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第二章 直线和圆的方程（复习小结）（A基础练）
一、选择题
1．（2020北京大兴区高二期中）圆心为 且过原点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设圆的方程为 ，且圆过原点，即 ，
得 ，所以圆的方程为 .故选D.
2．（2020广东揭阳三中高二期中）经过圆 的圆心C，且与直线 垂直的直线方程
是 （ ）
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】C
【解析】圆 的圆心C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，所以待求直线的斜率为1，
设待求直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入可得b的值为b=1，直线的方程为x-y+1=0．故选 C
3．（2020莆田一中高二月考）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0或2x+y﹣ =0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0或2x﹣y﹣ =0
【答案】A
【解析】设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以 = ，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0
或2x+y﹣5=0,故选A．
4．（2020山西师大附中高二月考）直线 与圆 相交于 两点，则 是“ 的面积为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由 时,圆心到直线 的距离 .所以弦长为 .所以
.所以充分性成立,由图形的对成性当 时, 的面积为 .所以不要性不
成立.故选A.
5．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．方程 能表示平面内的任何直线
C．圆 的圆心为 ，半径为
D．若直线 不经过第二象限，则t的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于 ，若两条直线均平行于 轴，则两条直线斜率都不存在， 错误；
对于 ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为 ，为直线两点式方程；当直线平行于
轴，则原方程可化为 ；当直线平行于 轴，则原方程可化为 ；
综上所述：方程 能表示平面内的任何直线， 正确；
对于 ，圆的方程可整理为 ，则圆心为 ， 错误；对于 ，若直线不经过第二象限，则 ，解得： ， 正确.故选： .
6．（多选题）（2020·江苏常熟中学高二期中）已知圆 ： 和圆 ：
相交于 、 两点，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．直线 的方程为
C．线段 的长为
D．所有过点 、 的圆系的方程可以记为
【答案】ABC
【解析】A. 因为圆 ： 和圆 ： 相交于 、 两点，所以两圆有
两条公切线，故正确；B. 圆 ： 和圆 ： 的方程相减得：
，所以直线 的方程为 ，故正确；C. 圆心 到直线 的距离为：
，所以线段 的长为 ，故正确；
D. 因为 ，所以 恒成立，即过AB两点，方程可化为
，而 恒成立，所以方程 表示圆，
但此圆系不包括圆M，故不正确.故答案为：ABC
二、填空题
7.（2020全国高二课时练）圆 的圆心到直线 的距离为1，
则 .
【答案】
【解析】由 配方得 ，所以圆心为 ，因为圆
的圆心到直线 的距离为1，所以 ，解得 .
8．（2020湖北黄石高二期中）如图，已知圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点A，B（B
在A的上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为_________；
（Ⅱ）圆 在点 处的切线在 轴上的截距为_________．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】设点 的坐标为 ，则由圆 与 轴相切于点 知，点 的横坐标为 ，即 ，半径 ．又因为 ，所以 ，即 ，所以圆 的标准方程为
，令 得： ．设圆 在点 处的切线方程为 ，则圆
心 到其距离为： ，解之得 ．即圆 在点 处的切线方程为
，于是令 可得 ，即圆 在点 处的切线在 轴上的截距为 ，
故应填 和 ．
9．（2020山东泰安一中高二期中）若⊙ 与⊙ 相交于A、B
两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ．
【答案】4
【解析】依题意得OO ＝ ＝5，且△OO A是直角三角形，S OO A＝ · ·OO ＝ ·OA·AO ，
1 1 1 1 1
△
因此AB＝ ＝4.
10．（2020江西九江五中高二月考）已知 为圆O： 的两条互相垂直的弦，且垂足为
，则四边形ABCD的面积的最大值为______.
【答案】5
【解析】 ,当AC=BD=2 = 时，最大面积为
．三、解答题
y=x2 −6x+1与
11．（2020全国高二课时练）在平面直角坐标系中，曲线 坐标轴的交点都在圆C上，
（1）求圆C的方程；
（2）如果圆C与直线
x−y+a=0
交于A,B两点，且
OA⊥OB
，求a的值。
y=x2 −6x+1,与y轴交点为(0,1),与x轴交点为(3+2√2,0),(3−2√2,0)
【解析】（Ⅰ）曲线
C(3,t), 32 +(t−1) 2 =(2√2) 2 +t2 ∴t=1
因而圆心坐标为 则有
√32 +(t−1) 2 =3 (x−3) 2 +(y−1) 2 =9
半径为 ，所以圆方程是
{x−y+a=0¿¿¿¿
A(x ,y ),B(x ,y )
（Ⅱ）设点 1 1 2 2 满足
2x2 +(2a−8)x+a2 −2a+1=0
解得：
∴Δ=56−16a−4a2 >0
(8−2a)± √56−16a−4a2
x =
1,2 4
a2 −2a+1
∴x +x =4−a,x ⋅x =
1 2 1 2 2
∵OA⊥OB,∴x x +y y =0, y =x +a, y =x +a
1 2 1 2 1 1 2 2
∴2x x +a(x +x )+a2 =0,∴a=−1
1 2 1 2
12．（2020上海静安高二期中）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看
做一点）的东偏南 角方向 ，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45°方向移
动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大．
（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；
（2） 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【解析】（1）如图建立直角坐标系， 则城市 ，当前台风中心 ，
设t小时后台风中心P的坐标为 ，则 ，
此时台风的半径为 ，
10小时后， km，台风的半径为 160km，
因为 ，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.
（2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以
为圆心， 为半径的圆，
若城市A受到台风侵袭，则
，即 ，
解得
答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.
