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2024-2025 学年山东省名校联盟高一下学期 3 月校际联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 ⃗ ⃗ ，则 ⃗ ( )
AB=(−2,1),AC=(3,4) BC=
A. (1,5) B. (−1,−5) C. (−5,−3) D. (5,3)
2i
2.已知i是虚数单位，则 =( )
1+i
A. 1+i B. 1−i C. −1−i D. −1+i
π
3.在▵ABC中，已知AB=1,AC=2,∠BAC= ，则▵ABC的面积为( )
3
√3
A. B. √3 C. 1 D. 2
2
4.在▵ABC中，D在线段BC上，AD为∠BAC的角平分线，若AB=2AC，则( )
⃗ 1 ⃗ 3 ⃗ ⃗ 3 ⃗ 1 ⃗
A. AD= AB+ AC B. AD= AB+ AC
4 4 4 4
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗ 2 1
C. AD= AB+ AC D. ⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC
3 3 3 3
5.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C,D.现测得
∠BCD=α,∠BDC=β,CD=l，在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=( )
l⋅tanθsinβ l⋅tanθsin(α+β) l⋅sinθsin(α+β)
A. B. C.
sin(α+β) sinβ sinβ
l⋅sinθsinβ
D.
sin(α+β)
6.已知复数 可以表示为 ，其中 ， 是以 轴非负半轴为
z=a+bi(a,b∈R) z=r(cosθ+isinθ) r=√a2+b2 θ x
始边，向量⃗OZ所在射线为终边的角．已知z =r (cosθ +isinθ )与z =r (cosθ +isinθ )的乘积
1 1 1 1 2 2 2 2
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1 1z 1 z 2 =r 1 r 2 [cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )] ，则将向量 O ⃗ Z =(1,2) 绕原点 O 逆时针旋转 90 ∘，长度变为原来
1
的 2 倍后，得到向量 ⃗ 的坐标为( )
OZ
2
A. (2,−4) B. (−4,2) C. (−2,4) D. (4,−2)
7.如图所示，▵ABC的三条边均与圆O相切，其中BC=20,∠ABC=120 ∘,∠ACB=20 ∘，则圆O的半
径约为( )(cos10 ∘≈0.985)
A. 5.861 B. 5.674
C. 5.076 D. 4.926
8.已知向量⃗
a,
⃗
b,
⃗
e
是平面向量，|⃗
e
|
=1
，若非零向量
⃗a
与⃗
e
的夹角为
60
∘，向量⃗b 满足⃗
b2−8
⃗
e⋅
⃗
b+15=0
，
则|⃗ ⃗|的最小值为( )
a−b
A. 2√3+1 B. 2√3−1 C. √3+1 D. √3−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量⃗ ⃗ ⃗ ，则下列说法正确的是( )
a=(2,1),a−b=(4,−3)
A. ⃗ ⃗ B. |⃗ ⃗|
a⊥b a+b =5
2√5
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
C. 向量 a+b 与⃗a的夹角的余弦值为 D. 向量 a−b 在⃗a上的投影向量为⃗a
5
10.设z ,z 为复数，则下列结论正确的有( )
1 2
A. B.
z z =z ⋅z |z z |=|z ||z |
1 2 1 2 1 2 1 2
C. 若 ，则 D. 若 ，则
|z |=|z | z2=z2 z z ∈R z +z ∈R
1 2 1 2 1 2 1 2
11.已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两
倍．若▵ABC的外心为O，重心为G，垂心为H,M为边BC的中点，且AB=5,AC=3，则下列结论正确
的有( )
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2 1⃗ ⃗ 16
A. AG⋅BC=−
3
B.
A
⃗
O⋅B
⃗
C=8
C. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ D. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
OH=OA+OB+OC AB+AC=4OM+2HM
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，若复数z=(1+i)(a−2i)(a∈R)为纯虚数，则a的值为 ．
⃗ ⃗
13.如图，在▵ABC中，点D满足
BC=3BD
，过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点E,F，设
A ⃗ B=x A ⃗ E,A ⃗ C= y A ⃗ F ，则2x+ y的值为 ．
14.在圆内接四边形ABCD中，AC=4,AB=2AD,∠BAD=60 ∘，则▵BCD面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在三角形ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，已知BE=3,CD=6,BC=2√7．
(1)求三角形ABC的面积；
(2)求三角形ABC的周长．
16.(本小题12分)
已知复数z=a+bi(a,b∈R)，其中i为虚数单位．
(1)若|z|2−4z=−3+4i，求z；
(2)若z=1+2i+3i2+4i3+5i4+⋯+2024i2023+2025i2024，求a−b的值．
17.(本小题12分)
已知⃗a,⃗b是平面内两个不共线的向量．
若 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，求证： 三点共线；
(1)
AB=a+2b,BC=a+8b,CD=2a−2b
A,B,D
试确定实数 ，使 ⃗ ⃗和⃗ ⃗共线；
(2) k ka+b a+(2−k)b
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3 1(3) 若⃗
a=(2,1),
⃗
b=(−3,2),
(⃗
a+
⃗
b
)
⊥
(
m
⃗
a−
⃗
b
)，求实数 m 的值．
18.(本小题12分)
已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足acosC+√3asinC=b+c．
(1)求角A的大小；
(2)若三角形ABC的面积为10，内切圆的半径为1，求a；
(3)若∠BAC的角平分线交BC于D，且AD=4，求三角形ABC面积的最小值．
19.(本小题12分)
n个有次序的实数⃗
a ,
⃗
a ,⋅⋅⋅,
⃗
a
所组成的有序数组(⃗
a ,
⃗
a ,⋅⋅⋅,
⃗
a
)称为一个 ⃗n维向量，其中
1 2 n 1 2 n
⃗
a
(
i=1,2⋅⋅⋅,
⃗
n
)称为该向量的第i个分量．特别地，对一个 ⃗n维向量⃗
a=
(⃗
a ,
⃗
a ,⋅⋅⋅,
⃗
a
)，若
i 1 2 n
|⃗
a
|
=1,i=1,2⋅⋅⋅
⃗
n
，称 ⃗a为 ⃗n维信号向量．设⃗
a=
(⃗
a ,
⃗
a ,⋅⋅⋅,
⃗
a
)
,
⃗
b=
(⃗
b ,
⃗
b ,⋅⋅⋅,
⃗
b
)，则 ⃗a和⃗b 的内积
i 1 2 n 1 2 n
定义为⃗ a⋅ ⃗ b=∑ n ⃗ a
i
⃗ b
i
，且⃗
a⊥
⃗
b⇔
⃗
a⋅
⃗
b=0
．
i=1
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3) 已知 k 个两两垂直的 2024 维信号向量⃗
x ,
⃗
x ,⋅⋅⋅,
⃗
x
满足它们的前 m 个分量都是相同的，求证：
1 2 k
√km<45．
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4 1参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.B
9.ABD
10.AB
11.ACD
12.−2
13.3
3√3
14.
2
15.(1)如图，因D,E分别是边AB,AC的中点，
则设AE=EC=x,AD=DB= y．
注意到∠ADC+∠CDB=π,∠AEB+∠BEC=π，
则cos∠ADC+cos∠CDB=0,cos∠AEB+cos∠BEC=0．
{AD2+CD2−AC2 BD2+CD2−BC2
+ =0
则由余弦定理： 2AD⋅CD 2BD⋅CD
⇒
AE2+BE2−AB2 BE2+CE2−BC2
+ =0
2AE⋅BE 2BE⋅CE
{y2+36−4x2 y2+36−28
+ =0
12y 12y {2x2−y2=22．
⇒
x2+9−4 y2 9+x2−28 x2−2y2=5
+ =0
6x 6x
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5 1解得{x=√13 则在三角形 中， ．
. ABC AC=2√13,AB=4,BC=2√7
y=2
AB2+AC2−BC2 16+52−28 5√13
由余弦定理可得cosA= = = ，
2AB⋅AC 2×4×2√13 26
3√39
从而sin A=√1−cos2A= ．
26
1 1 3√39
则三角形ABC的面积为： AB⋅ACsin A= ×4×2√13× =6√3；
2 2 26
(2)由(1)易得三角形ABC的周长为AB+AC+BC=4+2√13+2√7
16.(1)首先，复数的模长平方∣z∣2=a2+b2，共轭复数z=a−bi．
代入方程得： ，
a2+b2−4(a−bi)=−3+4i
展开并整理实部和虚部： ，
(a2+b2−4a)+4bi=−3+4i
根据复数相等的条件，得到两个方程：{a2+b2−4a=−3
,
4b=4
解得b=1，代入第一个方程：
，
a2+1−4a=−3,a2−4a+4=0,∴(a−2) 2=0,∴a=2
因此，复数z=2+i；
2024
考虑 ．
(2) S=∑(n+1)in
n=0
2024 2025
则 ．
iS=∑(n+1)in+1=∑ nin
n=0 n=1
2024
相减得：
S−iS=1+∑in−2025i2025
n=1
其中，
2024 i(1−i2024)
因为 ，且 。
∑in= =0( i2024=1) i2025=i
1−i
n=1
因此：S(1−i)=1−2025i
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6 11−2025i (1−2025i)(1+i) 2026−2024i
解得：S= = = =1013−1012i，
1−i 2 2
因此，z=1013−1012i，即a=1013，b=−1012，
故a−b=1013−(−1012)=2025．
17. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) (⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) ⃗ ⃗，
(1)AD=AB+BC+CD= a+2b + a+8b + 2a−2b =4a+8b
所以 ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗) ⃗ ，则有 ⃗ ⃗ ，
AD=4a+8b=4 a+2b =4AB AD//AB
又AD与AB 有公共点A，因此A,B,D 三点共线．
(2)
由于
v
⃗ 和
v
⃗ 共线，存在实数
λ
使得：
v
⃗
=λv
⃗
1 2 1 2
⃗ ⃗和⃗ ⃗共线，有 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗，
ka+b a+(2−k)b ka+b=λa+λ(2−k)b
则有{ k=λ ，解得 ，
λ=k=1
1=λ(2−k)
所以k=1．
⃗ ⃗ ，
(3)a=(2,1),b=(−3,2)
则⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
a+b=(−1,3) ma−b=m(2,1)−(−3,2)=(2m+3,m−2)
由(⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗)，
a+b ⊥ma−b
则(⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) ，解得 m=9 ．
a+b ⋅ ma−b =(−1)(2m+3)+3(m−2)=0
18.(1)由正弦定理边角互化可得：
acosC+√3asinC=b+c⇒sin AcosC+√3sin AsinC=sinB+sinC
又sinB=sin(A+C)，则sin AcosC+√3sin AsinC=sin AcosC+cosAsinC+sinC，
从而√3sin AsinC=cosAsinC+sinC，结合sinC>0，
则 ( π) π π或 π 5π 舍去 ．
√3sin A−cosA=1⇒2sin A− =1⇒A− = A− = ( )
6 6 6 6 6
π
故A= ．
3
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7 1(2)因三角形ABC的面积为S=10，内切圆的半径为r=1．
1
则S= (a+b+c)r=10⇒a+b+c=20，则b+c=20−a．
2
1 √3 40√3
又由(1)，S= bcsin A= bc=10⇒bc= ．
2 4 3
80√3
(20−a) 2− −a2
b2+c2−a2 (b+c) 2−2bc−a2 3 1
则由余弦定理：cosA= = = = ．
2bc 2bc 80√3 2
3
400−40a 3
= ⇒80a=800−80√3⇒a=10−√3
化简后可得： 80√3 2 ；
3
(3)如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F．
π π
由(1)可得∠BAC= ，则∠BAD=∠CAD= ，
3 6
π π
又由角平分线性质可得DE=DF=ADsin =2，AE=AF=ADcos =2√3
6 6
π
又注意到∠AEF+∠EDF+∠DFA+∠FAE=π，∠AEF=∠DFA= ，
2
2π π π
则∠EDF= ⇒∠EDB+FDC= ，设∠EDB=θ，则∠FDC= −θ．
3 3 3
又 ，则 (π ) 其中 ( π)．
DE=DF=2 BE=2tanθ,FC=2tan −θ . θ∈ 0,
3 3
故三角形 面积为：1 √3 [ (π )]
ABC AB⋅ACsin A= (2√3+2tanθ) 2√3+2tan −θ
2 4 3
[ (π )] [ (π ) (π )]．
√3(√3+tanθ) √3+tan −θ =√3 3+√3tanθ+√3tan −θ +tanθtan −θ
3 3 3
注意到 (π ) π[ (π )] (π )．
tanθ+tan −θ =tan 1−tanθtan −θ =√3−√3tanθtan −θ
3 3 3 3
则 [ (π )] 要使 最小，则需使 (π )最大．
S=√3 6−2tanθtan −θ . S tanθtan −θ
3 3
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8 1注意到 (π ) ，则由基本不等式取等条件可得，
tanθ>0,tan −θ >0
3
要使 (π )最大，需满足 (π ) π (π ) 1．
tanθtan −θ tanθ=tan −θ ⇒θ= ,tanθtan −θ ≤
3 3 6 3 3
则 [ (π )] ( 2) 16√3，此时 π，即三角形 为等边三角形．
S=√3 6−2tanθtan −θ ≥√3× 6− = θ= ABC
3 3 3 6
19.解：(1)根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为：(1,1,1,1),(−1,−1,1,1),(−1,1,−1,1),(−1,1,1,−1)．
(2) 假设存在 14 个两两垂直的 14 维信号向量
y
⃗
,y
⃗
,⋅⋅⋅,y
⃗ ，
1 2 14
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以，不妨设⃗ ⃗ ，
y =(1,1,⋅⋅⋅,1),y =(1,1,1,1,1,1,1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,−1)
1 2
因为⃗ ⃗ ，所以⃗ 有 个分量为 ，
y ⋅y =0 y 7 −1
1 3 3
设⃗ 的前 个分量中有 个 ，则后 个分量中有 个 ，
7 r −1 7 7−r −1
y
3
⃗ ⃗ 7
所以 y ⋅y =r⋅(−1)+(7−r)+(7−r)+r⋅(−1)=0 ，可得r= ，矛盾，
2 3 2
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3) 任取 i, j∈{1,2,…,k} ，计算内积⃗
x⋅
⃗
x
，将所有这些内积求和得到 S ，
i j
则 ⃗ ⃗ ⃗ ，
S=x2+x2+⋅⋅⋅+x2=2024k
1 2 k
设⃗ ⃗ ⃗ 的第
k
个分量之和为c，
x ,x ,⋯,x i
1 2 k
则从每个分量的角度考虑，每个分量为 的贡献为
S c2
i
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9 1所以 ，
S=c2+c2+⋅⋅⋅+c2 ≥c2+c2+⋅⋅⋅+c2 =k2m
1 2 2024 1 2 m
令2024k≥k2m所以km≤2024<2025，所以√km<45．
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10 1
