高一数学教学质量检测
2026.1
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.“α是第一象限角”是“α是锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
1
2.函数f (x)=ln(x+2)+ 的定义域是( )
x
A. (−2,+∞) B. [−2,+∞) C. (−∞,−2) D. (−2,0)∪(0,+∞)
3.函数f(x)=2x+x−4的零点所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4.已知a=log 3，b=1.20.3，c=0.31.2，则( )
0.5
A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. c<b<a
5.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有
圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一
类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截
π
面如图所示.用锯去锯该木材，若∠AOB= ，|AB|=2，则图中弧
3ACB与弦AB围成的弓形的面积为( )
π 2π 2π 4π
A. −√3 B. −√3 C. −√6 D. −√6
3 3 3 3
6.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使
水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤( )
A. 4次 B. 5次 C. 6次 D. 7次
7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的顶点与坐标原点重合，始边与
x轴的非负半轴重合，终边分别是射线OA和射线OB，若射线OA与单位圆的交点为
( 4) 3sinα+2cosβ
A m, ，射线OB与单位圆的交点为B，且OA⊥OB，则 的值是
5 2cosα−3sinβ
( )
4 3 3 4
A. B. C. − D. −
3 4 4 3
{ 2x
,x<1
8.已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
f(x)= x−1 R a
2x−log (a2−3a+3),x≥1
2
( )A. (−∞,1] B. [1,2] C. [2,+∞) D. (−∞,1]∪[2,+∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错
的得0分。
9.下列计算正确的有( )
A.
log (log 0.5)=1
2 0.5
B. 2
83×31−log
3
2=6
2m+n
C. 若lg3=m，lg2=n，则log 18=
5 1−n
D. 若 1 1 ，则
a2+a
−
2=2
a+a−1=2
10.已知角 满足 ，则 ( 2025π) ( )
α tan2α−6tanαsinα+9sin2α=0 cos α+ =
2
2√2 2√2
A. 0 B. −1 C. D. −
3 3
{ (1) |x−3|
11.已知函数
−1,x>0
，则( )
f (x)= 2
−2x2−4x−1,x≤0
A. 函数f (x)有3个零点
B. 若函数y=f (x)−t有2个零点，则0<t<1
8
C. 关于x的方程f (f (x))=− 有5个不等实数根
9D. 若关于x的方程f (x)=t有3个不等实根时，实根之和为m，有4个不等实根时，实根
之和为n，则m<n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数 ， [ π π]的值域为 ．(区间表示）
y=tanx x∈ − ,
4 4
1 1
13.已知a>1，且 − =2，则a= ．
log 2 log a
a 8
14.已知函数f(x)=ex+e−x，若bf(x)⩽f(2x)+11恒成立，则b的最大值
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。
15.(本小题13分)
sin(π−x)cos(2π−x)
已知f (x)= ．
( π)
sin x− cos(π+x)
2
求 (5π) 的值；
(1) f
3
若 ，求 的值．
(2) f (x)=2 2sin2x−3sinxcosx
16.(本小题15分)x
已知函数y=f(x)，满足f(x−1)=ln ．
2−x
求 的解析式；
(1) f(x)
判断函数 的奇偶性；
(2) y=f(x)
解不等式 ．
(3) f(x)⩽0
17.(本小题15分)
已知函数 ( π)
f(x)=sin 2x+ ,x∈R
6
求函数 的最小正周期；
(1) f(x)
求函数 的单调递增区间；
(2) f(x)
π
(3) 若x∈[0, ]，求函数f(x) 的最值及其相应的x值．
2
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=4x−2x−6．
若 ，求 的取值范围；
(1) f(x)<0 x
若关于 的方程 有两个不相等的实数根，设为 ， ．
(2) x f(x)=m x x
1 2
求 的取值范围；
(i) m
证明： ．
(ii) x +x <−2
1 219.(本小题17分)
设函数 且 ， ，已知 ， ．
f(x)=log (ax−b)(a>0 a≠1 b∈R) f(2)=1 f(log 6)=2
a a
求 的定义域；
(1) f(x)
是否存在实数 ，使得 在区间 上的值域是 ？若存在，请求
(2) λ f(x) [m,n] [2m−λ,2n−λ]
出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析
9π
1.【答案】B 【解析】解：α是锐角，则α是第一象限角，但α是第一象限角，不一定是锐角，如α= ，
4
故“α是第一象限角”是“α是锐角”的必要不充分条件．
{x+2>0
2.【答案】D 【解析】解：由已知可得 ，所以x>−2且x≠0，
x≠0
1
所以函数f (x)=ln(x+2)+ 的定义域是(−2,0)∪(0,+∞)．
x
3.【答案】B 【解析】解：易得函数f(x)在R上单调递增，且函数图象连续，
由题知 ， ， ， ，
f(0)=20+0−4=−3<0 f(1)=21+1−4=−1<0 f(2)=22+2−4=2>0 f(3)=23+3−4=7>0
，
f(4)=24+4−4=16>0
因为f(1)⋅f(2)<0，所以(1,2)是函数f(x)的零点所在的一个区间．
4.【答案】B 【解析】解：y=log x在(0,+∞)上单调递减，则log 3<log 1=0；
0.5 0.5 0.5
y=1.2x单调递增，所以1.20.3>1.20=1；又y=0.3x单调递减，所以0<0.31.2<0.30=1，
所以a<c<b．
π
5.【答案】B 【解析】解：因为∠AOB= ，OA=OB，所以▵AOB为等边三角形，
3
因为|AB|=2，所以|OA|=|OB|=|AB|=2，所以弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为：
π √3 2π
2× − ×22= −√3．
3 4 3
6.【答案】C 【解析】解：每过滤一次可使水中杂质减少50％，设要使水中杂质减少到原来的2％以下至少
1 n 1 n 1
需要过滤n次，则( ) ⩽2％⇒( ) ⩽ ⇒2n ⩾50．又n∈Z，所以n⩾6．
2 2 50
7.【答案】
A
【解析】解：由题意得
m2+
(4) 2
=1
，且
m<0
，
5
解得 3，所以 ( 3 4)，所以 4 3，因为 π，
m=− A − , sinα= ,cosα=− β=α+
5 5 5 5 5 2所以 ( π) 3 ( π) 4，
sinβ=sin α+ =cosα=− ,cosβ=cos α+ =−sinα=−
2 5 2 5
4 4
3× +2×(− )
3sinα+2cosβ 5 5 4
所以 = = ．
2cosα−3sinβ 3 3 3
2×(− )−3×(− )
5 5
2x 2(x−1)+2 2
8.【答案】D 【解析】解：当x<1时，f(x)= = =2+ ，
x−1 x−1 x−1
1 2 2
因为x<1，则x−1<0， <0，所以 <0，f(x)=2+ <2，
x−1 x−1 x−1
因为函数 的值域为 ，所以当 时， 的值域要包含 ，
f(x) R x≥1 f(x)=2x−log (a2−3a+3) [2,+∞)
2
y=2x在[1,+∞)上单调递增，则y=2x≥21=2，
那么 要 能取到 内的值，就需 ，
y=2x−log (a2−3a+3) y [2,+∞) log (a2−3a+3)⩾0
2 2
因为 单调递增， ，
y=log t log (a2−3a+3)⩾log 1
2 2 2
所以a2−3a+3⩾1，即a2−3a+2⩾0，
解得a≤1或a≥2，所以实数a的取值范围是(−∞,1]∪[2,+∞)，
9.【答案】BCD 【解析】解：log (log 0.5)=log 1=0，A选项错误；
2 0.5 2
2 2
3 3 ， 选项正确；
83×31−log 3 2=(23)3× =22× =6 B
3log
3
2 2
lg18 lg2+lg9 lg2+2lg3 2m+n
若lg3=m，lg2=n，则log 18= = = = ，C选项正确；
5 lg5 1−lg2 1−lg2 1−n
若
a
1
2+a
− 1
2=2
，则(
a
1
2+a
− 1
2
) 2
=a+a−1+2a
1
2×a
− 1
2=a+a−1+2=4
，所以a+a−1=2，D选项正确．
10.【答案】 【解析】解：由 ，得 ，
ACD tan2α−6tanαsinα+9sin2α=0 (tanα−3sinα) 2=0
sinα
所以tanα=3sinα，则 =3sinα，化简整理得sinα(3cosα−1)=0，
cosα
所以 ，或 1，当 时， ( 2025π) ( π) ，
sinα=0 cosα= sinα=0 cos α+ =cos α+ =−sinα=0
3 2 2当
cosα=
1时，
sinα=±
√
1−
(1) 2
=±
2√2，
3 3 3
2√2 2025π π 2√2
当sinα= 时，cos(α+ )=cos(α+ )=−sinα=− ，
3 2 2 3
2√2 2025π π 2√2
当sinα=− 时，cos(α+ )=cos(α+ )=−sinα= ．
3 2 2 3
故选：ACD．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，由函数解析式可画出函数图象如下：
显然函数图象与x轴仅有三个交点，可得A正确；
对于B，若函数y=f (x)−t有2个零点，可得函数f (x)与函数
y=t有两个交点，
可得0<t<1或t=−1，因此 B错误；
8 8
对于C，令f (x)=k，由f (f (x))=− 可得f (k)=− ，
9 9
8 7
易知−1<− <− =−0.875；
9 8
8
结合图象可知函数f (k)=− 有三个零点k ,k ,k ，
9 1 2 3
不妨取k <k <k ，
1 2 3
结合图象可知k ,k 两个零点在抛物线y=−2x2−4x−1对称轴的两侧，
1 2
且 在函数 (1) |x−3| 的对称轴的右侧，
k y= −1
3 2
易得 ( 1 ) ；
k ∈(−2,−1),k ∈ − ,0 ,k ∈(3,+∞)
1 2 2 3
易知 与函数 的图象有 个交点，
y=k ∈(−2,−1) f (x) 1
1
( 1 )与函数 的图象有 个交点，
y=k ∈ − ,0 f (x) 4
2 2与函数 的图象有 个交点，
y=k ∈(3,+∞) f (x) 0
3
8
因此关于x的方程f (f (x))=− 有5个不等实数根，即C正确；
9
对于D，若关于x的方程f (x)=t有3个不等实根时，
7
可得−1<t≤− 或t=0，
8
7
当−1<t≤− ，利用对称性可知实根之和m⩾−1×2+6=4，
8
当t=0，实根之和为m=−1×2+3=1，
7
当有4个不等实根时，可得− <t<0，
8
实根之和为n=−1×2+3×2=4，
即可能m<n或m>n，可得D错误．
π π
【答案】[−1,1] 或{y|−1≤ y≤1}解：因为x∈[− , ]，所以tanx∈[−1,1]，所以函数f(x)的值域为
4 4
12.
[−1,1]
1 1 3
13.【答案】8 解：因为 − =2，所以log a− =2，
log 2 log a 2 log a
a 8 2
3
令t=log a>0，则t− =2，化简得t2−3=2t，即t2−2t−3=0，解得t=3或t=−1(舍去)，
2 t
故log a=3，解得a=8，符合题意．故答案为：8
2
14.【答案】 ，当且仅当 ，即 时取等号，
6 f(x)=ex+e−x ⩾2√ex ⋅e−x=2 ex=e−x x=0
所以 ，
f(2x)=e2x+e−2x=(ex+e−x
)
2−2=[f(x)] 2−2
不等式 可化为 ，
bf(x)⩽f(2x)+11 bf(x)⩽[f(x)] 2+9
所以 9 恒成立，而 9 √ 9 ，
b⩽f(x)+ f(x)+ ⩾2 f(x)⋅ =6
f(x) f(x) f(x)
9
当且仅当f(x)= ，即f(x)=3时取等号，因此b⩽6，所以b的最大值为：6．
f(x)
sin(π−x)cos(2π−x) sinxcosx
15.【答案】解： 因为f (x)= = =tanx，......3分
(1) ( π) −cosx⋅(−cosx)
sin x− cos(π+x)
2所以 (5π) 5π ( π) π ．......6分
f =tan =tan 2π− =−tan =−√3
3 3 3 3
因为 ，所以
2sin2x−3sinxcosx
(2) f (x)=tanx=2 2sin2x−3sinxcosx=
sin2x+cos2x
2tan2x−3tanx 2×22−3×2 2．......13分
= = =
tan2x+1 22+1 5
x
16.【答案】解：(1)因为f(x−1)=ln ，
2−x
x
所以 >0，所以0<x<2，......2分
2−x
设t=x−1，则t∈(−1,1)，
1+t 1+x
则x=t+1，所以f(t)=ln ，即f(x)=ln ,x∈(−1,1)；......5分
1−t 1−x
(2)因为函数的定义域为(−1,1)，满足∀x∈(−1,1),−x∈(−1,1)，......7分
1−x
且f(−x)=ln =−f(x)，所以该函数为奇函数；......10分
1+x
1+x 1+x
(3)因为ln ≤0，则 ≤1，......12分
1−x 1−x
2x
所以 ≤0，解得x>1或x≤0，.....14分
1−x
又因为−1<x<1，所以f(x)≤0的解集为：{x|−1<x≤0}．......15分
2π
17.【答案】解：(1)T= =π；......3分
2
π π π
(2)由2kπ− ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，......5分
2 6 2
π π
得kπ− ≤x≤kπ+ ,k∈Z，......7分
3 6
函数的单调递增区间为[ π π] ；......9分
∴ kπ− ,kπ+ (k∈Z)
3 6
π π π 7π
(3)∵x∈[0, ]，∴2x+ ∈[ , ]，......12分
2 6 6 61 π
∴− ⩽sin(2x+ )≤1，......13分
2 6
π π π
∴当2x+ = ，即x= 时，函数有最大值1，......14分
6 2 6
π 7π π 1
当2x+ = 时，即x= 时，函数有最小值− ． ......15分
6 6 2 2
18.【答案】解： 对于 ，令 ，
(1) f(x)=4x−2x−6 2x=t>0
则 可化为 ，
f(x)=4x−2x−6 g(t)=t2−t−6
若f(x)<0，则g(t)<0，即t2−t−6<0，
解得 ，得到 ，解得 ，......2分
t∈(0,3) 2x∈(0,3) x∈(−∞,log 3)
2
则x的取值范围为(−∞,log 3)．......4分
2
(2)(i)若关于x的方程f(x)=m有两个不相等的实数根，
则方程g(t)=m有两个不相等的正实数根，
得到g(t)与y=m有两个不相同的横坐标大于0的交点，......6分
1 1
由二次函数性质得g(t)在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，......8分
2 2
1 25 25
而g(0)=−6，g(t)最小值为g( )=− ，故m∈(− ,−6)，......10分
2 4 4
(ii)因为方程g(t)=m有两个不相等的正实数根，
所以t2−t−6−m=0有两个不相等的正实数根，......12分
而我们把方程f(x)=m的两个根设为x ，x ，
1 2
则设 的两个根为 ，
t2−t−6−m=0 t =2x 1,t =2x 2
1 2
由韦达定理得t t =−6−m，即2x 1×2x 2=2x 1 +x 2=−6−m，......14分
1 2
25 1
结合m∈(− ,−6)，得到−6−m∈(0, )，......16分
4 4
19.【答案】解： 由 ，得 ，即 ，
(1) f(2)=1 log (a2−b)=1 a2−a−b=0
a
由f(log 6)=2，得log (6−b)=2，即6−b=a2，......2分
a a
3
∴2a2−a−6=0，解得a=2，或a=− (舍)，b=2，......4分
2． ， ，......5分
∴f(x)=log (2x−2) ∵2x−2>0 ∴x>1
2
故f(x)的定义域为(1,+∞).......6分
(2)假设存在实数λ，n>m>1，使得f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m−λ,2n−λ].
由(1)易知f(x)在(1,+∞)上单调递增，......8分
{log (2m−2)=2m−λ
∴ 2 ......10分
log (2n−2)=2n−λ,
2
即{22m−λ=2m−2．......12分
22n−λ=2n−2
令 ， ， ，
t =2m t =2n t =2λ (t >t >2)
1 2 0 2 1
即 ， 为方程 的两个不等实数根且 ，
t t t2−t t+2t =0 t >t >2
1 2 0 0 2 1
令 ，......13分
g(t)=t2−t t+2t
0 0
Δ=t2−8t >0
0 0
则 t 解得 ．即 ，......15分
{ 0>2 , t >8 2λ>8
0
2
g(2)>0
即λ>3，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是(3,+∞). ......17分
