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5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的
图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】由导函数 在 内的图象知：函数 在开区间 内有极小值点1个
2．（2021·上海高二课时练）函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
【答案】A
【解析】 ，由 得 ，方程无解，因此函
数无极值点
3．（2021·全国高二课时练）函数 在 上的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】函数 的导数为 ，令 得 ，又因为，所以 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以使得函数 取得极大值的 的值为 ，故选：C.
4．（2021·全国高二课时练）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知 ，由于函数 的图象与 轴相切于点
，则 ，解得 ， ，
，
令 ，可得 或 ，列表如下：
极大值 极小值
所以，函数 的极小值为 .故选：A.
5．（多选题）（2021·全国高二专题练）已知函数 ，则下列说法正确的是（
）A． 有且仅有一个极值点
B． 有零点
C．若 的极小值点为 ，则
D．若 的极小值点为 ，则
【答案】AC
【详解】由题意得， 的定义域为 ，且 ，设 ，则
，∴ 在 上单调递增，又 ，
， 存在唯一零点，设为 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，∴ 有唯一极小值点 ，故选项A正确．令
，得 ，两边同时取对数可得 ．∴
（当且仅当 时等号成立），又
，∴ ，即 ，∴ 无零点，故选项B错误．由
，可设 ，则 ．当 时， ，∴ 在 上单调递减．∴ ，即
，
故选项C正确，选项D错误，故选：AC
6．（多选题）（2021·湖南省平江一中高二期末）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B．单调递增区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
【答案】AC
【详解】解：因为 ，所以函数的定义域为 ，所以 ， ，
，∴ 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，故B错误， 的极大值也是最大值为
，故C正确；方程 的解的个数，即为 的解的个数，
即为函数 与 图象交点的个数，作出函数 与 图象如图所示：由图象可知方程 只有一个解，故D错误.故选：AC.
二、填空题
7．（2021·全国高二课时练）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋
n=________.
【答案】11
【详解】
依题意可得 ，联立可得 或 ；
当 时函数 ， ，
所以函数 在 上单调递增，故函数 无极值，所以 舍去；
所以 ，所以 .
8．（2021·江西九江高二期末）已知三次函数 的图象如图所示，则
________．
【答案】
【详解】解：由题意得， ，且 ，由题图可知， 是函数的极大
值点， 是极小值点，即 ， 是 的两个根，
由 ，解得： ，∵ ， ，∴ ．
9．（2021·广西钦州市·高二期末）已知函数 在 上存在极
值点，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】 或
【详解】由题可知： ，
因为函数 在 上存在极值点，所以 有解
所以 ，则 或
当 或 时，函数 与 轴只有一个交点，即
所以函数 在 单调递增，没有极值点，故舍去
所以 或 ，即 或
10．（2020·宁夏银川一中高二月考） 在 处取得极值，
则 ______.
【答案】
【详解】解：由已知 ，因为在 处取得极值，
， ，
即 ，因为 ， ，，即 ， ．
三、解答题
10．（2021·全国高二课时练）设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【详解】
(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝ ＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且 ＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝ ，b＝ .
(2)由(1)可知f(x)＝ ln x x2＋x，
且函数f(x)＝ ln x x2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝ x－1 x＋1＝ .
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点．
12．（2021·福建三明一中高二期末）已知函数 ．
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值；（2）求函数 在区间 上的极值．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 在 处的切线方程为 .
所以 ，解得 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
①当 ，即 时， 在 恒成立，
所以 在 单调递增；所以 在 无极值；
②当 ，即 时， 在 恒成立，
所以 在 单调递减，所以 在 无极值；
③当 ，即 时，
变化如下表：
- 0 +极小 单调递增
单调递减↘
值 ↗
因此， 的减区间为 ，增区间为 ．
所以当 时， 有极小值为 ，无极大值.
