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专题 11 预备知识十一：函数的单调性与最大（小）值
1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语
言表达能力
2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养
3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到
一般，从感性到理性的认知过程
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有
，
那么就称函数 在区间 上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
1.2减函数
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ，当 时，都有
，
那么就称函数 在区间 上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有(严格
的)单调性，区间 叫做 的单调区间．
3、常见函数的单调性
函数 单调性
当 时， 在 上单调递增
一次函数 （ ）
当 时， 在 上单调递减
当 时， 在 和 上单调递减
反比例函数 （ ） 当 时， 在 和 上单调递增
当 时， 在 上单调递减；
二次函数 （ ）
在 上单调递增
对称轴为
当 时， 在 上单调递增；
在 上单调递减
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数 ，证明的单调区间为
①取值：任取 ， ，且 ；
②作差：计算 ；
③变形：对 进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必
要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断 或（ ），如有必要需讨论参数；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司⑤下结论：指出函数 在给定区间 上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数 在给定区间 上的单调性与 在给定区间 上的单调性相反；
（2）函数 在给定区间 上的单调性与 的单调性相同；
（3） 和 的公共定义区间 ，有如下结论；
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有
② ，使得
那么称 是函数 的最大值；
2、最小值：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有
② ，使得
那么称 是函数 的最小值
对点特训一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，判断 在 上的单调
性，并用定义证明；
精练
1．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数 ，且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)用定义证明函数 在 上是增函数.
2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数 .
(1)判断函数 在 上的单调性，并加以证明.
对点特训二：求函数的单调区间
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D． 和
例题2．（23-24高一上·天津和平·期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D． ，
例题3．（2024高一上·全国·专题练习）函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝ 的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函数 ， 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·天津南开·期中）函数 单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
对点特训三：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知 是定义在R上的增函数，且 ，则
的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题3．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）已知f（x）在定义域R上是增函数．若f（a2－2）＞f（a），则实数a的
取值范围是
2．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数 在 上是减函数，且 ，则实数 的
取值范围是 .
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数 ．
(1)判断函数 在 上的单调性，并证明；
(2)若 ，求 的取值范围．
对点特训四：利用函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
．
例题2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）设 ，若 在R上单调，则m的取值范
围为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题3．（23-24高一上·河北·阶段练习）若函数 在 上为减函数，则实数 的取
值范围 .
精练
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）若函数 在区间 上是增函数，则a的取值范
围 .
2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ，若 在R上是增函数，
则实数a的取值范围是 .
3．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围
是 ．
对点特训五：求函数最值（值域）
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）定义 为 中的最小值，设
，则 的最大值是 ．
例题2．（2024·山西运城·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数
的取值范围是 .
精练
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知 ，设 ，则函数
的最大值是 ．
2．（23-24高一上·广东汕头·期末）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
对点特训六：二次函数（含参数）最值问题
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一上·北京东城·期中）函数函数 的单调减区间是 ，在区间
的最大值是 ．
例题2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）函数 的最小值是 .
例题3．（23-24高一上·北京房山·期中）函数 在 上的最大值等于 ．
精练
1．（23-24高一上·四川达州·期中）函数 在 上的最小值为 .
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数 ，求 的最小值 .
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函数 ， 的值域是 .
对点特训七：根据最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）.
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数 的值域为 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若函数 的定义域和值域都
为 ，则 的值是 ．
例题4．（2024高一·江苏·专题练习）函数 的定义域为 ，值域为 ，
则
精练
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数 的最小值为8.则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
对点特训八：恒成立（能）成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在 ，使不等式 成立，则实
数 的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．3
例题2．（23-24高一下·云南·阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)若命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围.
例题3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函数 的最小值为 ，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)当 时， 恒成立，试确定实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题4．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
精练
1．（2024·陕西西安·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
．
2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）设函数 ，其中 .
(1)若 ，求函数 在区间 上的值域；
(2)若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围；
3．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数 .
(1)求 ；
(2)当 时，试运用函数单调性的定义判定 的单调性；
(3)设 ，若 在 时有解，求 的取值范围.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数 ．
(1)若方程 的两根分别是 ，满足 ，求实数 的值；
(2)若对 ，都存在 ，使得 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·广东潮州·期中）下列函数在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一·全国·专题练习）若函数 在 单调递增，且 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 ， ，若 有最小值 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知函数 ，且不等式 对任意
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·四川内江·期中）下列函数中，满足“ ，都有 ”
的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知 是减函数，则实数a的取值范围是
．
四、解答题
11．（23-24高一上·北京·期中）函数 ，其中 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，f（x）的最小值为0，求a的值．
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函数 ．
(1)若 的解集为 ，解关于x的不等式 ；
(2)若 ，对于 ，不等式 恒成立，求实数c的取值范围．
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