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专练 01（选择题-基础）（30 道）
1．（2020·博兴县第三中学高二月考）直线 恒过一定点，则该定点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
合并同类项后确定定点坐标.
【详解】
由 得 ，所以 ，
解得 ，所以定点坐标为 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查直线过定点，属于基础题.
2．在等比数列 中， ， ，则数列 的公比 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式可得 ，解之可得选项.
【详解】
因为等比数列 中， ， ，所以 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查等比数列的基本量的求解，属于基础题.
3．方程 表示的图形是（ ）．
A．一个圆 B．只有当 时，才能表示一个圆
C．一个点 D． ， 不全为0时，才能表示一个圆
【答案】D
【分析】
化简圆的方程得 ，再分析判断得解.
【详解】
由题得 ，
所以当 时，方程表示一个点；当 或 时，方程表示一个圆．
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．（2020·广西高二期末（文））若函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
利用导数的运算法则以及基本初等函数的导数即可求解.
【详解】
由函数 ，则 ，
，所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，需熟记导数公式与运算法则，属于基础题.
5．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于
，则 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得 ，又 ，可得 ，进而利用 即可求解.【详解】
由椭圆 的右焦点为 知 ，
又 ，∴ ， ，所以椭圆方程为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了椭圆方程与椭圆的几何性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
6．（2020·河南高三期中（理））公差不为0的等差数列 中， ，数列 是等比
数列，且 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质得到 ，数列 是等比数列，故 =16.
【详解】
等差数列 中, ,故原式等价于 解得 或
各项不为0的等差数列 ,故得到 ，数列 是等比数列，故 =16.
故选：D.
7．下列向量与向量 共线的单位向量为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一个向量共线的单位向量计算公式 ，可得结果
【详解】
由 ，∴与向量 共线的单位向量为 或 .
故选：C
【点睛】
本题考查向量的单位向量，属基础题题.
8．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由抛物线的标准方程可得 ，进而得到准线方程．
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，可得准线方程是 ．
故选： ．
【点睛】
熟练掌握抛物线的标准方程及其性质是解题的关键，属于基础题．
9．（2019·江苏省上冈高级中学高二期中）椭圆 的长轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
根据椭圆方程可得 ，即可求出长轴长.
【详解】
由椭圆方程可知 ，即 ，则椭圆 的长轴长为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，属于基础题.
10．函数 （ 是自然对数的底数）在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
对函数求导，根据导数的几何意义，求出在点 处的切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由 得 ，则 在点 处的切线斜率为 ，
因此 在点 处的切线方程为 ，即 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求曲线在一点处的切线方程，属于基础题型.
11．点 到直线 的距离大于3，则实数 的取值范围为 ( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
根据题意，得 ，即 ，解得 或 .
故选：C.
12．（2020·天津市静海区大邱庄中学高二月考）已知 ， 满足 ，则
等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据空间向量的共线可得答案.
【详解】
因为 ， ,
因为 ，所以 ，即 ，得 ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.
13．数列 的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出．
【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．
14．（2020·湖北高三（文））已知圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0，则实数a的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】
根据题意，求出圆的圆心坐标，将其代入直线的方程，解方程可得a的值.
【详解】
根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，
若圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0上，则有3×(﹣1)+2﹣a=0，
解得：a=﹣1；
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的一般方程与直线的方程，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题.
15．若直线 与直线 平行，则实数m的值等于（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
【答案】A
【分析】
利用两直线平行斜率相等且截距不相等或斜率都不存在即可求解.【详解】
直线 的斜率为 ，斜率存在，
直线 的斜率为： ，
若两直线平行则 ，即 ，
解得： 或 ，
当 时两直线重合，所以 ，
故选：A
16．（2020·无锡市第三高级中学高二月考）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三
十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第
一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为
（ ）
A．35 B．75 C．155 D．315
【答案】C
【分析】
构造等比数列模型，利用等比数列的前 项和公式计算可得结果.
【详解】
由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为 ，公比为 ，前 项和为 ，
所以 ， ，因此前5天所屠肉的总两数为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题.
17．（2019·江苏高二月考）已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据换元法求出函数 的表达式，再求出导函数即可求解.
【详解】
令 ，则 ， ，所以
，所以 .故选：C
【点睛】
本题考查了换元法求解析式、求导，需熟记常见函数的导数公式，属于基础题.
18．已知圆O： x2＋y2＝1，圆O： (x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a
1 2
为( )A．0 B． C．0或 D． 或
【答案】D
【分析】
根据题意可知两圆内切或外切，内切时 ，外切时 ，分别求出a即可.
【详解】
因为这两个圆有且只有一个公共点，所以两圆内切或外切，
内切时 ，外切时， ， 或0，
故选：D
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
19．（2019·山东高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的焦距为
（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】
直接利用椭圆的离心率，列出方程求解a，然后求解c即可．
【详解】
椭圆 的离心率为 ，可得 或 ，解得m＝2 ，或m ，所以m＝2 时，椭圆的焦距为2c＝2 4，
m 时，椭圆的焦距为2c＝2 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查，是基础题．
20．下列说法中正确的是( )
A．若直线 与 的斜率相等，则
B．若直线 与 互相平行，则它们的斜率相等
C．在直线 与 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则 与 定相交
D．若直线 与 的斜率都不存在，则
【答案】C
【分析】
根据两直线平行的等价条件即可判断.
【详解】
对于A, 若直线 与 的斜率相等，则 或 与 重合；对于B，若直线 与 互相平行，则它们的斜率
相等或者斜率都不存在；对于D，若直线 与 的斜率都不存在，则 或 与 重合.
故选:C
【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.
21．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一
项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列 是等积
数列且 ，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】A
【分析】
先由题意，记 （ 为常数），得出 ，即数列 是以 为周期的数列，
再由题中条件求出 ，即可求出公积.
【详解】
由题意，记 （ 为常数），则 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以 为周期的数列，
又其前61项的和为113，所以有 ，因为 ，所以 ，因此 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查数列周期性的应用，属于基础题型.
22．若动点 满方程 ，则动点M的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的定义即可求解.
【详解】
依题意，动点 到两定点 ， 的距离之和等于常数10，且 ，
所以其轨迹为椭圆，且 ，故方程为 ．
故选：B
【点睛】
本题考查了椭圆的定义求椭圆的标准方程，理解定义是关键，属于基础题.
23．（2020·江西新余四中高三月考（理））已知动点 的坐标满足方程 ，则
动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【分析】
将题干中的等式变形为 ，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点 的
轨迹的形状.
【详解】设点 ，由 可得出 ，
由题意可知，点 到原点的距离等于点 到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，点 的轨迹为抛物线.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线轨迹的理解，考查抛物线的定义，属于基础题.
24．如图是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的极小值点是（ ）
A．x B．x C．x D．x
1 2 3 4
【答案】D
【分析】
根据导函数的图象，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.
【详解】
由导函数f′(x)的图象可以看出，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以函数y＝f(x)的极小值点是 ，
故选：D.【点睛】
本题考查由导函数的图象得出原函数的极值点，属于基础题.
25．若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出直线 的方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．
【详解】
解：由题意可知，直线 的斜率一定存在，
则设直线方程为 ，即 ，
∵直线 与曲线 有公共点，
∴圆心到直线的距离小于等于半径 ，∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，属于基础题．26．等差数列 中， ，它的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出 ，再利用裂项相消法可求 .
【详解】
∵等差数列 中， ，它的前 项和 ，
， 解得 ，
， ，
．
故选：A．
【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等
差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消
法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
27．已知直线 的斜率为5，且 ，则该直线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得 从而可求出直线方程
【详解】
由题意得 所以 所以直线方程为 ，
即 .故选：A
【点睛】
此题考查直线方程的求法，属于基础题
28．（2020·夏津第一中学高二月考）已知在直三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为原点，在平面 内，过点 作 的垂线为 轴，以 为 轴， 为 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】
以 为原点，在平面 内，过点 作 的垂线为 轴，以 为 轴， 为 轴，建立空间直角
坐标系，
由题得， ，0， ， ， , ，2， ，
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
29．若圆 的圆心坐标为 ，且圆 经过点 ，则圆 的半径为（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
根据根据圆心到圆上点距离求半径.
【详解】
圆 的半径为 ．故选：A
【点睛】
本题考查圆半径，考查基本求解能力，属基础题.
30．已知数列 中， ， ( )，则 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
分别代值计算可得，观察可得数列 是以3为周期的周期数列，问题得以解决.
【详解】
解：∵ ， ( )， ，，
，
，
…，∴数列 是以3为周期的周期数列，
， ，故选：A.
【点睛】
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.
