构成数列 ，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
【答案】A
【详解】由题意，斐波那契数列: 每项被 4 除所得的余数构成数列 ，
可得数列 的各项分别为 ，
即数列 中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以 .
.
故选：A
4.（2024春·山东济南）已知甲植物生长了一天，长度为 ，乙植物生长了一天，长度为 .从第二
天起，甲每天的生长速度是前一天的 倍，乙每天的生长速度是前一天的 ，则甲的长度第一次超过乙的
长度的时期是（ ）（参考数据：取 ）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
【答案】C
【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列 ，甲植物每天生长的长度构成等比数列 ，设其前
项和分别为 、 （即 天后树的总长度），
则 ， ，
所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
由 ，可得 ，
即 ，即 ，
解得 或 （舍去），
由 则 ，因为 ，
即 ，又 ，所以 的最小值为 .
故选：C
题型六：数列新定义题型
【典例例题】
例1.（2024春·云南昆明）若无穷数列{a )的各项均为整数．且对于∀i, j∈N∗，i< j，都存在k> j，使
n
得a =a a −a −a ，则称数列{a )满足性质P．
k i j i j n
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①a =n，n=1，2，3，…；
n
②b =n+2，n=1，2，3，…．
n
(2)若数列{a )满足性质P，且a =1，求证：集合{n∈N∗|a =3))为无限集；
n 1 n
(3)若周期数列{a )满足性质P，求数列{a )的通项公式．
n n
(1)数列{a )不满足性质P；数列{b )满足性质P，理由见解析
n n
(2)证明见解析
(3)a =0或a =3．
n n
【详解】（1）对①，取i=1，对∀ j∈N∗, j>1，则a =a =1,a = j，
i 1 j更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
可得a a −a −a = j−1− j=−1，
i j i j
显然不存在k> j,k∈N∗，使得a =−1，
k
所以数列{a )不满足性质P；
n
对②，对于∀i, j∈N∗,i< j，则b =i+2，b = j+2，
i j
故b b −b −b =(i+2)(j+2)−(i+2)−(j+2)=i⋅j+i+ j
i j i j
=(i⋅j+i+ j−2)+2，因为i, j∈N∗,i≥1, j≥2，
则(i⋅j+i+ j−2)∈N∗，且i⋅j+i+ j−2=i(j+1)+(j−2)≥3，
所以存在(k=i⋅j+i+ j−2)∈N∗，k> j，
使得b =(i⋅j+i+ j−2)+2=b b −b −b ，
k i j i j
故数列{b )满足性质P；
n
（2）若数列{a )满足性质P，且a =1，则有：
n 1
取i=1, j= j >1, j ∈N∗，均存在k > j ,k ∈N∗，使得a =a a −a −a =−1，
1 1 1 1 1 k 1 1 j 1 1 j 1
取i=1, j= j >k , j ∈N∗，均存在k > j >k ,k ∈N∗，使得a =a a −a −a =−1，
2 1 2 2 2 1 2 k 2 1 j 2 1 j 2
取i=k , j=k >k ，均存在m >k >1,m ∈N∗，使得a =a a −a −a =3，
1 2 1 1 2 1 m 1 k 1 k 2 k 1 k 2
故数列{a )中存在n∈N∗，使得a =3，即{n∈N∗∣a =3)≠∅，
n n n
反证：假设{n∈N∗∣a =3)为有限集，其元素由小到大依次为n ,n ,⋯,n (n >1)，
n 1 2 l l
取i=1, j=n +1>n，均存在k >n +1,k ∈N∗，使得a =a a −a −a =−1，
l l L l L k L 1 n l +1 1 n l +1
取i=1, j=k +1，均存在k >k +1,k ∈N∗，使得a =a a −a −a =−1，
L L+1 L L+1 k L+1 1 k L +1 1 k L +1
取i=k , j=k ，均存在n >k >n ,n ∈N∗，使得a =a a −a −a =3，
L L+1 l+1 L+1 l l+1 n l+1 k L k L+1 k L k L+1
即n ∈{n∈N∗∣a =3)这与假设相矛盾，故集合{n∈N∗∣a =3)为无限集.
l+1 n n
（3）设周期数列{a )的周期为T≥1,T∈N∗，则对∀n∈N∗，均有a =a ，
n n n+T更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设周期数列{a )的最大项为a ,M∈N∗,1≤M≤T，最小项为a ,N∈N∗,1≤N≤T，
n M N
即对∀n∈N∗，均有a ≤a ≤a ，
N n M
若数列{a )满足性质P：
n
反证：假设a ≥4时，取i=M, j=M+T，则∃k>M+T,k∈N∗，使得
M
a =a a −a −a =a2 −2a ，
k M M+T M M+T M M
则a −a =a2 −3a =a (a −3)>0，即a >a ，
k M M M M M k M
这对∀n∈N∗，均有a ≤a ≤a 矛盾，假设不成立；则对∀n∈N∗，均有a ≤3；
N n M n
反证：假设a ≤−2时，取i=N, j=N+T，则∃k>N+T,k∈N∗，使得
N
a =a a −a −a =a2 −2a ≥4，
k N N+T N N+T N N
这与对∀n∈N∗，均有a ≤3矛盾，假设不成立，即对∀n∈N∗，均有a ≥−1；
n n
综上所述：对∀n∈N∗，均有−1≤a ≤3，
n
反证：假设1为数列{a )中的项，由（2）可得：−1,3为数列{a )中的项，
n n
∵−1×3−(−1)−3=−5，即−5为数列{a )中的项，
n
这与对∀n∈N∗，均有−1≤a ≤3相矛盾，即对∀n∈N∗，均有a ≠1，同理可证：a ≠−1，
n n n
∵a ∈Z，则a ∈{0,2,3)，
n n
当T=1时，即数列{a )为常数列时，设a =a，故对∀i, j∈N∗,i< j，都存在k> j，
n n
使得a =a a −a −a =a2−2a=a，解得a=0或a=3，即a =0或a =3符合题意；
k i j i j n n
当T≥2时，即数列{a )至少有两个不同项，则有：
n
①当0,2为数列{a )中的项，则0×2−0−2=−2，即−2为数列{a )中的项，但−2∉{0,2,3)，不成立；
n n
②当0,3为数列{a )中的项，则0×3−0−3=−3，即−3为数列{a )中的项，但−3∉{0,2,3)，不成立；
n n
③当2,3为数列{a )中的项，则2×3−2−3=1，即1为数列{a )中的项，但1∉{0,2,3)，不成立；
n n更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综上所述：a =0或a =3.
n n
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）若存在常数t，使得数列{a )满足a −a a a ⋅⋅⋅a =t（n≥1，n∈N），则称
n n+1 1 2 3 n
数列{a )为“H(t)数列”.
n
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“H(1)数列”，并说明理由；
(2)若数列{a )是首项为2的“H(t)数列”，数列{b )是等比数列，且{a )与{b )满足
n n n n
n
∑a2=a a a ⋯a +log b ，求t的值和数列{b )的通项公式；
i 1 2 3 n 2 n n
i=1
(3)若数列{a )是“H(t)数列”，S 为数列{a )的前n项和，a >1，t>0，试比较lna 与a −1的大小，并证
n n n 1 n n
明t>S −S −eS n −n .
n+1 n
【答案】．(1)不是“H(1)”数列(2)t=−1，b =2n+1
n
(3)lna 1时，f′(x)<0，
则f (x)=lnx−x+1在区间(1,+∞)单调递减，
且f (1)=ln1−1+1=0，
又由{a )是 “H(t)数列”，
n
即 a −a a a ⋯a =t，对于n≥1,n∈N恒成立，
n+1 1 2 3 n
因为a >1,t>0，则a =a +t>1，
1 2 1
再结合a >1,t>0,a >1，
1 2
反复利用a =a a a ⋯a +t，
n+1 1 2 3 n
可得对于任意的n≥1,n∈N，a >1,
n
则f (a )S −S −eS n −n .
n+1 n
2.（2024春·黑龙江）若有穷数列 满足： ，则称此数列
具有性质 .
(1)若数列 具有性质 ，求 的值；
(2)设数列A具有性质 ，且 为奇数，当 时，存在正整数 ，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质 ，且满足 （ 为常数）的数列A构成的集合记作 .求出
所有的 ，使得对任意给定的 ，当数列 时，数列A中一定有相同的两项，即存在
.
【答案】(1)2；2；4 (2)证明见详解 (3)
【详解】（1）由已知可得数列 共有5项，所以 ，
当 时，有 ，
当 时，有 ，所以 ，
当 时，有 ，所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（2）数列A具有性质 ，且 为奇数，令 ，
可得 ，
设 ，
由于当 时，存在正整数 ，使得 ，
所以 这 项均为数列A中的项，
且 ，
因此一定有
即 ，
这说明： 为公差为 的等差数列，再数列A具有性质 ，
以及 可得，数列A为等差数列；
（3）当 时，
设A： ， ， ， ， ，
由于数列具有性质 ，且满足 ，
由 和 ，得 ，
当 时，不妨设 ，此时： ， ，此时结论成立，
当 时，同理可证，所以结论成立.
当 时，不妨设 ，反例如下：
当 时，不妨设 ，反例如下：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综上所述， 符合题意.
3.（2024春·广东肇庆）若有穷数列 满足： ，则称此数
列具有性质 .
(1)若数列 具有性质 ，求 的值；
(2)设数列A具有性质 ，且 为奇数，当 时，存在正整数 ，使得
，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质 ，且满足 （ 为常数）的数列A构成的集合记作 .求出
所有的 ，使得对任意给定的 ，当数列 时，数列 A 中一定有相同的两项，即存在
.
【答案】(1)2；2；4
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）由已知可得数列 共有5项，所以 ，
当 时，有 ，
当 时，有 ，所以 ，
当 时，有 ，所以 ，
（2）数列A具有性质 ，且 为奇数，令 ，
可得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设 ，
由于当 时，存在正整数 ，使得 ，
所以 这 项均为数列A中的项，
且 ，
因此一定有
即 ，
这说明： 为公差为 的等差数列，再数列A具有性质 ，
以及 可得，数列A为等差数列；
（3）当 时，
设A： ， ， ， ， ，
由于数列具有性质 ，且满足 ，
由 和 ，得 ，
当 时，不妨设 ，此时： ， ，此时结论成立，
当 时，同理可证，所以结论成立.
当 时，不妨设 ，反例如下：
当 时，不妨设 ，反例如下：
综上所述， 符合题意更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
4.（2024春·江西南昌）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A
为m的k减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明： ；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
【答案】(1)数列 和数列3，1
(2)证明见解析
(3) 的最大值为512072
【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案；
（2）根据存在 的6减数列，可得 ，即 ，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有 ，
即可证明结论；
（3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列 为 的形式，从而结合设其中有
项为2，有 项为1， 进行求解，即可得答案.
【详解】（1）由题意得 ，则 或 ，
故所有4的1减数列有数列 和数列3，1.
（2）因为对于 ，使得 的正整数对 有 个，
且存在 的6减数列，所以 ，得 .
①当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以 .
②当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
若 ，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以 ，不符合题意，所以 .
③当 时，因为存在 的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以 .
综上所述，若存在 的6减数列，则 .
（3）若数列中的每一项都相等，则 ，
若 ，所以数列 存在大于1的项，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若末项 ，将 拆分成 个1后 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
当 时，若 ，交换 的顺序后 变为 ，
所以此时 不是最大值，所以 .
若 ，所以 ，
所以将 改为 ，并在数列末尾添加一项1，所以 变大，
所以此时 不是最大值，所以 .
若数列A中存在相邻的两项 ，设此时 中有 项为2，
将 改为2，并在数列末尾添加 项1后， 的值至少变为 ，
所以此时 不是最大值，
所以数列 的各项只能为2或1，所以数列 为 的形式.
设其中有 项为2，有 项为1，
因为存在2024的 减数列，所以 ，
所以 ，
所以，当且仅当 时， 取最大值为512072.
所以，若存在2024的 减数列， 的最大值为512072.
题型七：数列与五大“主干”知识点结合
【典例例题】
例1.（2024春·湖南·高三长郡中学校）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个
光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿
亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1
的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自
旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间
的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变
为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的
两个粒子中上旋粒子的个数为 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 ，求两个粒子通过第一道逻辑门后上
旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 ， ，…，
，则称 （其中 ）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过
第二道逻辑门后上旋粒子个数为 的信息熵 ；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻
辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 （ ，2，3，⋯，
，⋯）.证明：当 无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数.
参考公式： 时， ， .
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【详解】（1）设 “两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 个”， ，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 个”，
则 ， ，
， ， ，
则 ，
故 .
（2）由题知 ，1，2，
由（1）知 ，
同理可得 ，
则 ，
故 的信息熵 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（3）由题知 ，其中 ，2，3，…，
则 ，
又 ，
则 ，①
，②
得：
，
由题知，当 无限增大时， 趋近于零， 趋近于零，则 趋近于 .
所以当 无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数.
【变式训练】
1.（2024春·辽宁·校联考一模）（多选）已知数列 的首项为 ，且 ，则（ ）
A．存在 使数列 为常数列 B．存在 使数列 为递增数列
C．存在 使数列 为递减数列 D．存在 使得 恒成立
【答案】ABD
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，则 ，设 ， ，
所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
当 时 ， ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故当 使数列 为常数列，故A正确；
当 时，由 在 上单调递增，又 ，
所以 ，故B正确；
当 时，由 在 上单调递减，又 ，
所以 ，又 在 上单调递增且 ，
所以 ，所以存在 使得 恒成立，即D正确；
由上述分析可知，不存在 使数列 为递减数列，故C错误.
故选：ABD
2.（2024·陕西咸阳）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：
是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是
质数．现设 ，数列 的前 项和为 ，则使不等式 成立
的正整数 的最大值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【详解】依题意， ， ，
则 ，
则
，即 ，而 ，解得 ，
所以满足条件的正整数 的最大值为 .
故选：B
3.（2024春·湖北武汉）（多选） 如图，已知正方体 顶点处有一质点Q，点Q每次会
随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 点Q移动4次后恰好位于点 的概率为0
D. 点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】ACD
【解析】
【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机
移动一次仍在下底面的概率为 ，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为 ，所以
，故A正确， ，故B错误，点Q由点A移动到点
处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点 ，故C正确，由于
且 ，所以更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
4.（2024下·江苏泰州）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和
大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继
续下一次抛掷，否则停止抛掷（最多抛掷 次，即抛掷到 次时无条件终止）．
(1)若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
(2)若执行规则B，证明：抛掷次数 的数学期望不大于3．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）若执行规则A，抛掷次数恰为1次，
“抛掷一颗骰子1次结果向上的点数”构成的基本事件为： ，共 个基本事件；
事件“向上的点数不大于2”包含的基本事件为： ，包含 个基本事件；
由古典概型的计算公式得，若执行规则A，抛掷次数恰为1次的概率为： ．
（2）若执行规则B，抛掷次数 的所有可能取值为1，2，3，…， ；
显然抛掷一颗骰子1次结果向上的点数不大于2的概率为 ，大于2的概率为 ，
， ， ，…，
，
所以
，
设 ①，
∴ ②，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
①－② ，
，
得：
由于 ，则 ，
所以 ，
问题得证.
一、单项选择
1.（2024春·安徽）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算．
由 ，故 ，则 ，
所以 ．
故选：B
2.（2024春·浙江绍兴）设 为是首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】C
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
且 ，则 ，
可得 ，解得 ，故AB错误；
由 可知 ，可得 ，则 ，
所以 ，故C正确；
例如 ，符合题意，但 ，故D错误.
故选：C.
3.（2024·湖南长沙）古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初
日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少
德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413 B．427 C．308 D．133
【答案】A
【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列 ，设数列首项为 ，公差为 ，则 ， .
则通项公式 ， ， ，
则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为：
.
故选：A
二、多项选择
4.（2024春·浙江丽水）设 是等比数列 的前n项和，q为 的公比，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C．若 ，则存在 使得 D．若存在 使得 ，则
【答案】ACD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】 ．当 时， ；当 时， ．
对于A选项， ,它是首项为 ,公比为 的等比数列，A选项正确．
对于B选项，当 时， 不是等比数列．当 时， 不是等比数列．B选项错
误．
对于C选项，若 ,则当 时， ．C选项正确．
对于 D 选项，若 ,当 时， ．所以 ,得 ．解得 （舍
去）或 ．D选项正确．
故选：ACD.
5．（2024春·河北衡水）欧拉函数 是数论中的一个基本概念， 的函数值等于所有不超过
正整数 ，且与 互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本
身）互质），例如 ，因为1，3，5，7均与8互质，则（ ）
A． B．数列 单调递增
C． D．数列 的前 项和小于
【答案】ACD
【详解】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则 ；与6互质的数为1，5，则 ；
与10互质的数为1，3，7，9，则 ，故 ，即A正确；
B选项，由A选项可知， ，故数列 不是单调递增数列，即B错误；
C选项，注意到 ，则从1到100，这100个整数中，被2整除的有50个，
被5整除的有20个，同时被2和5整除的有10个，则从1到100，这100个整数中，
不能被被2或5整除的数，即与100互质的数的个数为 个，则 ，故C正确；
D选项，由C选项分析可知，与 互质的数，就是从1到 ，这 个整数中去掉所有的2的倍数.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
其中2的倍数有 个，则 ，同理可得 .则 ，
即为首项为 ，公比为 的等比数列，其前 项和 ，故D正确.
故选：ACD
三、简答题
6.（2024春·河北石家庄）已知正项数列 满足 .
(1)证明:数列 是等比数列;
(2)若 ，数列 的前 项和为 .证明: .
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为 ，可得 ，即 ，
且 ，可得 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）证明：由（1）可知 ，则 ，
可得 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 .
7.（2024春·安徽亳）记正项等比数列 ､等差数列 的前 项和分别为 ，已知 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
.
(1)求 和 的通项公式；
(2)设集合 ，求 中元素的个数.
【答案】(1) ， (2)10个
【详解】（1）设 的公比为 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，
从 四个数中任取两个数（可重复）有 种取法，
易知不同取法中的两个数之和都互不相等，故集合 中的元素有10个.
8.（2024春·内蒙古赤峰）记 为数列 的前 项和，
(1)求 ，并证明
(2)若 ，求数列 的前 项和
【答案】(1) ，证明见解析 (2)
【详解】（1）令 ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
∴ ，
因为 ，
所以 ，①
所以 ，②
②－①得 ，③
所以 ，④
③－④得 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，则 ，
所以数列 是等差数列，
又 ， 所以 的公差 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
9.（2024春·江西南昌）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正
四面体任意抛掷 次，落于水平的桌面，记 次底面的数字之和为 .
(1)当 时，记 为 被3整除的余数，求 的分布列与期望；
(2)求 能被3整除的概率 .
【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】（1）由题可知，正四面体与桌面接触的数字为1和2的概率均为 ，
的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2
.
（2）由题可知 ，当 时， 次底面的数字之和能被3整除的概率为 ，
所以 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 .
10.（2024春·湖北省）设正整数数列 ， ， ， 满足 ，其中 .如果存
在 ，3， ， ，使得数列 中任意 项的算术平均值均为整数，则称 为“ 阶平衡数列”
（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（2）若 为偶数，证明：数列 ，2，3， ， 不是“ 阶平衡数列”，其中
（3）如果 ，且对于任意 ，数列 均为“ 阶平衡数列”，求数列 中所有元素
之和的最大值．
【答案】（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
（2）证明见解析 （3）12873．
【解析】
【分析】（1）由 不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（2）讨论 为偶数或奇数，结合新定义即可得证；
的
（3）在数列 中任意两项 ， ， ，作差可得数列中任意两项之差都是 倍数，
，讨论数列 的项数超过8，推得数列 的项数至多7项.讨论数列 的项数为7，数
列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.
【小问1详解】
由 不为整数，
可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；
数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
【小问2详解】
证明：若 为偶数，设 ，
考虑1，2，3， ， 这 项，其和为 .
所以这 项的算术平均值为： ，此数不是整数；
为
若 奇数，设 ， ，考虑1，2，3，4，5， ， ， ；
这 项，其和为 ，
所以这 项的算术平均数为： ，
此数不是整数；
故数列 ：1，2，3，4， ， 不是“ 阶平衡数列”，其中 ；
【小问3详解】
在数列 中任意两项 ， ， ，
对于任意 ，在 中任意取两项 ， ，相异的 项，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
并设这 项和为 .由题意可得 ， 都是 的倍数，
即 ， ， ， 为整数），可得 ，
即数列中任意两项之差都是 的倍数， ，
因此所求数列 的任意两项之差都是2，3， ， 的倍数，
如果数列 的项数超过8，
的
那么 ， ， ， 均为2，3，4，5，6，7 倍数，
即 ， ， ， 均为420的倍数，
为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），
，
即 ，这与 矛盾，
故数列 的项数至多7项.
数列 的项数为7，
那么 ， ， ， 均为2，3，4，5，6的倍数，
即 ， ， ， 均为60的倍数，
为2，3，4，5，6的最小公倍数），
又 ，且 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ， ， ， 取得最大值12873；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
验证可得此数列为“ 阶平衡数列”， ，
如果数列的项数小于或等于6，由 ，
可得数列中所有项的之和小于或等于 ，
综上可得数列 中所有元素之和的最大值为12873.
