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2026.1
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.“α是第一象限角”是“α是锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
1
2.函数f (x)=ln(x+2)+ 的定义域是( )
x
A. (−2,+∞) B. [−2,+∞) C. (−∞,−2) D. (−2,0)∪(0,+∞)
3.函数f(x)=2x+x−4的零点所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4.已知a=log 3，b=1.20.3，c=0.31.2，则( )
0.5
A. a0
，则( )
f (x)= 2
−2x2−4x−1,x≤0
A. 函数f (x)有3个零点
B. 若函数y=f (x)−t有2个零点，则01，且 − =2，则a= ．
log 2 log a
a 8
14.已知函数f(x)=ex+e−x，若bf(x)⩽f(2x)+11恒成立，则b的最大值
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。
15.(本小题13分)
sin(π−x)cos(2π−x)
已知f (x)= ．
( π)
sin x− cos(π+x)
2
求 (5π) 的值；
(1) f
3
若 ，求 的值．
(2) f (x)=2 2sin2x−3sinxcosx
16.(本小题15分)x
已知函数y=f(x)，满足f(x−1)=ln ．
2−x
求 的解析式；
(1) f(x)
判断函数 的奇偶性；
(2) y=f(x)
解不等式 ．
(3) f(x)⩽0
17.(本小题15分)
已知函数 ( π)
f(x)=sin 2x+ ,x∈R
6
求函数 的最小正周期；
(1) f(x)
求函数 的单调递增区间；
(2) f(x)
π
(3) 若x∈[0, ]，求函数f(x) 的最值及其相应的x值．
2
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=4x−2x−6．
若 ，求 的取值范围；
(1) f(x)<0 x
若关于 的方程 有两个不相等的实数根，设为 ， ．
(2) x f(x)=m x x
1 2
求 的取值范围；
(i) m
证明： ．
(ii) x +x <−2
1 219.(本小题17分)
设函数 且 ， ，已知 ， ．
f(x)=log (ax−b)(a>0 a≠1 b∈R) f(2)=1 f(log 6)=2
a a
求 的定义域；
(1) f(x)
是否存在实数 ，使得 在区间 上的值域是 ？若存在，请求
(2) λ f(x) [m,n] [2m−λ,2n−λ]
出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析
9π
1.【答案】B 【解析】解：α是锐角，则α是第一象限角，但α是第一象限角，不一定是锐角，如α= ，
4
故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件．
{x+2>0
2.【答案】D 【解析】解：由已知可得 ，所以x>−2且x≠0，
x≠0
1
所以函数f (x)=ln(x+2)+ 的定义域是(−2,0)∪(0,+∞)．
x
3.【答案】B 【解析】解：易得函数f(x)在R上单调递增，且函数图象连续，
由题知 ， ， ， ，
f(0)=20+0−4=−3<0 f(1)=21+1−4=−1<0 f(2)=22+2−4=2>0 f(3)=23+3−4=7>0
，
f(4)=24+4−4=16>0
因为f(1)⋅f(2)<0，所以(1,2)是函数f(x)的零点所在的一个区间．
4.【答案】B 【解析】解：y=log x在(0,+∞)上单调递减，则log 31.20=1；又y=0.3x单调递减，所以0<0.31.2<0.30=1，
所以an，可得D错误．
π π
【答案】[−1,1] 或{y|−1≤ y≤1}解：因为x∈[− , ]，所以tanx∈[−1,1]，所以函数f(x)的值域为
4 4
12.
[−1,1]
1 1 3
13.【答案】8 解：因为 − =2，所以log a− =2，
log 2 log a 2 log a
a 8 2
3
令t=log a>0，则t− =2，化简得t2−3=2t，即t2−2t−3=0，解得t=3或t=−1(舍去)，
2 t
故log a=3，解得a=8，符合题意．故答案为：8
2
14.【答案】 ，当且仅当 ，即 时取等号，
6 f(x)=ex+e−x ⩾2√ex ⋅e−x=2 ex=e−x x=0
所以 ，
f(2x)=e2x+e−2x=(ex+e−x
)
2−2=[f(x)] 2−2
不等式 可化为 ，
bf(x)⩽f(2x)+11 bf(x)⩽[f(x)] 2+9
所以 9 恒成立，而 9 √ 9 ，
b⩽f(x)+ f(x)+ ⩾2 f(x)⋅ =6
f(x) f(x) f(x)
9
当且仅当f(x)= ，即f(x)=3时取等号，因此b⩽6，所以b的最大值为：6．
f(x)
sin(π−x)cos(2π−x) sinxcosx
15.【答案】解： 因为f (x)= = =tanx，......3分
(1) ( π) −cosx⋅(−cosx)
sin x− cos(π+x)
2所以 (5π) 5π ( π) π ．......6分
f =tan =tan 2π− =−tan =−√3
3 3 3 3
因为 ，所以
2sin2x−3sinxcosx
(2) f (x)=tanx=2 2sin2x−3sinxcosx=
sin2x+cos2x
2tan2x−3tanx 2×22−3×2 2．......13分
= = =
tan2x+1 22+1 5
x
16.【答案】解：(1)因为f(x−1)=ln ，
2−x
x
所以 >0，所以01或x≤0，.....14分
1−x
又因为−10
则 可化为 ，
f(x)=4x−2x−6 g(t)=t2−t−6
若f(x)<0，则g(t)<0，即t2−t−6<0，
解得 ，得到 ，解得 ，......2分
t∈(0,3) 2x∈(0,3) x∈(−∞,log 3)
2
则x的取值范围为(−∞,log 3)．......4分
2
(2)(i)若关于x的方程f(x)=m有两个不相等的实数根，
则方程g(t)=m有两个不相等的正实数根，
得到g(t)与y=m有两个不相同的横坐标大于0的交点，......6分
1 1
由二次函数性质得g(t)在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，......8分
2 2
1 25 25
而g(0)=−6，g(t)最小值为g( )=− ，故m∈(− ,−6)，......10分
2 4 4
(ii)因为方程g(t)=m有两个不相等的正实数根，
所以t2−t−6−m=0有两个不相等的正实数根，......12分
而我们把方程f(x)=m的两个根设为x ，x ，
1 2
则设 的两个根为 ，
t2−t−6−m=0 t =2x 1,t =2x 2
1 2
由韦达定理得t t =−6−m，即2x 1×2x 2=2x 1 +x 2=−6−m，......14分
1 2
25 1
结合m∈(− ,−6)，得到−6−m∈(0, )，......16分
4 4
19.【答案】解： 由 ，得 ，即 ，
(1) f(2)=1 log (a2−b)=1 a2−a−b=0
a
由f(log 6)=2，得log (6−b)=2，即6−b=a2，......2分
a a
3
∴2a2−a−6=0，解得a=2，或a=− (舍)，b=2，......4分
2． ， ，......5分
∴f(x)=log (2x−2) ∵2x−2>0 ∴x>1
2
故f(x)的定义域为(1,+∞).......6分
(2)假设存在实数λ，n>m>1，使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ].
由(1)易知f(x)在(1,+∞)上单调递增，......8分
{log (2m−2)=2m−λ
∴ 2 ......10分
log (2n−2)=2n−λ,
2
即{22m−λ=2m−2．......12分
22n−λ=2n−2
令 ， ， ，
t =2m t =2n t =2λ (t >t >2)
1 2 0 2 1
即 ， 为方程 的两个不等实数根且 ，
t t t2−t t+2t =0 t >t >2
1 2 0 0 2 1
令 ，......13分
g(t)=t2−t t+2t
0 0
Δ=t2−8t >0
0 0
则 t 解得 ．即 ，......15分
{ 0>2 , t >8 2λ>8
0
2
g(2)>0
即λ>3，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是(3,+∞). ......17分
