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专练 07 解答题-基础
1．已知集合 ,集合 .
（1）当 时,求 ； （2）若 ,求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）当 时, ,根据并集定义,即可求得 ;
（2）因为 ,分别讨论 和 两种情况,即可求得实数 的取值范围.
【详解】
（1）当 时,
又 ,则
（2）因为 ,
当 时, ,解得
当 时, ,解得
综上所述,实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当 时,分别讨论 和 两种情况,考
查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．化简求值：
（1） ；（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
（1）
；
（2） .
【点睛】
本题主要考查指数幂以及根式的化简求值，属于基础题型.
3．已知 为第二象限角，且 ．
（Ⅰ）求 与 的值； （Ⅱ） 与 的值．【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）根据同角的三角函数关系即可求出 与 的值；
（Ⅱ）利用齐次式弦化切与二倍角公式求值．
【详解】
解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ，
又 ，且 为第二象限角，∴ ；
（Ⅱ） ，
．
【点睛】
本题主要考查同角的三角函数关系，属于基础题．
4．已知 ， ， ， 为实数，求证： .
【答案】证明见详解
【分析】
由作差法，将两式作差整理，得到 ，即可证明结论成立.
【详解】
因为 ， ， ， 为实数，
显然成立；
所以 .
【点睛】
本题主要考查不等式的证明，根据作差法证明即可，属于基础题型.
5．已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并证明；
（2）证明函数 在R上单调递增；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）函数 是奇函数；证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【分析】
（1）利用函数的奇偶性定义即可判断.
（2）利用函数的单调性定义以及证明函数单调性的步骤：“任取、作差、变形、定号”即可证明.
（3）利用奇偶性将不等式转化为 ，再利用单调性可得 ，解不等式即可求解.
【详解】
（1）函数 的定义域是 ，
因为 ，
即 ，所以函数 是奇函数.
（2）证明：任取 ，且 ，则
， 在R上单调递增.
（3）由（1）(2)知函数 是奇函数，所以 .
又函数 是 上的增函数，所以 ，解得 .
故实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的证明，考查根据奇偶性、单调性求解，考查了学生对概念的理解和运用能
力，属于基础题.
6．已知函数 .(1)求函数 的单调区间; (2)求函数 取得最大值时的 集合.
【答案】（1） ， （2）
【分析】
（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量 的值．
【详解】
(1) 在 上的增区间满足: , ,
∴ ,解得: , ,
所以单调递增区间为 , ,
单调递增区间为 , .
(2) ，
令： , ，解得： , ，
函数 取得最大值的 集合为: .
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
7．在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点在坐标原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆交
于点 ，且点 的纵坐标为 .
（1）求 和 ； （2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据三角函数的定义求 ，再根据同角的平方关系求 ；
（2）由同角的商关系求出 ，再用二倍角公式的正切公式求 ．
【详解】
解：（1）由题意可知， ，
∵角 为锐角，∴ ；
（2）由（1）知 ，则 ．
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，考查同角的三角函数关系，考查二倍角的正切公式，属于基础题．8．已知对数函数 过点 .
（1）求函数 的解析式，并写出函数 的定义域；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ，定义域为 ；（2）
【分析】
（1）设 ，代入点 计算即可；
（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.
【详解】
解：（1）设 ，
，所以 ，定义域为 ；
（2）由已知得 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.
9．（1）已知f =x2+ ，求f(x)；
（2）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x-1，求f(x)；【答案】（1）f(x)=x2+2；（2） 或 .
【分析】
（1）利用配凑法可求函数的解析式.
（2）利用待定系数法可求函数的解析式.
【详解】
（1）(配凑法)∵ ，
∴ .
（2）(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
∵f(f(x))=4x-1，∴ ，解得 或 ， .
【点睛】
本题考查函数的解析式的求法，常用的方法有待定系数法、配凑法、函数方程组法等，注意根据题设的特
征选择合适的方法，本题属于基础题.
10．已知 ， 是方程 的两个根，且 ，求m的值.
【答案】
【分析】由根与系数关系，先得到 ， ，再由对数运算，即可求出结果.
【详解】
由题意可得， ， ， ，即 ；
又 ，所以 ，因此 ，满足 ，
故 .
【点睛】
本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则即可，属于基础题型.
11．已知函数 ，且 ，求 的值.
【答案】
【分析】
根据 ，对 分类讨论先求出 的值，再代入求出 ．
【详解】
解：当 时， ， ，舍去，
当 时， ， ，符合题意，
．【点睛】
本题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题．
12．（1）已知 ，求 的最小值；（2）求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将代数式变形为 ，然后利用基本不等式可求出所求代数式的最小值；
（2）根据代数式有意义得出 ，分 或 、 两种情况讨论，利用基本不等式
可求出所求代数式在 时的最大值，综合可得出结论.
【详解】
（1） ， ， ，
当且仅当 时，即当 时等号成立， 的最小值为 ；
（2）由 知 .
当 或 时， ；
当 时， ，由基本不等式可得 .当且仅当 ，即当 时等号成立.
综上， 的最大值为 .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考
查计算能力，属于基础题.
13．若不等式 的解集是 ，
（1）求 的值； （2）求不等式 的解集.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；
（2）代入 的值，解一元二次不等式可得结果.
【详解】
（1）依题意可得： =0的两个实数根为 和2，
由韦达定理得： ，解得： ；.
（2）则不等式 ，可化为 .
所以 ，所以 ，所以 ，
故不等式 的解集 ..
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
14．已知函数 且点 在函数 的图象上．
（1）求函数 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 的图象；
（2）求不等式 的解集；
（3）若方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，图像见解析（2） （3）
【分析】
（1）将点 代入 中,即可求解的值,进而求得函数 的解析式,画出函数f（x）的图
象.（2）分为 两种情况分别求解不等式 ,再取并集即可得不等式 的解集.
（3）欲求满足方程 有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数 与 有两
个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数 的取值范围.
【详解】
解：（1）由 的图象经过点 ,
可得 ,即 ,解得 ,则 ,
函数 的图象如下图：
（2） 即为 或 ,即 或 ,则解集为 ；
（3） 有两个不相等的实数根,即有 的图象和直线 有两个交点,
由图象可得 ,即 ,可得 的取值范围是 ．
【点睛】
本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.15．如图是函数 的图像，求 、 、 的值，并确定其函数解
析式．
【答案】 ， ， ， .
【分析】
本题首先可以根据周期 计算出 ，然后根据最大值为 以及最小值为 得出 ，最后将点
代入函数中即可求出 并得出函数解析式.
【详解】
因为周期 ，所以 ， ，
因为最大值为 ，最小值为 ，所以 ， ，
将点 代入 中，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ， .【点睛】
本题考查根据三角函数图像求函数解析式，可根据函数的周期、最值以及点的坐标来求解，考查数形结合
思想，考查计算能力，是简单题.
16．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调递增区间；（2）求 时，函数 的值域.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令 即可得出答
案；
（2）由 得 ，由此即可求出答案．
【详解】
解： ；
（1）令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；（2）由 得 ，∴ ，
从而函数 的值域为 ．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．
17．我市某商场销售小饰品，已知小饰品的进价是每件3元，且日均销售量 件与销售单价 元可以用
这一函数模型近似刻画.当销售单价为4元时，日均销售量为400件，当销售单价为
8元时，日均销售量为240件.试求出该小饰品的日均销售利润的最大值及此时的销售单价.
【答案】当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.
【分析】
根据已知条件，求出 ，利润 ，转化为求二次函数的最大值，即可求解.
【详解】
解：由题意，得 解得
所以日均销售量 件与销售单价 元的函数关系为 .
日均销售利润
.当 ，即 时， .
所以当该小饰品销售单价定位8.5元时，日均销售利润的最大，为1210元.
【点睛】
本题考查函数实际应用问题，确定函数解析式是关键，考查二次函数的最值，属于基础题
18．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5
（1）求该扇形的面积； （2）求该扇形中心角的弧度数．
【答案】（1） ；（2）1．
【分析】
（1）根据扇形面积公式直接计算；（2）根据扇形弧度数公式 计算求值.
【详解】
解：（1） ， ， ；
（2）
【点睛】
本题考查弧度制，扇形面积，重点考查基本公式，属于基础题型.
19．化简下列各式：
（1） ；（2）已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）利用指数的运算性质即可求解.
（2） ，且 ，可得 ，将原式因式分解、通分、化简即可求解.
【详解】
（1）
（2）由 ，且 ，可得 ，
20．已知函数 .
（1）求函数 周期及其单调递增区间；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为 ；（2）最大值为 ，最
小值为 .
【分析】
（1）首先根据三角恒等变换可得 ，根据周期公式即可求出周期；然后再令
，即可求出函数的单调递增区间；
（2）由题意可知 ，进而 ，由此即可求出函数的最值.
【详解】
因为
所以 ；
所以 的最小正周期为 ；
令 ，所以
所以 的单调递增区间为 ；（2） ，所以
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 ;
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.
