文档内容
高一年级考试
数学试题
2024.07
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. D. ﹣
2. 若 ， 为非零向量，则“ ”是“ ” （的 ）
.
A 充要条件 B. 充分不必要条件
.
C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
4. 已知在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 或
第1页/共10页
学科网（北京）股份有限公司5. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，
如10月份销售任务是 台，完成率为 ，则下列叙述正确的是（ ）
的
（1）2023年9月 销售量是450台；
（2）2023年月销售任务的平均值不超过600台；
（3）2023年第四季度总销售为800台；
（4）2023年月销售量最大的是6月份．
A. （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（4）
6. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术
特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为 ，向山顶前进
100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为 ，若 ，山坡与地平面的夹角为 θ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积
不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处
的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高
的圆柱和圆锥的体积之差．如图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以 为半径
的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于账篷底面ABCD的平面截帐篷，所得
截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中
挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数 ， ，则下列结论正确的是（ ）
.
A B. 若 ，则
C. D. 若 ，则 或
10. 已 知 在 直 角 中 ， 斜 边 ， 为 所 在 平 面 内 一 点 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围是 B. 点P在斜边AB的中线上
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学科网（北京）股份有限公司C. 点P的轨迹长度是2 D. 的取值范围是
11. 如图所示，在等腰梯形 ABCD中，已知 ， ，将 沿BD翻折到
位置，则下列结论正确的是（ ）
A. 翻折过程中存在某个位置，使
B. 当二面角 为 时，点C到平面 的距离为 ．
C. 直线 与CD所成角的取值范围为
D. 当三棱锥 的体积最大时，以 为直径的球被平面 所截的截面面积为π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量 ， 的夹角为 ， ，则 ________．
13. 某班学生分成了A，B两个数学兴趣小组，A组20人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，
在该测试中，A组成绩的平均数为90分，方差为30，B组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测
试中，全班学生成绩的方差为________．
14. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边 ， ， ，
交 于点 ，则 ________．
第4页/共10页
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成
长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体
育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．
已知样本中体育锻炼时间在 的学生有20人．
（1）求频率分布直方图中a和b的值；
（2）估计样本数据的第70百分位数和平均数
16. 如图，在直三棱柱 中，D，E分别为 ， 的中点． ， ，
（1）求证： 平面ABC；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求直线CD与平面 所成角的正切值．
17. 在 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， ，
．
（1）求B；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
18. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的
面上的数字，得到样本空间 ，已知事件 “与地面接触的面上的数字为偶数”，
事件 “与地面接触的面上的数字不小于5”．
（1）判断事件 与 是否相互独立，并证明；
（2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件 至少发生 次的概率；
（3）请构造一个含有2个样本点的事件C，满足① ② ， ， 三个事件两两独立③
并给出证明．
19. 如图，在矩形ABCD中， ， ，E是线段AB上的一点，将 沿DE翻折，使A点
到达P的位置，且点P不在平面BCDE内．
（1）若平面 平面BCDE，证明：平面 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设E为AB的中点，取DE的中点O，连接AO并延长，交BC延长线于点S，设 ．
①用 表示二面角 的正切；
②当二面角 最大时，求四棱锥 的体积．
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学科网（北京）股份有限公司高一年级考试
数学试题
2024.07
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】 或
【13题答案】
【答案】60
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1） ，
（2）第70百分位数是82，平均数是74
【16题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）事件 ， 相互独立，证明见解析
（2）
（3）事件 可以为 ， ， ， 中的任意一个，证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；②
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