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6.2.3- 6.2.4 组合与组合数 -B提高练
一、选择题
1．若 ，则 的值为（ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
【答案】D
【详解】 ，解得 或 （舍去），
.
2．（2021·湖南师大附中高二月考）为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书
和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（ ）
A．28种 B．56种 C．112种 D．336种
【答案】B
【详解】根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任
选3 人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有 种不同的分法.
3．（2021·山东泰安实验中学高二月考）若 成等差数列，则 值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【详解】∵ 成等差数列，∴ ，∴ ，
解得： 或 .
4．（2021·广东广州市广雅中学高二月考）《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八
卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根
阳线，“ ”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四
根阴线的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】八卦分成四类，A类是：3个卦含1阴2阳，B类是：3卦含2阴1阳，C类1卦含是3阳，
D类1卦是3阴．从八卦中任取两卦共有 ，两卦中含2阳4阴，则可以从B类选2卦，方
法数为 ，
或者选D类和A类1的1卦，方法数是3．所求概率为 ．
5. （多选题）下列等式中，成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】 ，A错；根据组合数性质知 正确；
，D正确．故选：BCD．
6. （多选题）（2021·四川成都七中高二期末）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派
5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的
四种计算方法正确的算法为（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．【答案】ABD
【详解】对于A，正、副班长有1人参加的方法数有 种，正、副班长有 人参加的方法数有
种，故总的方法数有 种，故A正确；对于B， 人抽取 人，总的方法数为
，其中没有正、副班长的方法数为 ，所以方法数为 种，故B正确；对于C和D，
正、副班长中任抽取一个，然后在剩余 人中抽取 个，方法数有 种，减去重复的包括正、
副班长的情况 种.所以方法数有 种，故D正确，C不正确.综上所述，本小题正确算
法有 种，故选ABD.
二、填空题
7．（2021·全国高二专题练）若 ，则 __________．
【答案】
【详解】由 得 ，解得
8.（2021·江西九江一中高二月考）某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选
3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是__________．
【答案】
【详解】从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，可分为两
类：
第一类：1名医生2名护士，共有 种不同的选法；第二类：2名医生1名护士，共有
种不同的选法，由分类计数原理可得，共有 种不同的选法 .
9．（2021·全国高二专题练）已知 ，则 ________．【答案】2
【详解】根据组合数公式化简，可得 ，
化简整理得 ，解得 或 ，又由 ，所以 .
10．（2021·全国高二课时练习）已知集合 ， ， ，若从这
三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.
【答案】 .
【详解】由组合数的性质得出 ，不考虑任何限制条件下不同点的个数为 ，
由于 ，坐标中同时含 和 的点的个数为 ，
综上所述：所求点的个数为 ，故答案为 .
三、解答题
11．（1） 本不同的书分给甲、乙、丙 同学，每人各得 本，有多少种不同的分法？
（2）从 个男生和 个女生中选出 名学生参加一次会议，要求至少有 名男生和 名女生参加，
有多少种选法？
【详解】
（1）6本书分给3位同学，可分三步完成，根据乘法计数原理，得 ；
（2）问题可以分成两类：
第一类 名男生和 名女生参加，有 中选法，
第二类 名男生和 名女生参加，有 中选法，
12.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中
各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.【详解】
（1）分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有 (种)选法.
（2）方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为 ；
“只有女队长”的选法种数为 ；
“男､女队长都入选”的选法种数为 ，
所以共有 (种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有 种选法，
其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法有 (种).
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 种
选法，
其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 种.
所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 (种).
